2017-2018学年江苏省南通市如东市高一（上）期中数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共20分）.
1．（5分）若集合A={2，3，4}，B={3，4，5}，则A∪B= ． 2．（5分）函数y=log2（3﹣2x）的定义域为 ．
3．（5分）已知幂函数f（x）过点（2，），则f（）= ．
4．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx+1，且f（3）=2，则f（﹣3）= ． 5．（5分）设集合A={0，1}，B={1，2}，M={x|x=ab，a∈A，b∈B}，则M的子集个数为 ． 6．（5分）计算3×（）
+（π﹣1）0+2log
9﹣（2lg4+lg）= ．
7．（5分）已知函数（fx）=，若f[（fln2）]=2a，则a= ．
8．（5分）方程log3x+x=3的解是x0，若x0≤n（n∈N*），则n的最小值是 ． 9．（5分）已知函数f（x）=
，若对任意的x∈R，不等式f（x）
≤m2﹣m恒成立，则实数m的取值范围为 ．
10．（5分）定义在R上的偶函数f（x），对任意的两个不相等的正实数a，b，总有
＞0成立，则不等式f（1）＜f（log2x﹣3）的解集为 ．
11．（5分）函数f（x）=loga（2﹣）（a＞0且a≠1）在（1，2）上单调递增，则a的取值范围为 ．
12．（5分）若函数y=（m﹣1）x2﹣3x+1的图象与x轴正半轴只有一个公共点，则实数m的取值范围是 ．
13．（5分）若关于x的方程9|x|﹣3﹣|x|+1﹣m=0有实根，则实数m的取值范围是 ．
14．（5分）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S，给出如下三个命题：
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①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤l≤1；③l=时，则﹣其中正确命题的个数是 ．
≤m≤0．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
15．（14分）已知集合A={x|x2﹣px+15=0}，B={x|x2﹣ax﹣b=0}，A∪B={2，3，5}，A∩B={3}． （1）求p，a，b的值；
（2）若C={x|mx+2=0}，且C?B，求m的值． 16．（14分）已知f（x）=（1）求a，b的值；
（2）试着判断函数f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论．
17．（14分）某超市计划购进一批单价为12元/个的商品，经过市场调查，若按15元/个销售，每天可卖出100个，并且销售每上涨1元/个，则每天的销售量就相应的减少10个．
（1）如果销售利润为300元，则销售价比购进价上涨了多少元？
（2）现销售价上涨x元/个，其中x∈N，x为多少时，销售利润最大？并求最大销售利润．
18．（16分）已知函数f（x）=2x﹣（1）若f（x）=1，求x的值；
（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围． 19．（16分）已知f （x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f （x）=ax﹣1．其中a＞0且a≠1．
（1）求f （2）+f （﹣2）的值； （2）求f （x）的解析式；
（3）解关于x的不等式﹣1＜f （x﹣1）＜4，结果用集合或区间表示． 20．（16分）已知二次函数f（x）=ax2+bx，满足：对于任意x∈R都有f（﹣+x）=f（﹣﹣x）成立，且方程f（x）=x有两个相等的实数根，若g（x）=f（x）﹣
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是定义在[﹣1，1]上的奇函数．
．
|λx﹣1|（其中λ＞0）． （1）求函数f（x）的表达式；
（2）写出函数g（x）的单调区间（不必写出过程）； （3）研究方程g（x）=0在区间（0，1）上的解的个数．
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2017-2018学年江苏省南通市如东市高一（上）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共20分）.
1．（5分）若集合A={2，3，4}，B={3，4，5}，则A∪B= {2，3，4，5} ． 【分析】利用并集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A={2，3，4}，B={3，4，5}， ∴A∪B={2，3，4，5}． 故答案为：{2，3，4，5}．
【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．
2．（5分）函数y=log2（3﹣2x）的定义域为 （﹣∞，） ．
【分析】函数y=log2（3﹣2x）有意义，可得3﹣2x＞0，解不等式即可得到所求定义域．
【解答】解：函数y=log2（3﹣2x）有意义， 可得3﹣2x＞0， 解得x＜，
则定义域为（﹣∞，）． 故答案为：（﹣∞，）．
【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题．
3．（5分）已知幂函数f（x）过点（2，），则f（）= 27 ．
【分析】利用待定系数法求出幂函数f（x）的解析式，再计算f（）的值． 【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，α∈R，
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其图象过点（2，）， ∴2α=， 解得α=﹣3， ∴f（x）=x﹣3， ∴f（）=故答案为：27．
【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
