数值试验报告分析
一、实验名称：解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法 二、实验目的及要求：
通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。
三、算法描述：
本次试验采用的是高斯列主元消去法和LU分解法求解线性方程组的解。
其中，高斯消去法的基本思想是避免接近于零的数作分母；能进行到底的条件:当A可逆时，列主元Gauss(高斯）消去法一定能进行到底。
优点:具有很好的数值稳定性；具有与顺序Gauss消去法相同的计算量。列主元Gauss(高斯）消去法的精度显著高于顺序Gauss(高斯）消去法。 注意:省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。
矩阵的三角分解法是A=LU,L是下三角阵，U是上三角阵,Doolittle分解:L是单位下三
角阵，U是上三角阵；Crout分解:L是下三角阵，U是单位上三角阵。矩阵三角分解的条件 是矩阵A有唯一的Doolittle分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零；矩阵A有唯一的Crout分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零。三角分解的实现是通过
(1)Doolittle分解的实现； (2)Doolittle分解的缺点：条件苛刻，且不具有数值稳定性。 （3）用Doolittle分解求解方程组: AX=b LUX=b LY=b A=LU UX=Y；
四、实验内容：
解下列两个线性方程组
?3.016.031.99??x1??1???????4.16?1.23??x2???1? （1） ?1.27?0.987?4.819.34??x??1????3????7?10???32.099999（2） ?5?1??21?1??x1??8??????62??x2??5.900001??? 5?1??x3??5??????????02??x4??1?0a、用你熟悉的算法语言编写程序用列主元高斯消去法和LU分解求解上述两个方程组，输出Ax=b中矩阵A及向量b, A=LU分解的L及U，detA及解向量x.
b、将方程组（1）中系数3.01改为3.00，0.987改为0.990，用列主元高斯消去法求解变
换后的方程组，输出列主元行交换次序，解向量x及detA，并与（1）中结果比较。 c、将方程组（2）中的2.099999改为2.1，5.900001改为5.9，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出解向量x及detA，并与（1）中的结果比较。
d、用MATLAB的内部函数inv求出系数矩阵的逆矩阵，再输入命令x=inv(A)*b,即可求出上述各个方程组的解，并与列主元高斯消去法和LU分解法求出的解进行比较，体会选主元的方法具有良好的数值稳定性。用MATLAB的内部函数det求出系数行列式的值，并与（1）、（2）、（3）中输出的系数行列式的值进行比较。
五、实验结果：
a、用你熟悉的算法语言编写程序用列主元高斯消去法和LU分解求解上述两个方程组，输出Ax=b中矩阵A及向量b, A=LU分解的L及U，detA及解向量x. Gauss(高斯）列主元法程序及结果 （１）
>.>A=[3.01 6.03 1.99;1.27 4.16 -1.23;0.987 -4.81 9.34];b=[1;1;1];[RA,RB,n,X]=liezhuY(A,b) D = -0.0305 RA =3 RB =3 n = 3 X =
1.5926 -0.6319 -0.4936 （２）． >>A=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2];b=[8;5.900001;5;1];[RA,RB,n,X]=liezhuY(A,b) D =-762.0001 RA = 4 RB =4 n =4 X =
0.0000 -1.0000 1.0000 1.0000
ＬＵ分解法程序及结果 （１）
>> A=[3.01 6.03 1.99;1.27 4.16 -1.23;0.987 -4.81 9.34];h1=zhjLU(A) D = -0.0305 RA =3 U =
3.0100 6.0300 1.9900 0 4.1600 -2.0696
0 0 5.3107 L =
1.0000 0 0 0.4219 1.0000 0 0.3279 -1.6316 1.0000 h1 =
3.0100 4.8635 -0.0305 （２）
>> A=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2];h1=zhjLU(A) D =-762.0001 RA = 4 U =
10.0000 -7.0000 0 1.0000 0 2.1000 6.0000 2.3000 0 0 -2.1429 -4.2381 0 -0.0000 0 12.7333 L =
