2016年广州市普通高中毕业班模拟考试
理科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
x（1）若全集U=R，集合A?x1?2?4，B?xx?1?0，则AIeUB＝
????（A）x1?x?2 （B）x0?x?1 （C）x0?x?1 （D）x1?x?2 （2）已知a,b?R，i是虚数单位，若a?i与2?bi互为共轭复数，则?a?bi?=
（A）3+4i （B）5+4i （C）3?4i （D）5?4i （3）下列说法中正确的是
（A）“f(0)?0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件
2（B）若p:?x0?R,x0?x0?1?0，则?p:?x?R,x2?x?1?0
2????????（C）若p?q为假命题，则p，q均为假命题
?1?1，则sin??”的否命题是“若??，则sin??”
2266（4）已知f?x?在R上是奇函数,且满足f?x?4??f?x?,当x??0,2?（D）命题“若??时,f?x??2x，则f?7??
2开始x=1，y=1，k=0（A） 2 （B）?2 （C）?98 （D）98 （5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为
（A）??2，2?
（B）??4，0?s=x-y，t=x+yx=s，y=t
k=k+1（C）??4，?4??8?（D）?0，
k≥3是否（6）各项均为正数的等差数列?an?中，a4a9?36，则前12项和S12的最小值为
（A）78 （C）60
（B）48 （D）72
输出(x，y)结束理科数学试题 第1页（共15页）
（7）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2
的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个 几何体的体积为 （A）3333? （B）? （C）? （D）? 126433???，且???，??，函数f(x)?sin(?x??)(??0)的图像 5?2??，则2俯视图
（8）已知sin??的相邻两条对称轴之间的距离等于
???f??的值为 ?4?（A）?
3344 （B）? （C） （D） 5555?2x?y?2?0,x?（9）若实数x,y满足约束条件?2x?y?4?0, 则的取值范围是
y?y?2,?（A）?,2? （B）?,? （C）?,2? （D）?1,2?
3222
?2????13????3
???
x2y2（10）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐
abuuruur近线交于点B，若FB?2FA，则此双曲线的离心率为
（A）2 （B）3 （C）2 （D）5 （11）将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1
人，则不同的保送方法共有
（A） 150种 （B） 180种 （C） 240种 （D）540种 （12）已知?ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为?0,1?,?2,0,?0,?2?，O为坐标原点，动点P满
?uuruuruuuruuur足CP?1，则OA?OB?OP的最小值是
（A）3?1 （B）11?1 （C）3?1 （D）11?1
理科数学试题 第2页（共15页）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）已知向量a，b满足|b|?4，a在b方向上的投影是（14）已知cos???????101，则a?b= ． 21???，则sin?2???? ． 32??a??（15）?x?2?展开式中的常数项为180，则a? ．
x??（16）已知y?f?x?为R上的连续可导函数，且xf??x??f?x??0，则函数g?x??xf?x??1?x?0?
的零点个数为___________．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
设Sn为数列?an?的前n项和，已知a1?2，对任意n?N，都有2Sn??n?1?an．
*(Ⅰ)求数列?an?的通项公式； (Ⅱ）若数列???41?的前n项和为Tn,求证：?Tn?1.
2?an(an?2)?
（18）(本小题满分12分)
?BAC?120，D,D1 如图，在三棱柱ABC?A1B1C中，侧棱AA1?底面ABC，AB?AC?2AA1，
分别是线段BC,B1C1的中点，过线段AD的中点P作BC的平行线，分别交AB，AC于点M，N． （Ⅰ）证明：MN?平面ADD1A1； （Ⅱ）求二面角A?A1M?N的余弦值．
?C
N C1 A
D1
A1
B1
P D M B
理科数学试题 第3页（共15页）
（19）（本小题满分12分）
计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． （Ⅰ）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系；
年入流量X 发电机最多可运行台数 40?X?80 80?X?120 1 2 X?120 3 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
（20）（本小题满分12分）
x2y23在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2?2?1?a?b?1?的离心率e?，且椭圆C1上一点
ab23?的距离的最大值为4． M到点Q?0，（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）设A?0，?，N为抛物线C2：y?x上一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于B，
?1??16?2C两点，求?ABC面积的最大值．
（21）（本小题满分12分）
已知函数f?x??e?ax（e为自然对数的底数，a为常数）在点?0,1?处的切线斜率为?1.
x（Ⅰ）求a的值及函数f?x?的极值；
2x（Ⅱ）证明：当x?0时，x?e；
（III）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x??x0，???，恒有x?ce.
