1）向量范数
定义 存在R（n维实向量空间）上的一个非负实值函数，记为f(x)?x，若该函数满足以下三个条件：即对任意向量x和y以及任意常数??R（实数域）
（1）非负性 x?0，并且x?0的充分必要条件为x?0; （2）齐次性
n?x??x；
（3）三角不等式x?y?x?y． 则称函数?为R上的一个向量范数．
常用三种的向量范数
设任意ｎ维向量x?(x1,x2,?,xn)T，（x为向量x的转置），
Tnx1??xi， 向量的1-范数
i?1n?n2? x2???xi??i?1? x?1?i?n12?xT?x??x,x?2， 向量的2-范数
1?maxxi， 向量的?-范数
一般情况下，对给定的任意一种向量范数?，其加权的范数可以表为
xW?Wx，
其中W为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。
向量范数的连续性定理 R上的任何向量范数x均为x的连续函数。 向量范数的等价性定理 设??和?为R上的任意两种向量范数，则存在两个与向量?nnx无关的正常数c1和c2，使得下面的不等式成立
c1x2). 矩阵范数 定义 存在R任意的A,B?Rn?n??x??c2x?，其中?x?Rn.
（n?n维复矩阵集合）上的一个非负实值函数，记为f(A)?A，对均满足以下条件：
n?n（1）非负性：对任意矩阵A均有A?0，并且A?0的充分必要条件为A?O;
（2）齐次性：
?A??A，?∈C；
（3）三角不等式：A?B?A?B, A,B?Rn?n； （4）相容性：AB?A?B, A,B?Rn?n， 则称?为Rn?n上的矩阵范数。
我们可定义如下的矩阵范数：
Am???aij，矩阵的m1-范数
1mni?1j?1
?2??AF?????aij???，矩阵的F-范数（Frobenius）范数。 ?i?1j?1?mn12（矩阵范数与向量范数相容性定义） 对于一种矩阵范数?果对任意n×n矩阵A和任意n维向量x, 满足
M
和一种向量范数?V，如
AxV?AMxV，
则称矩阵范数?
3）矩阵的算子范数
定理 已知R上的向量范数?V，A为n×n矩阵，定义 AnM
与向量范数?V是相容的。
M?maxx?0AxVxV?maxAxV
xV?1则AM是一种矩阵范数，且与已知的向量范数相容，称之为矩阵的算子范数。 三种常用的矩阵的算子范数
A1?max?aij； (列范数)
1?j?ni?1mA??max?aij． (行范数)
1?i?mj?1n A2TT??ma(xAA), （谱范数）
T其中?max(AA)表示矩阵AA的最大特征值。
对任何算子范数?，单位矩阵I?Rn?n的范数为1，即I?1。
可以证明：
① 任意给定的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数；任意给定的向量范数必然存在与之相容的矩阵范数（如从属范数）．
② 一个矩阵范数可以与多种向量范数相容（如矩阵m1范数与向量p-范数相容）；多种矩阵范数可以与一个向量范数相容（如矩阵F?范数和矩阵2?范数与向量2?范数相容）。
③ 从属范数一定与所定义的向量范数相容，但是矩阵范数与向量范数相容却未必有从属关系。（如，?F与向量?2、?m1与向量?1相容，但无从属关系）。
④ 并非任意的矩阵范数与任意的向量范数相容。
4）矩阵范数的性质 ① 设?为Rn?n矩阵空间的一种矩阵范数，则对任意的n阶方阵A均有 ?(A)?A．
其中?(A)?max?det??I?A??0为方阵A的谱半径。
T注意：当A?A时，A2????max?ATA???max?A2???max?A???(A)。
n?n ② 对于任给的ε>0, 则存在R使得
A ③ 对于Rn?n上的一种算子范数?M
（依赖矩阵A和常数ε），
M??(A)??．
n?n上的一种算子矩阵范数?，如果A?R且A<1, 则In?A可逆且
?In?A??1二、典型例题分析
?1．
1?A例1．1：下列近似值的绝对误差限均为0.005，问它们各有几位有效数字？
a?138.002，b??0.0312，c?0.86?10?4
解： 现将近似值写成标准形式：
a?0.138002?103, b??0.312?10?1, c?0.86?10?4,
