学年度平安中学 教研组校本研修
活动记录表一
研修主题 时间 地点 主持人 参与教师 研修内容 及活动纪要 主讲教【三维目标】 师讲座稿§1．3．1二项式定理 奉化高级中学 周宏波 1正确理解二项式定理及通项公式，熟练地运用公式求指定项或有关系数； 2通过对例题、习题的分析、讨论、解答进一步培养自己的抽象思维能力和解决问题的能力； 3初步掌握赋值法的应用； 4能从特殊到一般理解二项式定理； 5能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二次项系数”等概念。 23（a?b），(a?b)的展开式，归纳地得出二项或【教学重点】用两个计数原理分析教学式定理，并能用计数原理证明；掌握二项式的通项公式；能应用它解决简单问题。 2（a?b）【教学难点】用两个计数原理分析，(a?b)3的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。 设【授课类型】新授课 计 【课时安排】第1课时 【教学方法】启发引导法 【教学过程】 Ⅰ．情景设问 ［师］若今天是星期三，再过（1）过8天后市星期几（2）过8天后市星期几（3）过8天后的那一天是星期几？ ［师］在初中，我们学过两个重要公式，即 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a3+3a2b+3ab2+b3 ［师］对于(a+b)4，(a+b)5 如何展开?(利用多项式乘法) ［师］(a+b)100又怎么办？ (a+b)n(n∈N*)呢？ 我们知道，事物之间或多或少存在着规律。这节课，我们就来研究(a+b)的二项展开式的规律性。 Ⅱ．讲授新课 n202190820＝(7+1)20＝C20710+C207+?1920+C207+C20 ＝2(733＋c1732+?+c32·7+2 ［师］不妨，我们来研究一下这两式的特点，看它们的展开式是否有什么规律可循？ 02122 不难发现，(a+b)2=(a+b)(a+b)=C2a+C2ab+C2b 0312233 (a+b)3=(a+b) (a+b) (a+b)=C3a+C3ab+C3ab2+C3b 即等号右边的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项的次数相同． 注：由简单的二项式着手，引导同学从的项数、各项a和b指数的特点、各项的系数特点等三方面进行探究。 这样看来，(a+b)4的展开式应有下面形式的各项： a4，a3b，a2b2，ab3，b4． 这些项在展开式中出现的次数，也就是展开式中各项的系数是什么呢？ ［生］(讨论) 如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数 (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) 0(1)若每个括号都不取b，只有一种取法得到a4即C4种 1(2)若只有一个括号取b，共有C4种取法得到a3b 2(3)若只有两个括号取b，共有C4种取法得到a2b2 3(4)若只有三个括号取b，共有C4种取法得到ab3 4(5)若每个括号都取b，共有C4种取法得b4． 0413222344［师］也就是说，(a+b)4＝C4a+C4ab+C4ab+C4ab3+C4b． 依此类推，对于任意正整数n，上面的关系也是成立的． 0n1n-1kn-kknn即：(a+b)n=Cna+Cnab+?+Cnab +?+Cnb (n∈N*)．如何证明这个猜想呢？ 此公式所表示的定理我们称为二项式定理，右边的多项式叫做(a+b)的二项展开式. 注：以“二项式定理”的形成过程为主线，让学生思维由特殊到一般，演绎、归纳，得出定理。培养学生猜想、归纳，整节课以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。 用计数原理证明二项式定理。 n定理认识： ①展开式中有n＋1项. ②字母a降幂排列，次数由n递减到0；字母b升幂排列，次数由0递增到n． k③其中各项的系数Cn (k＝0，1，2，?，n)叫做二项式系数． k④展开式中的Cnan-kb叫做二项展开式的通项，用Tk?1表示，即通项为展开式的第kkk＋1项：Tk?1＝Cnan-kb． k⑤在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到： 0122kknn(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx． 注：对定理的特点加以说明，可使学生能熟练掌握定理的特点，以便今后在应用定理解决问题时能得心应手。 ［师］下面我们结合几例来熟练此定理． Ⅲ.例题讲解 ［例1］今天是星期三，过8，8天后是星期几？ 分析：只需8??7?1?，用二项式定理即可展开． 解： 1k19201920?k?7?1?20?C07?7???7???C20C20C207?12020n1n?1kn?kn?1n?7?1?n?C07?7???7???CnCnCn7?1n所以是星期四. 说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。 （2x?［例2］求1x6） （1）展开式。 ??2?1?x??x?13261???C6?2x2?01????C1?2x26????6????51????x2??1?2???C6?2x2????????41????x2??????23??C6??2x?60121?64x?192x?240x?160??2?3xxx32???????x???132?4???C6?2x????12????2???x???12????C5?2x6????412?????x?????152????C6??x6?????12????6（2）求展开式的第3项，倒数第3项； ?1?2?T2?1?C6?2x????24??1?24??x2??C62x?240x????2分析：展开式有7项，倒数第3项是它的第5项 1?4?2??T4?1?C6?2x???2??1?60421??x2??C62???xx??4问：第3项的二项式系数，系数？ (3) 11???? k?k6?k3?k2???x2????1?kC6Tk?1?C6?2x2x????????根据题意得：3?k?1，即k?26?kk 求展开式中x 的系数. 则，x的系数是??1?C22624?240 评述：此类问题一般由通项公式入手分析，要注意项的系数和二项式系数的概念区别． Ⅳ．课时小结 1、二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明； 2、二项式定理表达式以及展开式的通项； 3、要正确区别“项的系数”和“二项式系数”． Ⅴ．课后作业（略） 教学设计思路： 1． 二项式是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式-----二项式乘方的展开式。将二项式安排在计数原理之后来学习，一方面是因为二项式定理的证明要用到计数原理，可以把它作为技术原理的一个应用，另一方面它与后面学习的概率理论中的二项分布有内在联系，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识，因此，二项式定理起着承上启下的作用，是本章教学的一个重点。同时二项式定理是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段还没有显示的机会。 2． 本节课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，又可利用组合的有关知识加以分析、归纳，通过对二项展开式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分析、猜想、归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察、联想、归纳能力。不仅重视知识的结果，而且注重了知识的发生、发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教学理念，培育了本节课内容最佳的“知识生长点”，这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。 3． (a+b)4的展开式，本环节以问题为中心，由浅入深地引导学生大胆猜想。利用组合知识，充分揭示二项展开式的内涵和外延。帮助学生建构和完善自己的认知结构，