2x
理科数学试题 第4页（共15页）
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图?ACB?90?，CD?AB于点D，以BD为直径的圆O与BC交于点E． （Ⅰ）求证：BC?CE?AD?DB；
（Ⅱ）若BE?4，点N在线段BE上移动，?ONF?90,
oC E N A D O B F NF与eO相交于点F，求NF的最大值．
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：?参数，a?0)．
（Ⅰ）若曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，求a的值；
?x?t?1,?x?acos?，（t为参数）与曲线C2：? (?为
y?1?2ty?3sin???（Ⅱ）当a?3时，曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求A，B两点的距离．
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知定义在R上的函数f?x??|x?m|?|x|，m?N*，存在实数x使f(x)?2成立． （Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若?,??1，f(?)?f(?)?4，求证：
41??3． ??理科数学试题 第5页（共15页）
2016年广州市普通高中毕业班模拟考试
理科数学答案及评分参考
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一．选择题
（1）C （7）A 二．填空题
（13）2
（14）?（2）A （8）B
（3）D （9）B
（4）B （10）C
（5）B （11）A
（6）D （12）A
7 （15）2或?2 （16）0 9（其中第15题中，答对2个给5分，答对1个给3分）
三．解答题
（17）证明：（Ⅰ）因为2Sn??n?1?an，
当n?2时，2Sn?1?nan?1，
两式相减，得2an??n?1?an?nan?1， 即?n?1?an?nan?1， 所以当n?2时，所以
anan?1?. nn?1ana1?. n1因为a1?2，所以an?2n. （Ⅱ）因为an?2n，bn?4?，n?N，
an(an?2)
理科数学试题 第6页（共15页）
所以bn?4111． ???2n(2n?2)n(n?1)nn?1 所以Tn?b1?b2???bn ??1???1??11?1??1?????????? 2??23?nn?1??1n?． n?1n?111?0，所以1??1． 因为
n?1n?11*
因为f?n??在N上是单调递减函数，
n?11*
所以1?在N上是单调递增函数．
n?11所以当n?1时，Tn取最小值．
21所以?Tn?1.
2?1?广东数学教师QQ群：179818939。里面数学资源丰富，研讨数学问题热烈。 （18）（Ⅰ）证明：因为AB?AC,D是BC的中点,所以,BC?AD.
因为M，N分别为AB，AC的中点，所以MN?BC．
所以MN?AD.
因为AA1?平面ABC,MN?平面ABC，所以AA1?MN.
AD与AA1相交, 又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且
所以MN?平面ADD1A1.
A作AE?A1P于E, （Ⅱ）解法一:连接A1P,过
过E作EF?A1M于F,连接AF. 由（Ⅰ）知,MN?平面AEA1, 所以平面AEA1?平面AMN. 1所以AE?平面AMN,则A1M?AE. 1所以A1M?平面AEF,则A1M?AF.
故?AFE为二面角A?AM?N的平面角(设为?)． 1
C
N C1 A E A1
P F D M D1
B1 B
理科数学试题 第7页（共15页）
设AA1?1,则由AB?AC?2AA1,?BAC?120,有?BAD?60,AB?2,AD?1. 又P为AD的中点，则M为AB的中点，所以AP???1,AM?1. 2在Rt?AA1P?1P，A5，在Rt?A1AM中，AM?2. 12从而AE?AA1?APAA1?AM25,AF?． ??A1M2A1P5AE10. ?AF52所以sin??因为?AFE为锐角，
?10?15所以cos??1?sin2??1??． ???5?5??故二面角A?AM?N的余弦值为115. 5?????????????解法二: 设AA1?1.如图,过A1E平行于B1作A1C1,以A1为坐标原点,分别以AE1,AD11,A1A的方向
为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O?xyz(点O与点A1重合)． 则A1?0,0,0?,A?0,0,1?.