在直接根据有效数字定义得出，
x?a?1?10?2 ?k?n?3?n??2?n?5，即a有5位有效数字； 21x?b??10?2 ?k?n??1?n??2?n?1，即b有1位有效数字；
2x?c?1?10?2 ?k?n??4?n??2?n??2，即c无有效数字。 2m
例1．2：已知x的相对误差为0.003，求a的相对误差。
解：此题要利用函数计算的误差估计，即取f?x??xm，f??x??m?xm?1，则由 f?x?? f?a??f??a??x?a?，可推出 x?a?m?ammm?1??x?a?，故am的相对误差为
xm?amx?a?m??0.003m。 ama例1．3：此为减少运算次数达到避免误差危害的例子
利用3位算术运算求f?x??x3?6.1x2?3.2x?1.5在x?4.71处的值。
表中给出了传统的方法的计算的中间结果。在这里我们使用了两种取值法：截断法和舍入法。
精确值
x
x2 x3 6.1x2
3.2x
4.71 22.1841 104.487 111 135.323 01 15.072
104 104
135 135
15.0 15.1
3位数值（截断法） 4.71 22.1 3位数值（舍入法） 4.71 22.1
精确值：f?4.71??104.487111?135.32301?15.072?1.5??14.263899 3位数值（截断法）：f?4.71????104?134??15.0??1.5??13.5 3位数值（舍入法）：f?4.71????105?135??15.1??1.5??13.4 上述3位数值方法的相对误差分别是
?14.263899?13.5?14.263899?13.4?0.05，截断法 ?0.06，舍入法
?14.263899?14.263899作为另一种办法，用秦九韶方法（嵌套法）可将f?x?写为
f?x??x3?6.1x2?3.2x?1.5???x?6.1?x?3.2?x?1.5
那么，3位数值（截断法）：f?4.71????4.71?6.1?4.71?3.2?4.71?1.5??14.2
???1.38?4.71?3.2??4.71?1.5 ???6.54?3.2??4.71?1.5
??3.34?4.71?1.5??15.7?1.5??14.2
3位数值（舍入法）：f?4.71????4.71?6.1?4.71?3.2?4.71?1.5??14.2
???1.38?4.71?3.2??4.71?1.5 ???6.55?3.2??4.71?1.5
??3.35?4.71?1.5??15.8?1.5??14.3
则相对误差分别是
?14.263899?14.2?14.263899?14.3（截断法） （舍入法） ?0.0045，?0.0025，
?14.263899?14.263899可见使用秦九韶方法（嵌套法）已将截断近似计算的相对误差减少到原方法所得相对误差的10%之内。对于舍入近似计算则改进更大，其相对误差已减少95%以上。
多项式在求值之前总应以秦九韶方法（嵌套法）表示，原因是这种形式使得算术运算次数最小化。本例中误差的减小是由于算术运算次数从4次乘法和3次加法减少到2次乘法和3次加法。减少摄入误差的一种办法是减少产生误差的运算的次数。
例1．4：已知近似值a1?1.21，a2?3.65，a3?9.81均为有效数字，试估计如下算术运算的相对误差。
a1?a2?a3
解：由已知，
x1?a1?令
1111?10k?n??10?2；x2?a2??10?2；x3?a3??10?2。 2222f?x1,x2,x3??x1?x2?x3，f?a1,a2,a3??a1?a2?a3，
由函数运算的误差估计式
f?x1,x2,x3??f?a1,a2,a3??
fx?1?a1,a2,a3??x1?a1?+fx?2?a1,a2,a3??x2?a2?+fx?3?a1,a2,a3??x3?a3? ?a2?x1?a1??a1?x2?a2???x3?a3?
从而，相对误差可写成
f?x1,x2,x3??f?a1,a2,a3??a2x1?a1?a1x2?a2?x3?a3f?a1,a2,a3?f?a1,a2,a3??
1.21?3.65?11??10?2?0.00206﹟
1.21?3.63?9.812
