【精编精解】2011年黄冈中学高考数学压轴题精选1
1．设函数f?x????1,1?x?2，
?x?1,2?x?3g?x??f?x??ax,x??1,3?，其中a?R，记函数g?x?的
最大值与最小值的差为h?a?。 （I）求函数h?a?的解析式；
（II）画出函数y?h?x?的图象并指出h?x?的最小值。
2．已知函数f(x)?x?ln?1?x?,数列?an?满足0?a1?1,
an?1?f?an?; 数列?bn?满足b1?,bn?1?(n?1)bn, n?N*.求证:
an22;（Ⅲ）若a1?（Ⅰ）0?an?1?an?1;（Ⅱ）an?1?,则当n≥2时,bn?an?n!. 22
3．已知定义在R上的函数f(x) 同时满足：
（1）f(x1?x2)?f(x1?x2)?2f(x1)cos2x2?4asin2x2（x1,x2?R，a为常数）； （2）f(0)?f()?1；
1212?4［0,（3）当x?
］时，f(x)≤2 4求：（Ⅰ）函数f(x)的解析式；（Ⅱ）常数a的取值范围．
?
y2x24．设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆2?2?1(a?b?0)上的两点，
xb满足(x1y1xy3,)?(2,2)?0，椭圆的离心率e?,短轴长为2，0为坐标原点. baba2 （1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 5．已知数列{an}中各项为： 12、1122、111222、……、
11个... 122...2个
……
（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.
（2）求这个数列前n项之和Sn .
解答
1．解：（I）g?x???
?1?ax,1?x?2??1?a?x?1,2?x?3
（1）当a?0时，函数g?x?是?1,3?增函数，此时，
g?x?max?g?3??2?3a，
g?x?min?g?1??1?a，所以h?a??1?2a；——2分
（2）当a?1时，函数g?x?是?1,3?减函数，此时，， g?x?min?g?3??2?3ag?x?max?g?1??1?a，所以h?a??2a?1；————4分
（3）当0?a?1时，若x??1,2?，则g?x??1?ax，有g?2??g?x??g?1?；
若x??2,3?，则g?x???1?a?x?1，有g?2??g?x??g?3?； 因此，g?x?min?g?2??1?2a，————6分 而g?3??g?1???2?3a???1?a??1?2a， 故当0?a?当
1时，g?x?max?g?3??2?3a，有h?a??1?a； 21?a?1时，g?x?max?g?1??1?a，有h?a??a；————8分 2?1?2a,a?0??1?a,0?a?1?2。————10分
综上所述：h?a????a,1?a?1?2?2a?1,a?1?
（II）画出y?h?x?的图象，如右图。————12分 数形结合，可得h?x?min?h???
?1??2?1。————14分 22．解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明0?an?1,n?N.
（1）当n=1时,由已知得结论成立;
（2）假设当n=k时,结论成立,即0?ak?1.则当n=k+1时, 因为0 故当n=k+1时,结论也成立. 即0?an?1对于一切正整数都成立.————4分 又由0?an?1, 得an?1?an?an?ln?1?an??an??ln(1?an)?0,从而an?1?an. 综上可知0?an?1?an?1.————6分 x2x2?ln(1?x)?x, 0 an2an2?f?an?>0,从而an?1?.————10分 因为0?an?1,所以g?an??0,即22 (Ⅲ) 因为 b1?n?111b,bn?1?(n?1)bn,所以bn?0,n?1? , 222bn 所以bn?bnbn?1b21???b1?n?n! ————① , ————12分 bn?1bn?2b12 an2aaaaaaaaa,知:n?1?n, 所以n=2?3?n?12?n?1 , 由(Ⅱ)an?1?2an22a1a1a2an?122因为a1? 2, n≥2, 0?an?1?an?1. 2a1n2?a121a1a2an?1??a1 3．（Ⅰ）在f(x1?x2)?f(x1?x2)?2f(x1)cos2x2?4asin2x2中,分别令?由①② 两式可知: bn?an?n!.————16分 ?x1?0； ?x2?x????x??xx????14?14；???x???x??22???4?4 由①＋②－③， ??f(x)?f(?x)?2cos2x?4asin2x, ①???得?f(+x)?f(x)?2a， ② 2?x????2?f(+x)?f(?x)＝2cos（＋2x)?4asin（＋x）③??2241?cos2(?x)?1?cos2x4得2f(x)?2a?2cos2x?2cos(?2x)?4［ a］-4［a］222?＝2a?2(cos2x?sin2x)?2a(cos2x?sin2x)∴f(x)?a?2(1?a)sin(2x?) 4??2［0,］（Ⅱ）当x?时，sin(2x?)?[,1]． 4422（1）∵f(x)≤2，当a<1时，1?a?2[(1?a)]≤f(x)≤a?2(1?a)≤2． 2即1?2≤(1?2)a≤2?2． ?2≤a≤1． ?(1-a)≤f(x)≤1．即1≤a≤4?32． （2）∵f(x)≤2，当a≥1时，? 2≤a?2 故满足条件a的取值范围[?2，4?32]． ca2?b234．（1）2b?2.b?1,e????a?2.e?3 aa2y2?x2?1 （2分） 椭圆的方程为4 （2）设AB的方程为y?kx?3 ?y?kx?3?23k?1??(k2?4)x2?23kx?1?0x1?x2?2,x1x2?2由?y2 2k?4k?4??x?1?4（4分） 由已知 x1x2y1y21k23k30?2?2?x1x2?(kx1?3)(kx2?3)?(1?)x1x2?(x1?x2)?4444bak2?413k?23k3 ?(?2)??2?,解得k??2 （7分） 44k?4k?44 （3）当A为顶点时，B必为顶点.S△AOB=1 （8分） 当A，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b ?y?kx?b?2kb?2222 ?(k?4)x?2kbx?b?4?0得到x?x??y1222k?4??x?1?4b2?4x1x2?2 k?4x1x2?分） y1y2(kx?b)(kx2?b)?0?x1x2?1?0代入整理得:2b2?k2?4（114411|b|4k2?4b2?162 S??|b||x1?x2|?|b|(x1?x2)?4x1x2|?22k2?44k2??1 2|b|所以三角形的面积为定值.（12分） 5（1）an?1n2(10?1)?10n??(10n?1) ……………………………… (2分 ) 9910n?110n?11nn?(10?1)?(10?2)?()?(?1)…………………………………(4分) 93310n?1记：A = , 则A=33??????3为整数 ?????3n个 ? an= A (A+1) ， 得证 ………………………………………………………( 6分) (2) ?an?19102n?1n2910?9………………………………………………… (8分) S1249????????102n)?19(10?102???????10n)?2n?(10?109n ?1891(102n?2?11?10n?1?198n?210)……………………………………………(12分)