4．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx+1，且f（3）=2，则f（﹣3）= 0 ． 【分析】由题意可得27a+3b=1，计算f（﹣3）=﹣27a﹣3b+1，整体代入即可得到所求值．
【解答】解：函数f（x）=ax3+bx+1，且f（3）=2， 可得27a+3b+1=2， 即为27a+3b=1，
则f（﹣3）=﹣27a﹣3b+1=﹣1+1=0． 故答案为：0．
【点评】本题考查函数值的求法，注意运用整体代入法，考查运算能力，属于基础题．
5．（5分）设集合A={0，1}，B={1，2}，M={x|x=ab，a∈A，b∈B}，则M的子集个数为 8 ．
【分析】求出M={0，1，2}，由此能求出M的子集个数．
【解答】解：∵集合A={0，1}，B={1，2}，M={x|x=ab，a∈A，b∈B}， ∴M={0，1，2}， ∴M的子集个数为23=8． 故答案为：8．
【点评】本题考查集合的子集个数求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义的合理运用．
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=27．
6．（5分）计算3×（）
+（π﹣1）0+2log
9﹣（2lg4+lg）= ﹣2 ．
【分析】利用指数与对数的运算性质即可得出． 【解答】解：原式==2+1﹣4﹣1=﹣2． 故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5分）已知函数（fx）=
，若f[（fln2）]=2a，则a= ．
+1﹣4﹣
【分析】推导出f（ln2）=eln2﹣1=1，从而f[f（ln2）]=f（1）=log23=2a，由此能求出a．
【解答】解：∵函数f（x）=∴f（ln2）=eln2﹣1=1，
∴f[f（ln2）]=f（1）=log23=2a， ∴a=故答案为：
．
．
，
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
8．（5分）方程log3x+x=3的解是x0，若x0≤n（n∈N*），则n的最小值是 3 ． 【分析】把方程log3x+x=3的解转化为函数f（x）=x+log3x﹣3的零点，再由函数零点的判定定理得答案．
【解答】解：方程x+log3x=3的解为x0，就是方程x+log3x﹣3=0的解为x0， 即函数f（x）=x+log3x﹣3的零点为x0， 该函数在（0，+∞）上为增函数，
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且f（2）=2+log32﹣3=log32﹣1＜0，f（3）=3+log33﹣3=1＞0， ∴x0∈（2，3），
∵x0≤n（n∈N*），则n的最小值是3， 故答案为：3．
【点评】本题考查方程与函数的零点，考查数学转化思想方法，考查函数零点判定定理的应用，是中档题．
9．（5分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）
≤m2﹣m恒成立，则实数m的取值范围为
或m≥1 ．
【分析】求出分段函数的最大值，把不等式f（x）≤m2﹣m恒成立转化为m2﹣m大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m的取值范围．
【解答】解：对于函数f（x）=，
当x≤1时，f（x）=当x＞1时，f（x）=
＜0．
；
∴要使不等式f（x）≤m2﹣m恒成立， 则故答案为：
恒成立，即
或m≥1．
或m≥1．
【点评】本题考查了恒成立问题，训练了分段函数的最值的求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．
10．（5分）定义在R上的偶函数f（x），对任意的两个不相等的正实数a，b，总有
＞0成立，则不等式f（1）＜f（log2x﹣3）的解集为 （0，4）∪第7页（共17页）
（16，+∞） ．
【分析】由题意可得f（x）在（0，+∞）为增函数，f（1）＜f（log2x﹣3）等价为f（1）＜f（|log2x﹣3|），可得|log2x﹣3|＞1，运用绝对值不等式和对数函数的单调性，即可得到所求解集．
【解答】解：定义在R上的偶函数f（x），对任意的两个不相等的正实数a，b， 总有
＞0成立，
可得f（x）在（0，+∞）为增函数， f（1）＜f（log2x﹣3）等价为： f（1）＜f（|log2x﹣3|）， 可得|log2x﹣3|＞1，
即为log2x﹣3＞1或log2x﹣3＜﹣1， 解得x＞16或0＜x＜4，
则解集为（0，4）∪（16，+∞）． 故答案为：（0，4）∪（16，+∞）．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查绝对值不等式的解法，同时考查对数函数的单调性的运用，属于中档题．
11．（5分）函数f（x）=loga（2﹣）（a＞0且a≠1）在（1，2）上单调递增，则a的取值范围为 （1，2] ．
【分析】先将函数f（x）=loga（2﹣）转化为y=logat，t=2﹣，两个基本函数，再利用复合函数求解．
【解答】解：令y=logat，t=2﹣，
当a＞0时，t=2﹣在（1，2）上单调递增，
∵f（x）=loga（2﹣）（a＞0，a≠1）在区间（1，2）内单调递增， ∴函y=logat是增函数，且t（x）＞0在（1，2）上成立， ∴∴1＜a≤2
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故a的取值范围是（1，2]， 故答案为：（1，2]
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．
12．（5分）若函数y=（m﹣1）x2﹣3x+1的图象与x轴正半轴只有一个公共点，则实数m的取值范围是 {m|m≤1或m=
} ．
【分析】分m=1或m≠1，再根据二次函数的性质即可求出． 【解答】解：当m=1时，y=﹣3x+1=0，解得x=，满足题意， 当m≠1时，其对称轴为x=①△=0即9﹣4（m﹣1）=0，且x=②△＞0，且
≤0，解得m＜1，
}，
，
＞0，解得m=
，
