19．解析：证明：（1）∵AB=AC，AH⊥CB， ∴BH=HC． ∵FH=EH，
∴四边形EBFC是平行四边形． 又∵AH⊥CB，
∴四边形EBFC是菱形． （2）证明：如图，
∵四边形EBFC是菱形． ∴∠2＝∠3＝
1∠ECF． 2∵AB=AC，AH⊥CB， ∴∠4＝
1∠BAC． 2∵∠BAC=∠ECF ∴∠4=∠3． ∵AH⊥CB
∴∠4+∠1+∠2=90°． ∴∠3+∠1+∠2=90°． 即：AC⊥CF．
20．解析：（1）作FH⊥AB于H，如图1所示：则∠FHE=90°， ∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD=CD=4，EF=CE，∠ADC=∠DAH=∠BAD=∠CEF=90°， ∴∠FEH=∠CED， 在△EFH和△CED中，∵∠FHE=∠EDC=90°，∠FEH=∠CED，EF=CE，∴△EFH≌△CED（AAS），
∴FH=CD=4，AH=AD=4，∴BH=AB+AH=8，∴BF= = = ； （2）过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB于M，如图2所示：
则FM=AH，AM=FH，①∵AD=4，AE=1，∴DE=3，同（1）得：△EFH≌△CED（AAS），∴FH=DE=3，EH=CD=4，即点F到AD的距离为3；
②∴BM=AB+AM=4+3=7，FM=AE+EH=5，∴BF= = = ； （3）分两种情况：
①当点E在边AD的左侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，如图3所示：
同（1）得：△EFH≌△CED，∴FH=DE=4+AE，EH=CD=4，∴FK=8+AE，在Rt△BFK中，BK=AH=EH﹣AE=4﹣AE，由勾股定理得：（4﹣AE）2+（8+AE）2=（ ）2，解得：AE=1或AE=﹣5（舍去），∴AE=1；
②当点E在边AD的右侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，
如图4所示：
同理得：AE= ；
综上所述：AE的长为1或 ．
