【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 8函数y＝Asin（ωx
＋φ）的图像与性质第2课时 新人教A版必修4
1．问题导航
(1)在物理学中，简谐运动的图像就是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)的图像，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗？
(2)A，φ，ω对函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像有什么影响？
(3)利用“五点法”作出函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期上的图像，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的填空. π3ωx＋φ 0 π 2π π 22x y 2.例题导读
P53例5.通过本例学习，学会求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的最值及相应x值的集合．
试一试：教材P56习题1－8 A组T6你会吗？ P54例6.通过本例学习，学会求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间． 试一试：教材P55练习3T4你会吗？
1．简谐振动
2πω简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A叫作振幅，周期T＝，频率f＝，ω2π相位是ωx＋φ，初相是φ．
2．作y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图像的主要方法 (1)用“五点法”作图
用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，则π3
z取0，，π，π，2π求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像．
22
(2)由函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图像，主要有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
途径一：先平移后伸缩
向左（φ>0）或向右（φ<0）
y＝sin x→ 平移|φ―|―个单位长度
1
横坐标变为原来的倍纵坐标变为原来的A倍
ωy＝sin(ωx＋φ)y＝sin(x＋φ)――→――→y＝横坐标不变
纵坐标不变
Asin(ωx＋φ)．
途径二：先伸缩后平移
1
横坐标变为原来的倍
ω y＝sin x――→
纵坐标不变
1
向左（φ>0φ<0）φ）或向右（??――→ 平移??个单位长度
?ω?
纵坐标变为原来的A倍
y＝sin(ωx＋φ)――→y＝Asin(ωx＋φ) 横坐标不变
注意：变换次序不同，平移的单位不同．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 定义域 R 值域 [－A，A] 2π周期性 T＝ ωπkπφ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；φ＝＋kπ(k∈Z)时是偶函数；当φ≠(k∈Z)22奇偶性 时是非奇非偶函数 ππ递增区间可由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)得到，递减区间可由2kπ＋22单调性 π3π≤ωx＋φ≤2kπ＋(x∈Z)得到 224.函数图像的对称变换 一个函数的图像经过适当的变换(例如对称、平移、伸缩等)得到有关函数的图像，叫做函数的初等变换．
前面的平移、伸缩变换均属初等变换．
对称变换主要指下面几种，在此也一并整理，以便同学们系统掌握． 常见的图像变换的特点 (1)平移变换
向左平移φ（φ>0）个单位长度
y＝f(x)――→y＝f(x＋φ)
向右平移φ（φ>0）个单位长度
y＝f(x)――→y＝f(x－φ)
向上平移b（b>0）个单位长度
y＝f(x)――→y＝f(x)＋b
向下平移b（b>0）个单位长度
y＝f(x)――→y＝f(x)－b (2)伸缩变换
1
各点的横坐标变为原来的倍
ωy＝f(ωx) y＝f(x)――→
纵坐标不变（ω>0）
各点的纵坐标变为原来的A倍
y＝f(x)――→A>0）y＝Af(x) 横坐标不变（(3)对称变换
关于y轴对称
y＝f(x)――→y＝f(－x)
关于x轴对称
y＝f(x)――→y＝－f(x)
关于原点对称
y＝f(x)――→y＝－f(－x) (4)翻折变换
上留下翻去掉下边
y＝f(x)――→y＝|f(x)|
右留右翻不见左边
y＝f(x)――→y＝f(|x|)
y＝sin ωx1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.( )
2
π???π?(2)函数y＝2sin?2x－?，x∈R的一个对称中心为?，0?.( ) 4???8?
?xπ?(3)五点法作函数y＝2sin?＋?在一个周期上的简图时，第一个关键点为?23?
?π，0?.( ) ?3???
(4)函数y＝Asin(ωx－φ)的初相为φ.( )
解析：(1)错误．根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质知，当A>0时，函数y＝Asin(ωx＋φ)的最大值为A，否则为－A.
π?ππ?(2)正确．当x＝时，y＝2sin?2×－?＝0.
84?8?
xπ2π?2π?(3)错误．由＋＝0，得x＝－，所以第一个点为?－，0?. 233?3?
(4)错误．根据初相的定义知函数y＝Asin(ωx－φ)的初相为－φ. 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
1?1π?
2．函数y＝sin?x＋?的周期、振幅、初相分别是( )
6?3?3
1π1π
A．3π，， B．6π，，
3636
ππ
C．3π，3，－ D．6π，3，
66
12ππ
解析：选B.由函数解析式知A＝，T＝＝6π，φ＝.
316
3
3．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图像如图所示，则( )
ππ
A．ω＝，φ＝
24ππ
B．ω＝，φ＝
36ππ
C．ω＝，φ＝
44π5π
D．ω＝，φ＝
44
解析：选C.因为T＝2×[3－(－1)]＝8，
2π2ππ
所以ω＝＝＝，
T84
ππ
又因为f(1)＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．
42
ππ
所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为0≤φ<2π，所以φ＝.
44
4．利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的图像时，其五点的坐标分别为?－π，1?，?3π，0?，?7π，－1?，?11π，0?，?15π，1?，则A＝________，T＝________．
?163??16??16???163?3????????16???
3?1?11
解析：由题知A＝，T＝2?π－π?＝π.
16?3?16
3