因为P为AD的中点,所以M,N分别为AB,AC的中点,
C N C1 A D1 A1 B1
x z P D M y B 故M??31??31??2,2,1??,N???2,2,1??, ??????????31??????????所以A1M???2,2,1??,A1A??0,0,1?,NM???设平面AAM的法向量为n1??x1,y1,z1?， 1?3,0,0．
??????????????31?????x1,y1,z1????n1?A1M,?n1?A1M?0,?2,2,1???0, 则? 故有?????? 即???????n?AA,n?AA?0,????11?11??x1,y1,z1???0,0,1??0.?31x1?y1?z1?0,?从而?2 取x1?1,则y1??3, 2?z1?0.?
理科数学试题 第8页（共15页）
所以n1?1,?3,0是平面AAM的一个法向量． 1设平面AMN的法向量为n2??x2,y2,z2?, 1????31????????????x,y,z???????2,2,1???0,?n2?A1M,?n2?A1M?0,?222?则? 故有? ???????? 即??????????n2?NM,?n2?NM?0,x,y,z?3,0,0?0.???222????31x?y2?z2?0,?2从而?2 取y2?2,则z2??1, 2?3x2?0.?所以n2??0,2,?1?是平面AMN的一个法向量． 1设二面角A?AM?N的平面角为?,又?为锐角， 1则cos??n1?n2n1?n2
1,???3,0??0,2,?1?2?5??15. 515. 5101?， 505故二面角A?AM?N的余弦值为1广东数学教师QQ群：179818939。里面数学资源丰富，研讨数学问题热烈。 （19）解：（I）依题意P1?P(40?X?80)?P2?P(80?X?120)?35751?，P3?P(X?120)??． 50105010由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量超过120的概率为：
?9??9?1P?C(1?P)?C(1?P)P??4?333?????
?10??10?1004414343?9477?0.9477．
10000（Ⅱ）记水电站年总利润为Y（单位：万元），
由于水库年入流量总大于40,所以至少安装1台． ①安装1台发电机的情形：
由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，
理科数学试题 第9页（共15页）
对应的年利润Y?5000，EY?5000?1?5000．
②安装2台发电机的情形：
当40?X?80时，一台发电机运行，此时Y?5000?800?4200， 因此P(Y?4200)?P(40?X?80)?P1?0.2．
当X?80时，两台发电机运行，此时Y?5000?2?10000， 因此P(Y?10000)?P(X?80)?P2?P3?0.8. 所以Y的分布列如下：
Y P 4200 0.2 10000 0.8 所以EY?4200?0.2?10000?0.8?8840． ③安装3台发电机的情形：
当40?X?80时，一台发电机运行，此时Y?5000?800?2?3400， 因此P(Y?3400)?P(40?X?80)?P1?0.2．
当80?X?120时，两台发电机运行，此时Y?5000?2?800?9200， 此时P(Y?9200)?P(80?X?120)?P2?0.7．
当X?120时，三台发电机运行，此时y?5000?3?15000， 因此P(Y?15000)?P(X?120)?P3?0.1． 所以Y的分布列如下：
Y P 3400 0.2 9200 0.7 15000 0.1 所以EY?3400?0.2?9200?0.7?15000?0.1?8620． 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装2台发电机．
c2a2?b2322?a?4b（20）解：（Ⅰ）因为e?2?，所以． 2aa42
理科数学试题 第10页（共15页）
x2y2则椭圆方程为2?2?1,即x2?4y2?4b2．
4bb设M(x,y)，则MQ? ?(x?0)2?(y?3)2?4b2?4y2?(y?3)2 ?3y2?6y?4b2?9??3(y?1)2?4b2?12．
当y??1时，|MQ|有最大值为4b2?12?4． 解得b2?1，则a2?4．
x2?y2?1． 所以椭圆C1的方程是4（Ⅱ）设曲线C：y?x2上的点N(t,t2)，因为y??2x，
所以直线BC的方程为：y?t2?2t(x?t),即y?2tx?t2． ①
x2?y2?1中整理， 将①代入椭圆方程4得(1?16t2)x2?16t3x?4t4?4?0．
则有??(16t3)2?4(1?16t2)(4t4?4)?16(?t4?16t2?1)．
16t34t4?4,x1x2? 且x1?x2?． 221?16t1?16t222所以|BC|?1?4t|x1?x2|?1?4t(x1?x2)?4x1x2
41?4t2?t4?16t2?1 ?． 21?16t设点A到直线BC的距离为d，则d?1?16t2161?4t2．
1141?4t2?t4?16t2?11?16t2?所以?ABC的面积S?|BC|d??． 22221?16t161?4t?1165?t4?16t2?1??(t2?8)2?65?． 888当t??22时取到“=”，经检验此时??0，满足题意．
理科数学试题 第11页（共15页）
综上，?ABC面积的最大值为
65． 8（21）（I）解：由f(x)?ex?ax，得f'(x)?ex?a.
