5-22 半径为R1和R2 (R2 ＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ，试求：(1)r ＜R1；(2) R1＜r＜R2；(3) r＞R2处各点的场强。
解:高斯定理
???q ，取同轴圆柱形高斯面，侧面积S?2πrl，则E??dS?s?0??E??dS?E2πrl
S(1) r?R1，
?q?0,E?0
?q?l?， ∴E??， 沿径向向外。
2π?0r(2) R1?r?R2，(3) r?R2，
E?0 ?q?0，∴
5-23 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为σ1和σ2，试求空间各处场强。
解:两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为σ1和σ2，规定垂直于两平面由?1面指向?2面的方向为n，则
???11??两面间， E?(?1??2)n；?1面外， E??(?1??2)n；
2?02?0?1??2面外， E?(?1??2)n
2?0
5-24 一块电介质在电场中极化后，沿着与电场垂直的方向将它截为两半，再撤去外电场，这两块电介质是否带电?如果把电介质换成导体，情况又如何?
答: 两块电介质均不带电。因为电介质极化产生的电荷不能离开介质，也不能在电介质内部自由移动，处于束缚状态，无论是取向极化还是位移极化，当外电场撤消后，极化现象也随之消失，由于分子的热运动，电介质对外不显电性。若换成导体放入电场中，导体中的自由电子将在电场力作用下逆着外电场方向运动，导体一端因自由电子的积聚出现负电荷，另一端因自由电子的缺失显现正电荷，分开后，一块导体带正电，另一块带负电。
5-25 设在外电场的作用下电介质的某处场强为0.15×107 N·C-1，电介质的介电常数为10-10 C2·N-1·m-2，求无电介质时该处的场强是多少?
解: 设外电场（即无电介质时）的场强为E0，放入电介质后，电介质内部的总场强E是外电场与极化电场之和。由E = E0/εr 和ε = ε0 εr 可得
E0 = Eε / ε0
已知： E =0.15×107 N·C-1，ε =10-10 C2·N-1·m-2，ε0 =8.8542×10-12 C2·N-1·m-2，代入上式得
10?10E0?0.15?10?N?C?1?1.69?107N?C?1 ?128.8542?1075-26 平行板电容器的极板面积为S，间距为d，将电容器充电后，注入相对介电常数为εr 的电介质，问以下两种情况时，注入电介质前后电容器所带电荷Q，场强E，两板间电压U，电容C和电场能量密度we 有何变化?（1）注入电介质时电容器仍在电源上；（2）注入电介质时电容器已与电源断开。
答: ①注入电介质时电容器在电源上，这时两极板之间的电势差U不变，即注入电介质前的电势差U前 等于注入电介质后的电势差U后 （U前 =U后）。根据电容器的电容的定义式C=εS d可知
C前 =ε0 S/ d， C后 =ε S /d=ε0 εr S/ d = εr C前
而Q=CU，Q后 =C后 U后 =εr C前 U前 =εr Q前 ，由E=U/d可得
E后 =U后/d=U前/d=E前
由能量密度公式w =εE2/2 得
w后 =ε0 εr E2后/2 =εr（ε0 E2后/2）=εr w前
其中w前 =ε0 E2后/2。
②注入电介质时电容器已与电源断开，这时Q前 =Q后，即电容器所带电量不变，而C后 =εS/ d=ε0 εr S/ d=εr C前，由U=Q/C可得
U后 =Q后/C后 =Q后/(εr C前)= Q前/εr C前 = U前/εr
根据E=U/ d可得
E后 =U后/d=U前/εr d=E前/εr
由能量密度公式w = εE2/2 得，
w后 = ε0 εr E2后/2 =ε0εr (E前/εr )2/2 = (ε0E前/2 )2/εr = w前/εr
5-27 真空中一半径为R，电荷为Q的导体球，求其电场的总能量。
解: 根据静电平衡条件，可知电荷Q一定均匀地分布在导体球的表面上。根据高斯定理可求得均匀带电球面的场强分布为
?0?E??Q?4πεr20?(r?R)(r?R)
由能量密度公式w =εE2/2可知，在球内因E=0，故球内电场的能量为零。由上式和能量密度
公式可得，球外电场的能量密度为
111Q2Q22 ???0E??0(?2)?24224??0r32??0r取一个与球同心的球壳，其半径为r，厚度为dr，则它的体积为dV=4πr2dr，体积元dV内的
电场能量dW=wdV= q2 dr/( 8πε0 r2)，所以其电场的总能量为
q2?drq2 W??dW??2?R8??0r8??0R
5-28 在温度为37℃时，带一个正电荷的某离子在细胞膜内外的浓度分别为10mol·m-3 和160mol·m-3，求膜内外平衡电位，并指出何侧电位高?
