2006-2007学年第二学期《线性代数》试卷参考答案
一、填空题（每小题3分，共15分）
?1?1?1．已知A??1??2011210?130???1?，设A(j?1,2,3,4)是A中元素a的代数余子式，则
4j4j0??4?A41?A42?A43?A44??3；
01200??0； ?1???3?2．设A?1??0?0400??1???10，则(A?2E)?12???03????1???3．设?1??１??１?????????1???????????????????，则使?1,?2,?3为相互正交的向量组的?2???1?，?3????0???????1??2?1?； ?2??1???注：此答案不惟一．
?x1?kx2?x3?0?4．设齐次线性方程组?2x1?x2?x3?0只有零解，则k应满足的条件
??kx2?3x3?0?1??15．设3阶方阵A有可逆矩阵P使得PAP??0?0??6??1?PAP???????． 2??k?35；
0200???0，A为A的伴随矩阵，则 ?3??3二、选择题（每小题3分，共15分）
1．设A,B为n阶矩阵，下列结论正确的是（ D ）
(A)(A?B)T?AT?BT，并且(AB)?AB
?1TTT(B)当A,B均为可逆矩阵时，(A?B)(C)若AB?O，则A?O或B?O
?A?1?B?1并且(AB)?1?B?1A?1
(D)若AB?O，且A为可逆矩阵时，则B?O
1
????????????2．已知向量组?1,?2,?3,?4是线性无关向量组，则下列向量组中仍为线性无关向量组的是
（ C ）
????????????????????????????????????????????? (A)?1??2,? 2??3,? 3??4,? 4??1 (B)?1??2,? 2??,3? ?3?,? ??44?????????????????????????????????????????? ?(C)?1??2,? 2??3,? 3??4,? 4??1 (D)?1??2, ?2??,3 ?3?? ,4??4?????????3．设A是3阶方阵，将A的第一行与第二行交换得B，再把B的第二行加到第三行得C，
则满足PA?C的可逆矩阵P?（ A ）
?0?(A)1??1?1000??0 (B)?1??223?0?1??0?1001??0 (C)?1??220?0?1??0?10?10??0 (D)?1??210?0?1??0?1000???1 ?1??1003???3 则A,B,C,D?1???1?4．设A??2?3?3??1??3，B?0????03??3??1??3，C?0????03??3??1??3，D?0????01??中不能与对角阵相似的矩阵是（ C ）
(A)A (B)B (C)C (D)D
????????????5．设A为5?4矩阵，?1,?2为非齐次方程组AX?b的两个不同的特解，?1,?2是对应齐
次方程AX?0的基础解系，对任意常数k1,k2，则下列正确的是（ B ）
?1?????(A)AX?b的通解是k1?1?k2?2?(?2??1)
2??????????????????(B)AX?b的通解是k1(?1??2)?k2(?1??2)?2?2??1 (C)AX?0的通解是k1(?2??1)?k2(?2??1) (D)AX?0的通解是k1?1?k2(?2??1)
???????????????????????????11bbb231ccc1231dd2三、（8分）计算行列式
aaa23?13．
d1b11bbb231ccc231dd21cc?0c321dd2解：
aaa23?13?aa?0a322b?0b3?13
dd 2
1?aaa231bbb231ccc231ddd231?a0a31b0b31c0c31d1d31?aaa231bbb231ccc231ddd231?aa31bb31c c3?Ⅰ?Ⅱ，
其中：??(d?a)(d?b)(d?c)(c?a)(c?b)(b?a)，
11b?ab?a331c?ac?a33???00?(b?a)(c?a) 1 １2222b?ab?a c?ac?a
?(c?a)(c?b)(b?a)(a?b?c)，
原式=(c?a)(c?b)(b?a)[(d?a)(d?b)(d?c)?(a?b?c)]．
?1?四、（10分）已知AP?PB，其中B??0?0??1??2???4?0?110??1???10，A?PBP?2????61???1??2??6?00?10??0． ??1??00000?10??1??0，P?2????2?1??0??0， ??1??0?110??50，求A及A． ?1??解：P?1A?PBP55?1?PBP?1?1????3五、（12分）向量组?1???2??0??7??2??5????????0????????1??1?，????，????，????，