1.0000 0 0 0 -0.3000 1.0000 0 0 0.5000 1.1905 1.0000 -0.0000 0.2000 1.1429 3.2000 1.0000 h1 =
10.0000 -0.0000 -150.0001 -762.0001
b、将方程组（1）中系数3.01改为3.00，0.987改为0.990，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出列主元行交换次序，解向量x及detA，并与（1）中结果比较。 线性方程组数据改变后程序及结果 >>A=[3.01 6.03 1.99;1.27 4.16 -1.23;0.987 9.34];b=[1;1;1];A(1,1)=3;A(1,3)=0.990;[RA,RB,n,X]=liezhuY(A,b) D = 9.8547 RA = 3 RB =3 n =3 X =
-4.0264 1.9193
1.5210
>> X=[1.5926 -0.6319 -0.4936]';X1=[-4.0264 1.9193 1.5210]';wucha=X1-X wucha =
-5.6190
-4.81
2.5512 2.0146
c、将方程组（2）中的2.099999改为2.1，5.900001改为5.9，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出解向量x及detA，并与（1）中的结果比较。 线性方程组数据改变后的程序及结果
>>A=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 2];A(2,2)=2.1;b(2,1)=5.9;b=[8;5.900001;5;1];[RA,RB,n,X]=liezhuY(A,b)
D =-762.0000 RA = 4 RB =4 n = 4 X =
-0.0000 -1.0000 1.0000 1.0000
>> X=[0;-1;1;1]';X1=[0;-1;1;1]';wucha=X1-X wucha =
0 0 0 0
-1;2
1
0
d、用MATLAB的内部函数inv求出系数矩阵的逆矩阵，再输入命令x=inv(A)*b,即可求出上述各个方程组的解，并与列主元高斯消去法和LU分解法求出的解进行比较，体会选主元的方法具有良好的数值稳定性。用MATLAB的内部函数det求出系数行列式的值，并与（1）、（2）、（3）中输出的系数行列式的值进行比较。 线性方程组求解的程序及结果 （1）
>> A=[3.01 6.03 1.99;1.27 4.16 -1.23;0.987 -4.81 9.34];B=inv(A) B =
-1.0783 2.1571 0.5138 0.4281 -0.8560 -0.2039 0.3344 -0.6688 -0.1592
>> b=[1;1;1];X=inv(A)*b X =
1.5926 -0.6319 -0.4936
>> A=[3.01 6.03 1.99;1.27 4.16 -1.23;0.987 -4.81 9.34];A(1,1)=3;A(1,3)=0.990;B=inv(A) B =
3.3424 -6.1983 -1.1705
-1.3269 2.7442 0.5020 -1.0365 2.0682 0.4893 >> b=[1;1;1];X=inv(A)*b X =
-4.0264 1.9193 1.5210 （2）
>> A=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2];B=inv(A) B =
-0.0223 -0.0984 0.1181 0.1686 -0.1601 -0.1181 0.1417 0.2690 0.0108 0.1063 0.0724 -0.0755 0.1024 0.1575 -0.1890 0.1969
>> b=[8;5.900001;5;1];X=inv(A)*b X =
0 -1.0000 1.0000 1.0000
>> A=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2];A(2,2)=2.1;B=inv(A) B =
-0.0223 -0.0984 0.1181 0.1686 -0.1601 -0.1181 0.1417 0.2690 0.0108 0.1063 0.0724 -0.0755 0.1024 0.1575 -0.1890 0.1969 >> b=[8;5.900001;5;1];b(2,1)=5.9;X=inv(A)*b X =
-0.0000 -1.0000 1.0000
1.0000
六、实验结果分析
通过本次的解线性方程组数值分析实验，不仅让我熟悉了Matlab软件的功能和它强大的计算能力，而且大大提高了我解决数值分析实际问题的能力，进一步掌握了列主元高斯消去法解方程组的思想和有效性。通过对以上方程的计算和比较，方程组（1）具有病态性。当系数矩阵有微小的变化时，所得到的解与原方程组的解有很大的相对误差。方程组（2）中当系数矩阵A和b有较小变化时，所得到的解没有相对误差。所以方程组（2）是良性的。采用Matlab内部函数inv求解逆矩阵，然后通过X=inv（a)*b也可以求解方程组的解，但
