若x?3.000，a?3.100， 则绝对误差x?a??0.1， 相对误差为：
x?a?0.100???0.0333??0.333?10?1； x3.000若x?0.0003000，a?0.0003100，
则绝对误差x?a??0.1?10， 相对误差为：
?4x?a?0.000100???0.333?10?1； x0.000300044若x?0.3000?10，a?0.3100?10， 则绝对误差x?a??0.1?10，
3x?a?0.1?103???0.333?10?1； 相对误差为：4x0.3000?10这个例子说明绝对误差有较大变化时，相对误差相同。作为精确性的度量，绝对误差
可能引起误解，而相对误差由于考虑到了值的大小而更有意义。
例1．5：在R中用图表示下面的点集，并指出它们的共同性质。
2S1?xx1?1,x?R2，S2?xx2?1,x?R2，S3?xx??1,x?R2
解：
这些点集的共同性质是：它们都是有界、闭的、凸的，关于原点对称的。 例1．6：xp?np????xi?,?i?1?1??????p1?p???．其中xi表示xi的模．此范数
?x?。
称p-范数，而且１，2范数为当ｐ＝１，2时的范数。而当p??时，有xp 证明：事实上，
x两边开p次方得
p??maxxi??x?n?maxxi?n?x?
1?i?ni?11?i?npnpppx??(?x)?n?x?，由于limn?1，故xpnp1p1pi?1p??p?x?。
例1．7：证明?2为C空间上向量范数。
Tn证明：（1）对任给ｎ维向量x?(x1,x2,?,xn)?C，若x?0，则x1,x2,?,xn不全为
n
零，故
x2?x1?x2???xn?0
222 （2）对任给??C，x?(x1,x2,?,xn)T?Cn，则
??x2???x1???x2?????xn???x1?x2???xn???x2
（3） 对任给x?(x1,x2,?,xn)T?Cn，y?(y1,y2,?,yn)T?Cn则由 Cauchy-Schiwatz不等式：(x,y)?22222222(x,x)?(y,y)?x2?y2可得
x?y2?(x?y,x?y)?(x,x)?(y,x)?(x,y)?(y,y)
?x2?2(x,y)?y2 ?x2?2x?y?y2,
=(x2?y2)。
由向量范数的定义，?2为C空间上的向量范数。
例1．8设A=??2n
22222?100??，求A??024?3ijm1、AF、A1、A23?和A2。
2解：Am?1??ai?1j?12i?1?1?2?4?7；AF???ai?1j?1ij?1?22?42?21
1,6??6； A1?max?aij?max?1,2,4??4；A??max?aij?max?1?j?n1?j?n31?i?nj?11?j?n?10??100????100???T02048AA注意到，=????，令 ?024??=???0816??04??????det?I?ATA?????10000?8????1????4????16??64???1??0 ??16??max(ATA)?20?25。
??4?82T得，?(AA)?20，从而A1． 3习题 1、填空题
(1) 设A????10??,则A1= , A?= ,AF= , A2= 及A的谱半??23?径?(A)= 。
(2) x?(3,0,?4,12)T?R4，则x1= , x3?= ,x2= 3(3) 记x?(x1,x2,x3)T?R3，判断如下定义在R上的函数是否为R上的向量范数（填是或不是）.
；x?x1?2x2?3x3（ ）；x?x1?x2?x3（ ）。 x?x1?2x2?3x3（ ）(4) 使70?8.36660026534?的近似值a的相对误差限不超过0.1％，应取几有效数字, a = .
2、证明
（1）
x??x1?nx?； （2）
nn?nx??x2?nx?
是非奇异矩阵，定义x=Px，证明：算子
3、设 ‖x‖为R上任一范数，P?R-1范数Ap=PAP。
4、设A为n阶非奇异矩阵，U为n阶酉矩阵.证明： (1) U2?1； (2) AU2?UA2?A2
5、已知e?2.71828?，问以下近似值xA有几位有效数字，相对误差是多少？ （1）x?e, xA?2.7 （2）x?e，xA?2.7 （3）x?ee,xA?0.027, （4）x?,xA?0.02718. 10010026、给定方程x?26x?1?0，利用168?12.961，求精确到五位有效数字的根。并求两个根的绝对误差界和相对误差界。
7. 在五位十进制计算机上求 S?545494??????ii?1i?110050i，
的和，使精度达到最高，其中?i?0.8,?i?2。
8. 在六位十进制的限制下，分别用等价的公式 （1） f(x)?ln(x?x2?1)； （2）f(x)??ln(x?x2?1)
计算f?30?的近似值，近似值分别为多少？求对数时相对误差有多大？
9. 若用下列两种方法
i?95i??5*?5i5*??x（1）e??(?1)， ?x1， （2）e???2??i!i?0?i?0i!?9?1计算e的近似值，问那种方法能提供较好的近似值？请分析原因。
10. 计算f?(2?1)6，取2?1.4，直接计算f和利用下述等式
?5?12?1?,6?3?22?,3?3?22?13,99?702；
计算，那一个最好？
11. 如何计算下列函数值才比较准确。 （1）
1111?,对x??1； （2）x??x?,对x??1；
1?2x1?xxx（3）
?N?1Ndx1?cosx,其中N,对x??1。 充分大； （4）
sinx1?x21.4习题解答 1、解
（1）有定义，A1= 3, A?= 5,AF=14, A2=7?210及?(A)= 3。 (2) x?(3,0,?4,12)?R，则x1= 19, xT4?= 12,x2= 13。
?1???2? 。 (3)（是）；为给定向量1-范数的加权的范数，其中取对角矩阵，W???3??? （不是）；不满足向量范数性质1；（不是）；不满足向量范数性质1。
(4) a =8.3667。因70?8.36660026534?，a1?8，要是得相对误差限不超过
0.1%，即
70?aa?0.001，则
70?aa101?n1???101?n?0.001时，有n?4。 2a116n2、只就（2）证明 ，由定义可得，
x??maxxk??xk?x2??maxxk?nx?
kk?1k?1k22n2222从而，
x??x2?nx?。
3、首先，证明x1）因P?Rn?nP?Px是一向量范数。事实上，
是非奇异矩阵，故?x?0，Px?0，故Px?0时，x?0，且当x?0时，Px?0，于是，x2）对???R，3）x?yP?Px?0当且仅当x?0时，xP?Px=0成立；
?xP?P??x????Px????Px???xP；
P?P?x?y??Px?Py?Px?Py?xP?yP。
故xP是一向量范数。再
AP?maxx?0AxPxPPAP?1PxPAx?max?max， x?0x?0PxPx??令y?Px，因P非奇异，故x与y为一对一，于是
AP?maxy?0?PAP?y?1y
?PAP?1
4、证明：(1)，由算子范数的定义
U22?maxx?0Ux2x222H?Ux??Ux?xHUHUxxHx?max?max?max?maxx?0xx2222x22x?0x22x?0x22x?0?1；
证明：(2)，
AU2??max?AU?HAU??max?UH?AHA?U???max?AHA??A2， ?maxHUA2?5、解：
???UA??UA??max?A?UHU?A???max?AHA??A2。
?此结论表明酉阵具有保2-范数的不变性。
（1）由于e?xA?再由相对误差界的公式，
1?10?1，由有效数字定义可知，xA有2位有效数字；又a1?2，2e?xA11??101?2??10?1； xA2?241?10?3，由有效数字定义可知，xA有4位有效数字；又a1?2，2（2）由于e?xA?再由相对误差界的公式，
e?xA11??101?4??10?3； xA2?241?10?3，由有效数字定义可知，xA有2位有效数字；又a1?2，2（3）由于e?xA?
