三角形中的边角关系
1．在?ABC中，?A、?B、?C所对的边长分别为a，b，c若sinA:sinB:sinC?5:7:8，
?则a:b:c=____ ______；?B的大小是_________．（5:7:8；）
32．在△ABC中，已知BC?8,（
725AC?5，三角形面积为12，则cos2C? _____．
）
3．在△ABC中，AC=3，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长为 ．（2） 4．在?ABC中，若A?120?，AB=5，BC=7，则AC=__________． （3） 5．在?ABC中，若A?120?，AB=5，BC=7，则?ABC的面积S=__________． （
1543）
6．在△OAB中，O为坐标原点，A(1,cos?),B(sin?,1),??(0,大值时，?? ．（7在△ABC中，已知tanB??2?2]，则当△OAB的面积达最
）
13
3,cosC?,AC?36，求△ABC的面积．
解法1：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，
由tanB?3,得B?60,?sinB??32,cosB?12.
又sinC?1?cosC?2223,应用正弦定理得
c?bsinCsinB?36?2232?8.
?sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?1232?13?12?233?36?23.
故所求面积S?ABC?又由余弦定理可得
bcsinA?62?83.
解法2：同解法1可得c=8.
b2?a?c?2accosB,即54?a?64?2a?8?6,a2?4?得,a?bsinB??22212,?a?8a?10?0.??2所得a1?4?由asinA?b6.?B?60,0?C?90,?30?sinA?bsinB?sin30??A?120.12?32?3,?sinB?3632?
而a2?4?6?3,舍去,故a?4?126.故所求面积S?ABC?8.（本小题满分13分）
acsinB?62?83.
如图，在四边形ABCD中，AB?3，AD?BC?CD?2，A?60?. （Ⅰ）求sin?ABD的值； （Ⅱ）求?BCD的面积.
解：（Ⅰ）已知A?60?，
A B
D C
由余弦定理得BD2?AB2?AD2?2AB?ADcosA?7， 解得BD?7， …………………3分
AD?BD由正弦定理，
sin?ABDsinAADsinA. …………………5分 所以sin?ABD?BD，
?27?32?2172. …………………7分
（Ⅱ）在?BCD中，BD?BC?CD?2BC?CDcosC，
所以7?4?4?2?2?2cosC，cosC?3781822， …………………9分
因为C?(0,?)，所以sinC?， …………………11分
所以，?BCD的面积S?9.（本小题满分12分）
12BC?CD?sinC?374. …………………13分
在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，cosA?（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若ac?24，求a,c的值. 解：（Ⅰ）因为cosA?3434，C?2A.
，
所以cosC?cos2A?2cos2A?1 …………………3分
321?2?()?1?. …………………5分
48（Ⅱ）在?ABC中，因为cosA?34，所以sinA?74， …………………7分
因为cosC?18，所以sinC?a?csinC12371?()?， …………………9分
88根据正弦定理所以
ac?23sinA， …………………10分
，
又ac?24，所以a?4,c?6. …………………12分 10. （本小题满分13分）
在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， cos（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若a?3，b?22，求c的值．
21A?C2?33．
解：（Ⅰ）因为cosA?C2?33，又A?B?C??，
所以sinB2?sin(?2?A?C2B2?)?1333．…………………………………3分
所以 cosB?1?2sin2．………………………………………7分
（Ⅱ）由余弦定理b2?a2?c2?2accosB，
得c2?2c?1?0．…………………………………………………………11分
解得c?1．…………………………………………………………………13分 11. 在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足sin（Ⅰ）求bc的值；
（Ⅱ）若b?c?6，求a的值． 解：（Ⅰ）∵sinA2A2?55255,0?A??
A2?55，且?ABC的面积为2．
∴cos?.
A2A245∴sinA?2sin12cos?.
∵S?ABC?bcsinA?2，
∴bc?5. --------------------6分
（Ⅱ）∵sinA2?55,
2∴cosA?1?2sinA2?35.
∵bc?5，b?c?6，
2222∴a?b?c?2bccosA?(b?c)?2bc(1?cosA)?20
∴a?25. -----------12分 12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，4cos （I）求角C的大小；
2C2?cos2C?72,a?b?5,c?7.
（II）求△ABC的面积. 解：（I）由4cos2 得4?1?cosC2C2?cos2C?272, 72.
?(2cosC?1)? 整理，得4cos2C?4cosC?1?0. ……………………………………4分 解得cosC?12.
?0?C??，
? ?C?. …………………………………………………………………6分
3 （II）由余弦定理得c2?a2?b2?2abcosC， ?C??3，
?c2?(a?b)2?3ab. ……………………………………………………8分 又a?b?5,c?7，
∴ab = 6 ……………………………………………………………………10分 ?S?ABC?12absinC?12?6?32?332.……………………………13分
7213．在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，已知tanA?tanC?S?ABC?332b?3(tanAtanC?1)，，
。
求：（1）a?c的值；
（2）△ABC中的最大内角。 解：（1）∵tanA?tanC?tan(A?C)?(1?tanA?tanC) ∴tanA?tanC??tanB(1?tanA?tanC)
∵tanA?tanC?3(tanA?tanC?1) ∴tanB?3
（0，?） ∴B?∵B??3…………………………4分