解: 已知t =37℃，Z=+1，Ci =10mol·m-3，Co =160mol·m-3，由细胞膜电位公式可得膜内的电位为
Ui?61.5C061.5160lg?(lg)mV?74mV ZCi110膜内电位高于膜外电位。
－－
5-29 在某一细胞中，Cl 在37℃时的平衡电位为－80mV，如果在细胞外Cl 浓度为110mol·m-3，那么在细胞内的浓度是多少?
解: t =37℃，Z =－1，C0 =110mol·m-3，Ui =－80mV，代入细胞膜内电位公式，
?80?61.5110lg?1Ci－
110?20 Ci解之得，Ci =5.5mol·m-3，即细胞膜内Cl 的浓度。
5-30 简述心电信号的产生过程。
答: 当心肌细胞处于静息状态时，在其膜的内、外侧分别均匀地分布有等量的正、负离子，形成一闭合曲面的电偶层，对外不显电性，这种状态叫极化。当心肌细胞兴奋时，由于细胞对各种离子的通透性发生了变化，使得在兴奋处膜外的正电和膜内负电逐渐消失，接着，反过来膜内带正电，而膜外带负电，这个过程称为除极，在除极过程中由于电荷不再均匀分布，整个心肌细胞等效为一个电偶极子，其电矩方向与除极的传播方向相同。除极是一个极其短暂的过程，然后细胞又恢复到原来内负外正的带电状态，这个过程称为复极。此时细胞同样相当于一个电偶极子，只是电矩方向与除极时相反。复极结束后细胞恢复到极化状态。可见，心肌细胞的除极和复极过程中，细胞相当于一个电矩变化的电偶极子，在周围空间引起电势的变化，这就是心电信号的产生过程。
5-31 心电图与心向量图有什么样的关系?
答: 某一导联得到的心电图是心向量图在该导联轴上的投影，实际上是空间心电向量环经过二次投影形成的。其过程是：首先空间心电向量环在三个互相垂直的平面上，即额面、水平面、右侧面上投影，得到三个平面心电向量环；其次是额面和水平面的心电向量环分别在各肢体导联轴和胸导联轴上投影，最后形成各导联上的心电图。
5-32 常用心电导联有哪些?各导联的电极与心电图机是如何连接的?
答: 常用的心电导联有标准导联、加压肢体导联、胸导联，各导联的电极与心电图机按以下方式连接:
①标准导联：极分别安放在左上肢、右上肢、左下肢，分三个导联： Ⅰ导联，左上肢接心电图机的正极端，右上肢接心电图机的负极端； Ⅱ导联，左下肢接心电图机的正极端，右上肢接心电图机的负极端； Ⅲ导联，左下肢接心电图机的正极端，左上肢接心电图机的负极端。 ②加压单极肢体导联，分三个导联:
右上肢加压单极肢体导联aVR，右上肢接心电图机的正极端，左上肢和左下肢分别通过一个电阻R0 后共同接心电图机的负极端；
左上肢加压单极肢体导联aVL，左上肢接正极端，右上肢和左下肢分别通过一个电阻R0后共同接负极端；
左下肢加压单极肢体导联aVF，左下肢接正极端，右上肢和左上肢分别通过一个电阻R0后共同接负极端。
③单极胸前导联：探查电极放于心前区一定的部位，与心电图机的正极端相连，而负极端则与中心电端相连，由于探查电极V放于胸壁的位置不同，又分V1、V2、V3、V4、V5、V6 六个导联。
5-33 加压单极肢体导联的电压幅度比单极肢体导联高50%，试用数学的方法证明之。 证明: 以右上肢加压单位极导联aVR为例证明。设左上肢、右上肢、左下肢的电位分别为UL、UR、UF，根据aVR的定义，
aVR=UR -UT （a）
这时中心电端T只连接两个肢体，即左上肢L和左下肢F，它的电位UT 等于左上肢的电位UL和左下肢的电位UF的平均值，即
UT =(UL +UF)/ 2 （b）
将UT 的表达式代入（a）式得
aVR=UR－(UL +UF)/ 2 =3 UR/ 2－(UR +UL +UF)/2=3[UR－(UR +UL +UF)/3]/2
因为(UR +UL +UF)/ 3 =0，故由上式得
aVR=3UR/2
由此可见，右上肢加压导联的电压比单极肢体导联高50%。同理也可以证明: aVL=3UL/2，aVF=3UF/2，其幅度比单极肢体导联高50%。
