2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.
（1）当x?0时，f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?等价无穷小，则
11. (B)a?1,b?. 6611(C)a??1,b??. (D)a??1,b?.
66(A)a?1,b??（2）如图，正方形
??x,y?x?1,y?1?被其对角线划分为
??ycosxdxdy，则max?I??
Dk1?k?4k y 1 四个区域Dk?k?1,2,3,4?，Ik?(A)I1.
(B)I2. (C)I3.
(D)I4.
-1 D1 （3）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为
D2 D3 -1 D4 1 x
f(x) 1 O -1 x-2 则函数F?x??1 2 3 x
?f?t?dt的图形为
0f(x)1 O 1 -1 (A)
(B)
f(x)1 -2 2 3 x-2 -1 O 1 2 3 x
梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！
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f(x)f(x)1 1 -1 O 1 2 3 x-2 O 1 2 3 x(C)
(D)
-1
4）设有两个数列?an?,?bn?，若nlim??an?0，则 ????（A）当
?bn收敛时，
n?1?anbn收敛. （B）当
bn发散时，
nn发散.
n?1?n?1?abn?1??22?? (C)当
?bn收敛时，
nn收敛. (D)当
n发散时，
n?1?abn?1?bn?1?a2b2nn发散.
n?1（5）设?3
1,?2,?3是3维向量空间R的一组基，则由基?111,2?2,3?3到基
?1??2,?2??3,?3??1的过渡矩阵为
?101?(A)???220? (B)?120??023??.
?033?.
???
??103????11??24?1?6??1?11?22?(C)?11???1??21?246?.
(D)?1??1??44?. ??11??411??2?146???????1666???（6）设A,B均为2阶矩阵，A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，若A?2,B?3，则分块矩阵??O?B伴随矩阵为
?*A???O3B*??2A*O??.
?B???O2B??3A*O??. ?*C???O3A??2B*O??.
?D???O2A*??3B*O??. 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！
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A?O?的
?（（7）设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7???x?1??，其中??x?为标准正态分布函数，则?2?EX?
(A)0.
(B)0.3. (C)0.7.
(D)1.
（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N?0,1?，Y的概率分布为
1P?Y?0??P?Y?1??，记FZ?z?为随机变量Z?XY的分布函数，则函数FZ?z?的间断点个数
2为 (A)0.
(B)1.
(C)2.
(D)3.
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.
?2z（9）设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数，z?f?x,xy?，则? .
?x?y（10）若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??C1?C2x?e，则非齐次方程
xy???ay??by?x满足条件y?0??2,y??0??0的解为y? . （11）已知曲线L:y?x（12）设??2?0?x?2?，则?xds? . L??x,y,z?x2?y2?z2?1，则???z2dxdydz? . ?TTT其中?为?的转置，则矩阵??的非零特征值为 . ??2，
2?（13）若3维列向量?,?满足?X和S分别为样本均值和样本方差. (14)设X1,X2,?,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本，
2若X?kS为np2的无偏估计量，则k? .
三、解答题：15~23小题，共94分. （15）（本题满分9分）
22求二元函数f(x,y)?x2?y?ylny的极值.
??（16）（本题满分9分） 设an为曲线y?x与y?x??nn?1?n?1,2,.....?所围成区域的面积，记
S1??an,S2??a2n?1，求S1与S2的值.
n?1n?1梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！
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x2y2??1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点?4,0?且与椭圆（17）（本题满分11分）椭球面S1是椭圆43x2y2??1相切的直线绕x轴旋转而成. 43（Ⅰ）求S1及S2的方程
（Ⅱ）求S1与S2之间的立体体积. （18）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f?x?在?a,b?上连续，在(a,b)可导，则存在???a,b?，使得
f?b??f?a??f?????b?a?
f??x??A，则f???0?存在，（Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?????0?内可导，且lim?x?0且f???0??A.
（19）（本题满分10分）计算曲面积分I?????xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y2?z322，其中
??是曲面
2x2?2y2?z2?4的外侧.
（20）（本题满分11分）
?1?1?1???1?????1?，?1??1?. 设A???11?0?4?2???2?????（Ⅰ）求满足A?2??1的?2. A2?3??1的所有向量?2,?3. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量?2,?3证明?1,?2,?3无关.
（21）（本题满分11分）设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3
222（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；
22（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1，求a的值. ?y2（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
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（Ⅰ）求pX?1Z?0；
（Ⅱ）求二维随机变量?X,Y?概率分布.
????2xe??x,x?0（23）（本题满分11 分） 设总体X的概率密度为f(x)??，其中参数?(??0)未知，X1，
?0,其他X2,…Xn是来自总体X的简单随机样本.
(Ⅰ)求参数?的矩估计量； （Ⅱ）求参数?的最大似然估计量.
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