1.1对于体积V内N个电子的自由电子气体，证明
（1）电子气体的压强解：（1）
5?1h2kF1h22??2V?23?N3V3?10m?10m
5p??23????0V?，其中?0为电子气体的基态能量。
10?09V
（2）体弹性模量K??V??p?V?为
??2 （1.1.1）
25??????1h223V3??2p???3?N??V?V???10m?55???1h2223???23?N3??V?3??10m??????5?21h223V3?3?N3?210m??23????0V???5
（1.1.2） （2）
K??V??p?V?55???21h223?3??3?210m3?NV???85???21h252??V3?N3??V3?2??3?10m?3????V?V????5?101h223?3?NV329?10m?10?09V??8
（1.1.3）
3
3He1.2 原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附近，液体He的密度为0.081g?cm-3。
?243计算费米能量?F和费米温度TF。He原子的质量为m?5?10g。
解：把 He原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1.
3n?Z?m1?0.081??1.62?1022cm?3?1.62?1028m3?24m5?10
（1.2.1） （1.2.2）
kF?3?n?7.8279?107cm?1?7.8279?109m?1
2?2kF1.055?10?34?7.8279?109?F??2m2?5.0?10?27?2?13??2?6.80174?10?23J?4.2626?10?4eV （1.2.3）
TF??FkB?6.80174?10?231.381?10?23?4.92K
（1.2.4）
?1?1C?2.08TmJ?molK，在自由电子
1.3低温下金属钾的摩尔电子热容量的实验测量结果为e气体模型下估算钾的费米温度TF及费米面上的态密度g??F?。
??2??2TT?Ce?NA?CVn??NA?nkn?NkAB?2BT?2TFF??解：
（1.3.1）
TF?NA
?22TT23?kB?6.022?10??1.381?10?23?19.73?103K?32Ce22.08?10T（1.3.2）
（1.3.3）
3n3n31.4?1028m?346?1?3g??F?????7.71?10Jm?2332?F2kBTF21.381?10?19.73?10
3?6??8.95gcm??1.55?10??cm。计算 m1.4铜的密度为。室温下的电阻率为
（1）导电电子浓度；
（2）驰豫时间；
（3）费米能量?F，费米速度vF； （4）费米面上电子的平均自由程lF。 （5）等离子体的振荡频率?p. 解： （1）（2）
n?NAZ?m1?8.95?6.022?1023??8.48?1022cm?3A63.546
（1.4.1）
m?m9.110?10?31?14??2?2??2.7?10s2226?19?6?2nene?8.48?10?101.602?101.55?10?10??????（1.4.2）
（3）kF?3?n?3??8.48?10
（1.4.3）
?2??1321223??1.36?108cm?1?1.36?1010m?1
2?2kF1.055?10?34?1.36?1010?F??2m2?9.11?10?31??2?1.13?10?18J?7.05eV
（1.4.4）
?kF1.055?10?34?1.36?10106vF???1.57?10ms?31m9.11?10
6?14?8l?v??1.57?10?2.7?10?4.25?10m （1.4.6） F（4）
ne2?p??1.64?1016Hz?0me?? （1.4.5）
（5）等离子体的振荡频率
.
1.5考虑一在球形区域内密度均匀的自由电子气体，电子系统相对于等量均匀正电荷背景有一小的整体位移。证明在这一位移下系统是稳定的，并给出这一小振动问题的特征频率。
解：（仅供参考）
（1.5.1）
k1?k0??k?2k0?kcos?
?22?12
E ?k k0
k1
偶极矩强度为：
P??k12?20k00????nek2sin?d?dkd??2kcos??k1???0??4?ne?2?k3dksin?cos?d?k04????ne??k???ne??k0????ne?2k1?k0sin?cos?d??2021204?k02???k21?k0sin?cos?d?2??20?k0??k2?2k0?kcos??k2?2k0?kcos?sin?cos?d?2??? （1.5.2）
取近似，忽略?k的2阶以上无穷小量
?0
P???ne?22k0?2k0?kcos?sin?cos?d??4?nek0?k?2cos?sin?cos?d?032??cos??4?nek0?k3332043???nek0?k3
（1.5.3） 电极化强度为
（1.5.4）
位移电子受到的电场为
43??nek0?kPp??3??ne?kVV
?pne?k
E?
?0?（1.5.5）
?0
在此电场下，电子受力指向平衡位置，大小正比于位移。所以，电子在平衡位置作微小振动。
特征频率为
ne2?p??0m
（1.5.6）
1.6在什么波长下，对于电磁波辐照，金属Al是透明的？ 解：金属的等离子体的振荡频率为 当
????1,???pm?ne2
时，金属是透明的。
??
（1.6.1）
（1.6.2）
ne25.1?1021??????1016?m??
1
ne218.1?1028?1.602?10?19???p???2.4?1016?12?31?0m8.854?10?9.11?10
（1.6.3）
??2
（1.6.4）
波长小于78.5nm时，金属Al是透明的。
1.7对于自由电子气体，证明电阻率张量的对角元在外加磁场时不发生变化，即横向磁阻为零。
解：
c3?108????7.85?10?8m?78.5nm16?2?2.4?102?
?????pdp??eE?v?B??0dt?时
??
（1.7.1）
（1.7.2） 分量式
?e?????0E?J?B?Jm
e???E??0xm?JyBz?JzBy??Jx?e???JzBx?JxBz??Jy?E??0ym?e???JxBy?JyBx??Jz?E?0z?m?
（1.7.3） ??E????J
（1.7.4）
