2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.
（1）当x?0时，f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?等价无穷小，则
11. (B)a?1,b?. 6611(C)a??1,b??. (D)a??1,b?.
66(A)a?1,b??【答案】 A.
【解析】f(x)?x?sinax,g(x)?x2ln(1?bx)为等价无穷小，则
f(x)x?sinaxx?sinax1?acosaxa2sinaxlim?lim2?lim2洛lim洛lim2x?0g(x)x?0xln(1?bx)x?0x?(?bx)x?0x?0?3bx?6bxa2sinaxa3?lim???1 ?a3??6b 故排除(B)、(C). x?06b6b??axa另外lim1?acosax存在，蕴含了1?acosax?0?x?0?故a?1.排(D). 2x?0?3bx所以本题选（A）. （2）如图，正方形
??x,y?x?1,y?1?被其对角线划分为
??ycosxdxdy，则max?I??
Dk1?k?4k y 1 四个区域Dk?k?1,2,3,4?，Ik?(A)I1. 【答案】 A.
(B)I2. (C)I3.
(D)I4.
-1 D1 D2 D3 -1 D4 1 x
【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.
D2,D4两区域关于x轴对称，而f(x,?y)??ycosx??f(x,y)，即被积函数是关于y的奇函数，所以
I2?I4?0;
D1,D3两区域关于y轴对称，而f(?x,y)?ycos(?x)?ycosx?f(x,y)，即被积函数是关于x的偶函数，
ycosxdxdy?0； 所以I1?2?(x,y)y?x,0?x?1???梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！
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I3?2?(x,y)y??x,0?x?1???ycosxdxdy?0.所以正确答案为(A).
（3）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为
f(x) 1 O -1 x-2 则函数F?x??1 2 3 x
?f?t?dt的图形为
0f(x)1 O -1 f(x)1 -2 (A)
1 2 3 x (B)
-2 -1 O 1 2 3 x
f(x)1 O 1 2 3 f(x)1 -1 (C)
x
(D)
-2 -1 O 1 2 3 x
【答案】D.
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由y?f(x)的图形可见，其图像与x轴及y轴、x?x0所围的图
形的代数面积为所求函数F(x)，从而可得出几个方面的特征： ①x??0,1?时，F(x)?0，且单调递减. ②x??1,2?时，F(x)单调递增.
梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！
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③x??2,3?时，F(x)为常函数.
④x???1,0?时，F(x)?0为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为（D）.
（4）设有两个数列?an?,?bn?，若liman?0，则
n??（A）当
?bn?1n?n收敛时，
?abn?122nn?nn收敛. （B）当
?bn?1n?n发散时，
?abn?1??nn发散.
(C)当
?bn?1?收敛时，
?abn?1?收敛. (D)当
?bn?1?发散时，
?abn?122nn发散.
【答案】C. 【解析】方法一：
举反例：（A）取an?bn?(?1)n1 n
1 n1 （D）取an?bn?
n （B）取an?bn?故答案为（C）.
方法二：因为liman?0,则由定义可知?N1,使得n?N1时，有an?1
n??又因为
?bn?1?n收敛，可得limbn?0,则由定义可知?N2,使得n?N2时，有bn?1
n??从而，当n?N1?N2时，有ab?bn，则由正项级数的比较判别法可知
22nn?abn?1?22nn收敛.
3
（5）设?1,?2,?3是3维向量空间R的一组基，则由基?1,?2,?3到基
1213?1??2,?2??3,?3??1的过渡矩阵为
?101???(A)?220?.
?033???
?120??? (B)?023?.
?103???
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?1?2?1(C)???2?1???2【答案】A.
14141?41???6?1?. 6??1??6?
?1?2?1(D)??4?1????6?1214161?2??1??. 4??1??6?【解析】因为??1,?2,?,?n????1,?2,?,?n?A，则A称为基?1,?2,?,?n到?1,?2,?,?n的过渡矩阵. 则由基?1,?2,?3到?1??2,?2??3,?3??1的过渡矩阵M满足
121311??,?,?3?M ??1??2,?2??3,?3??1???2?1?23??101?1???1????1,?2,?3??220?
3???2??033?所以此题选(A).
（6）设A,B均为2阶矩阵，A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，若A?2,B?3，则分块矩阵?伴随矩阵为
?OA??的
?BO??O?A??*?2A?OC???*?2B【答案】B.
3B*??. O?3A*??. O?
?O?B??*?3A?OD???*?3B2B*??. O?2A*??. O?
【解析】根据CC?CE，若C?CC,C???1?1?1?C C分块矩阵?OA?OA?2?2的行列式?（?1）AB?2?3?6，即分块矩阵可逆 ?BO?BO?A?OA??O?6??1??0?BO??A?1O?OA????B?BO????O?1B????6?1?O??A?A1??B?B? ?O??梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！
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??O?6??1A???21??B??O3????3AO????2B??? O?故答案为（B）.
（7）设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7???x?1??，其中??x?为标准正态分布函数，则?2?EX?
(A)0. 【答案】C.
【解析】因为F?x??0.3??x??0.7??
(B)0.3. (C)0.7.
(D)1.
?x?1??， ?2?所以F??x??0.3???x??0.7?x?1?????， 22????所以EX??????xF??x?dx??????x?1??x?0.3???x??0.35?????dx
?2????0.3?而
????x???x?dx?0.35????????x?1?x????dx
2???????x???x?dx?0，?????x?1?x?1?x???dx?u2?2u?1????u?du?2 ????2?2?所以EX?0?0.35?2?0.7.
（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N?0,1?，Y的概率分布为
1P?Y?0??P?Y?1??，记FZ?z?为随机变量Z?XY的分布函数，则函数FZ?z?的间断点个数
2为 (A)0. 【答案】 B. 【解析】
(B)1.
(C)2.
(D)3.
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