234??14??0??6????????31??????2?（1）求向量组的秩；
（2）求此向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示． 解：
?1?????????????3A??1, ?２，?3，?4 ???2??0701432?1015??1??10????06???2??0730021105??1??20????01???0??00100001023??13?， 1??0???故：（1）向量组的秩为3；
?????????????1??????2?? （2）?1,?2,?3为一个极大无关组，?4??1??2??3．
33 3
六、（18分）当?为何值时，方程组
?2x1??x2?x3?1?无解，有唯一解，或有无穷多个解，并在有无穷多个解时写出方??x1?x2?x3?2??4x1?5x2?5x3??1程组的通解．
2??15?11?5?5?2解：方法一：D??4???4?(??1)(5??4)，
当D?0，即??1且???45有唯一解．
?2x1?x2?x3?1?当??1时，方程组为?x1?x2?x3?2，
??4x1?5x2?5x3??1?2?Ab???1?4?1?15?11??1??12???0?0?5?1???0101???1?1??R(A)?R(B)?2?3，所以此时原方00??0B??程组有无穷多解，原方程组的同解方程组为??x1?1?通解为?x2??1?k ?k?R．
??x3?k?10?Ab???4?4??455?5?x1?1?x2?x3??1，
当???45时，B????10???5?10???4?0?5?1???5?450???5?10? 09???55?R(A)?2?3?R(B)，此时原方程组无解．
?2?Ab?????4???15方法二：B???11??2??12?????2??6?5?1??????1?5??5?11??03? 0?6???2?????2?5??4????10?11??03?， 09??讨论：1）当???45时，R(A)?2?3?R(B)，原方程组无解．
4
2）当??1且???45时，R(A)?R(B)?3，原方程组有唯一解．
3）当??1时，同方法一． 七、（16分）设有二次型
f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?2ax1x2?4x1x3?8x2x3（其中a为整数）通过正交变换化
22为标准型f?y2221?6y2?by3，
（1）求常数a,b；
（2）求化二次型为标准型的正交变换．
?0a?2??x1??1解：f(x?1,x2,x3)?(x1,x2,x3)?a44?? y3???x?2X?Q?y y?12?6??24?3???Y???x??3???0a?2??1?(1) ∵??a44????,??6??, ∴0?4?3?1?6?b ?b??6, ??24?3?????b??0a?2 a44?6b??36,即：3a2?16a?20?0，得a?2（a?10?24?33舍去）．?02?2?（2）A???244???， ??24?3??????2?当??E)X?0，解得???1?1，(A1??0??， ?1??????1?当?2?6， (A?6E)X?0，解得?2????5, ???2??????1?当?3??6，(A?6E)X?0，解得?3?????1, ???2?? 5
??y1 ????y?2 , b??????y?3 ?
?2???????5?????????????????将(?1,?2,?3)单位化得:p1??0?,p2?????1?????5????2???5????0??1?5?13053023026?16161??1??306????5???1,p??3??306??2??2??30??6?????, ?????Q???????????p1, p２, p３?????? ． ????八、（6分）设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵，证明：E?A?1． 证明：因为A是正定矩阵，所以A的特征值?i?0(i?1,2,?,n)
方法一：又A?E的特征值为?1?1,?2?1,?,?n?1且?i?1?1(i?1,2,?,n)，
n 所以 A?E??i?1(?i?1)?1．
??1 ? ?２ T?1?方法二：因为存在正交阵Q使QAQ?QAQ?? ??? ?n???，??0(i?1,2,?,n)
i?????1+1 ??? ?２+1 ?Q?1，??0(i?1,?2,n,， 于是A?E?Q?i? ???? ??1n??n 所以A?E??i?1(?i?1)?1 ．
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