知识改变命运，学习成就未来
【专题四】 解析几何
【考情分析】
1．圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点．高考一般设计两个客观题和一个主观题，客观题考查直线与圆的关系和圆锥曲线的概念及基本几何性质，主观题一般通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强．
2． 该部分考查的重点有：直线与圆的方程、直线与圆的位置关系、三种圆锥曲线的概
念及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，动点轨迹方程的求法，解析几何与各部分知识综合问题的解法，数形结合思想等．
【知识交汇】
1．直线与圆综合
直线与圆都是解析几何的基本知识点，考题常以选择题和填空题形式综合考查他们之间的位置关系．难度不大，属于基础题．
例1．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x?3y?0和x轴相切，则该圆
的标准方程是（ ）
7??A．(x?3)??y???1
3??22B．(x?2)?(y?1)?1
22C．(x?1)?(y?3)?1 答案：B
22
3??D．?x???(y?1)2?1
2??|4a?3|1?1,?a?2(舍?).故选B． 522解析：设圆心为(a,1),由已知得d?点评：圆与x轴相切，则圆心的纵坐标与半径的值相等，注意用数形结合，画出草图来
帮助理解．
例2．已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的
方程为（ ）
（A）(x?1)?(y?1)?2 (B) (x?1)?(y?1)?2 (C) (x?1)?(y?1)?2 (D) (x?1)?(y?1)?2 答案：B
22222222欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com
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解析：圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象，或者验证A、B中圆心到两直线的距离等
于半径2即可．
点评：圆与直线相切，则圆心到直线的距离等于半径，注意用数形结合，画出草图来帮助理
解．当然选择题中也可以用排除法，既快又准的得出答案．
2．直线与圆锥曲线的综合
直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；能够利用数形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系，但要注意曲线上的点的纯粹性；涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简便．直线与圆锥曲线位置关系涉及函数与方程，数形结合，分类讨论、化归等数学思想方法，因此这部分经常作为高考试题的压轴题，命题主要意图是考查运算能力，逻辑推理能力． 例3．已知以F1(?2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x?3y?4?0有且仅有一个交
点，则椭圆的长轴长为（ ） A．32
B．26 C．27 D．42 解析：设椭圆方程为mx2?ny2?1(m?n?0).，联立方程组：
22??mx?ny?1,消x得：(3m?n)y2?83my?16m－1＝0， ???x?3y?4?0△＝192m2－4(16m－1)（3m＋n)＝0，整理，得：3m?n?16mn,即：
31??16.，又c＝2，由焦点在x轴上信，所以， nm1?m??11?7?＝4，联立解得：?，故长轴长为27. mn?n?1?3?点评：直线与圆锥曲线只有一个交点时，经常采用联立方程组，消去一个未知数后，变
成一元二次方程，由判别式来求解，但要注意，有时要考虑二次项的系数为0的特殊情况．
3．向量与圆锥曲线综合
向量作为数学的一个实用工具，在各部分的高考试题中频频出现，这也是命题者设计隐藏已知条件的热点所在，解决该类问题的关键是将条件转化，从而挖掘出条件的真
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正面目．
x2y2例4．设椭圆E； 2?2?1（a，b>0）过M（2，2） ，N(6，1)两点，O为坐标
ab原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，
????????且OA?OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明
理由．
x2y2解析；（1）因为椭圆E； 2?2?1（a，b>0）过M（2，2） ，N(6，1)两点，
ab2?4?11??1????a2?8x2y2?a2b2?a28??1 所以?解得?所以?2椭圆E的方程为
611184b?4????1??222??4?ab?b（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，
?y?kx?m?????????且OA?OB，设该圆的切线方程为y?kx?m解方程组?x2y2得
?1??4?8x2?2(kx?m)2?8，
即(1?2k)x?4kmx?2m?8?0，
222222则△=16km?4(1?2k)(2m?8)?8(8k?m?4)?0，即8k?m?4?0
222224km?x?x??12??1?2k2， ?22m?8?xx?12?1?2k2?k2(2m2?8)4k2m2m2?8k22y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m???m?1?2k21?2k21?2k2
22????????2m2?8m2?8k2??0， 要使OA?OB，需使x1x2?y1y2?0，即221?2k1?2k3m2?8?0又8k2?m2?4?0， 所以3m?8k?8?0，所以k?8222欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com
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?m2?2826262所以?2，所以m?，即m?或m??，
333?3m?8因为直线y?kx?m为圆心在原点的圆的一条切线，
m2m2826??所以圆的半径为r?，r?，， r?2223m?831?k31?k1?8m2所求的圆为x?y?2282626，此时圆的切线y?kx?m都满足m?或m??， 333x2y226??1的两个交点为 而当切线的斜率不存在时切线为x??与椭圆843????????26262626(,?)或(?,?)满足OA?OB， 3333综上， 存在圆心在原点的圆x?y?228，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点3????????A，B，且OA?OB．
4km?x?x??12??1?2k2因为?， 2?xx?2m?812?1?2k2?4km22m2?88(8k2?m2?4)所以(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?， )?4??1?2k21?2k2(1?2k2)222|AB|?(x1?x2)??y1?y2?228(8k2?m2?4) ?(1?k)(x1?x2)?(1?k)22(1?2k)222324k4?5k2?132k2??4?[1?4]， 2234k?4k?134k?4k?1①当k?0时|AB|?321[1?]
1324k?2?4k因为4k?21?4?8所以0?k211?， 14k2?2?48k欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com
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所以
32321?[1?]?12，
1334k2?2?4k426?|AB|?23当且仅当k??时取”=”． 32所以② 当k?0时，|AB|?46． 326262626,?)或(?,?)，所以此时3333③ 当AB的斜率不存在时， 两个交点为(|AB|?46， 3446?|AB|?23即； |AB|?[6,23] 33综上， |AB |的取值范围为点评；本题属于探究是否存在的问题，主要考查了椭圆的标准方程的确定，直线与椭圆
的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系．
4．方程、不等式与圆锥曲线综合
近几年来的高考题中，圆锥曲线与方程、不等式的综合一直是高考热点之一，尤其是均值不等式在求最值或范围中的应用，更是频繁出现．其综合性强，对能力的要求较高，运算难度较大．
x2?y2?1交于A，B两点， 例5．如图，直线y?kx?b与椭圆4记△AOB的面积为S．
（I）求在k?0，0?b?1的条件下，S的最大值； （II）当AB?2，S?1时，求直线AB的方程． 解析：设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)．
y A O B x 图1
由
x2?b2?1，解得x1，2??21?b， 41b·x1?x2?2b·1?b2≤b2?1?b2?1， 22所以S?当且仅当b?2时，S取到最大值1． 2欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com
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