综上所述m的取值范围为{m|m≤1或m=故答案为：{m|m≤1或m=
}
【点评】本题考查了二次函数的性质，需要分类讨论，属于中档题
13．（5分）若关于x的方程9|x|﹣3﹣|x|+1﹣m=0有实根，则实数m的取值范围是 [﹣2，+∞） ．
【分析】令t=3|x|，则原方程化为根，令f（t）=
（t≥1），即m=
（t≥1）有实
（t≥1），利用导数求最值得答案．
||
【解答】解：令t=3x，则原方程化为即m=令f（t）=∴f（t）=
（t≥1）有实根，
（t≥1），则f′（t）=（t≥1）为增函数，
（t≥1），
＞0（t≥1）．
则f（t）min=f（1）=﹣2．
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∴要使关于x的方程9|x|﹣3﹣|x|+1﹣m=0有实根，则实数m的取值范围是[﹣2，+∞）．
故答案为：[﹣2，+∞）．
【点评】本题考查的是根的存在性及根的个数判断．考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．
14．（5分）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S，给出如下三个命题：
①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤l≤1；③l=时，则﹣其中正确命题的个数是 3 ．
【分析】根据元素与集合的关系，以及二次函数的图象和性质，即可判断． 【解答】解：非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S． 对于①若m=1，可得x=1，则S={1}；12∈S，∴①对；
对于②若m=﹣，满足x∈S时，有x2∈S，则≤l≤1，∴②对； 对于③若l=，x2=，可得﹣故答案为：3．
【点评】本题主要考查元素与集合的关系，二次函数的值域求法，考查运算能力，属于中档题．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
15．（14分）已知集合A={x|x2﹣px+15=0}，B={x|x2﹣ax﹣b=0}，A∪B={2，3，5}，A∩B={3}． （1）求p，a，b的值；
（2）若C={x|mx+2=0}，且C?B，求m的值．
【分析】（1）由A∩B={3}．3∈A，3∈B，从而9﹣3p+15=0，解得p=8，A={x|x2﹣8x+15=0}={3，5}，由A∪B={2，3，5}，A∩B={3}．得B={x|x2﹣ax﹣b=0}={2，3}，由此能求出p，a，b的值．
第10页（共17页）
≤m≤0．
≤x≤，要使x∈S，则﹣≤m≤0．∴③对
（2）由B={2，3}，C={x|mx+2=0}，且C?B，当C=?时，m=0，成立；当C≠?时，m≠0，C={﹣}，则﹣
或﹣
，由此能求出m的值．
【解答】解：（1）∵集合A={x|x2﹣px+15=0}，B={x|x2﹣ax﹣b=0}，A∩B={3}． ∴3∈A，3∈B，
∴9﹣3p+15=0，解得p=8， ∴A={x|x2﹣8x+15=0}={3，5}， ∵A∪B={2，3，5}，A∩B={3}． ∴B={x|x2﹣ax﹣b=0}={2，3}， ∴2，3是方程x2﹣ax﹣b=0的两个根， ∴
，即a=5，b=﹣6．
（2）∵B={2，3}，C={x|mx+2=0}，且C?B， ∴当C=?时，m=0，成立；
当C≠?时，m≠0，C={﹣}，则﹣解得m=﹣1或m=﹣， ∴m的值为0或﹣1或﹣．
【点评】本题考查实数值、实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集、子集定义的合理运用．
16．（14分）已知f（x）=（1）求a，b的值；
（2）试着判断函数f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论． 【分析】（1）（fx）=由此能求出a，b的值． （2）由（1）得f（x）=能进行证明．
【解答】解：（1）∵f（x）=
或﹣，
是定义在[﹣1，1]上的奇函数．
是定义在[﹣1，1]上的奇函数，得到，
，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．利用定义法
是定义在[﹣1，1]上的奇函数，
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（2）由B={2，3}，C={x|mx+2=0}，且C?B，当C=?时，m=0，成立；当C≠?时，m≠0，C={﹣}，则﹣
或﹣
，由此能求出m的值．
【解答】解：（1）∵集合A={x|x2﹣px+15=0}，B={x|x2﹣ax﹣b=0}，A∩B={3}． ∴3∈A，3∈B，
∴9﹣3p+15=0，解得p=8， ∴A={x|x2﹣8x+15=0}={3，5}， ∵A∪B={2，3，5}，A∩B={3}． ∴B={x|x2﹣ax﹣b=0}={2，3}， ∴2，3是方程x2﹣ax﹣b=0的两个根， ∴
，即a=5，b=﹣6．
（2）∵B={2，3}，C={x|mx+2=0}，且C?B， ∴当C=?时，m=0，成立；
当C≠?时，m≠0，C={﹣}，则﹣解得m=﹣1或m=﹣， ∴m的值为0或﹣1或﹣．
【点评】本题考查实数值、实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集、子集定义的合理运用．
16．（14分）已知f（x）=（1）求a，b的值；
（2）试着判断函数f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论． 【分析】（1）（fx）=由此能求出a，b的值． （2）由（1）得f（x）=能进行证明．
【解答】解：（1）∵f（x）=
或﹣，
是定义在[﹣1，1]上的奇函数．
是定义在[﹣1，1]上的奇函数，得到，
，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．利用定义法
是定义在[﹣1，1]上的奇函数，
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