因为f?(0)?1?a??1,所以a?2． 所以f(x)?ex?2x，f'(x)?ex?2. 令f'(x)?0,得x?ln2．
当x?ln2时, f'(x)?0,f(x)单调递减；当x?ln2时, f'(x)?0,f(x)单调递增.
所以当x?ln2时, f(x)取得极小值,且极小值为f(ln2)?eln2?2ln2?2?ln4,f(x)无极大值． （Ⅱ）证明：令g(x)?ex?x2,则g'(x)?ex?2x.
由（I）得g'(x)?f(x)?f(ln2)?0,故g(x)在R上单调递增． 所以当x?0时，g(x)?g(0)?1?0，即x?e． （Ⅲ）证明一：①若c?1,则e?ce.
由（Ⅱ）知，当x?0时，x?e.所以当x?0时, x?ce. 取x0?0,当x?(x0,??)时，恒有x?ce． ②若0?c?1,令k?2x2x2xxx2x2x1?1, cx2要使不等式x?ce成立，只要e?kx成立．
而要使e?kx成立，则只要x?ln(kx2),只要x?2lnx?lnk成立． 令h(x)?x?2lnx?lnk,则h'(x)?1?x22x?2?. xx所以当x?2时, h'(x)?0,h(x)在(2,??)内单调递增. 取x0?16k?16,所以h(x)在(x0,??)内单调递增.
又h(x0)?16k?2ln(16k)?lnk?8(k?ln2)?3(k?lnk)?5k， 易知k?lnk,k?ln2,5k?0．
理科数学试题 第12页（共15页）
所以h(x0)?0.即存在x0?162x,当x?(x0,??)时，恒有x?ce． c2x综上，对任意给定的正数c，总存在x0,当x?(x0,??)时,恒有x?ce． 证明二：对任意给定的正数c，取x0?4， cxx2x22?x?由（Ⅱ）知，当x?0时，e?x，所以e?e?e????2?x2?x????． ?2?2?x?当x?x0时，ex????2?2?x?4?x?12???????x． ?2?c?2?c2x22因此，对任意给定的正数c，总存在x0,当x?(x0,??)时,恒有x?ce． 证明三：首先证明当x??0,???时，恒有令h?x??13x?ex． 313xx?e，则h??x??x2?ex． 3x2由（Ⅱ）知，当x?0时，e?x，
从而h??x??0，h?x?在?0,???上单调递减。
13x?ex． 312133x取x0?，当x?x0时，有x?x?e．
c3c所以h?x??h?0???1?0，即
因此，对任意给定的正数c，总存在x0,当x?(x0,??)时,恒有x?ce．
（22）解：（Ⅰ） 在?ACB中，?ACB?90，CD?AB于点D，
2所以CD?AD?DB，
2x?因为CD是圆O的切线，
2由切割线定理得CD?CE?CB．
所以CE?CB?AD?DB．
（Ⅱ）因为ON?NF，所以NF?OF2?ON2．
因为线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值．
弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合．
理科数学试题 第13页（共15页）
因此NF
max?1BE?2． 2?x?t?1，（23）解：（Ⅰ）曲线C1：?的直角坐标方程为y?3?2x．
y?1?2t?曲线C1与x轴交点为??3?,0?． ?2??x?acos?,x2y2?1． 曲线C2：?的直角坐标方程为2?a9y?3sin??曲线C2与x轴交点为(?a,0),(a,0)．
由a?0，曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，知a?3． 2?x?3cos?,（Ⅱ）当a?3时, 曲线C2：?为圆x2?y2?9．
?y?3sin?圆心到直线y?3?2x的距离d?322?12?35． 52?35?12522所以A,B两点的距离AB?2r?d?29??．
?5???5??
（24）解：（Ⅰ）因为|x?m|?|x|?(x?m)?x?m．
要使不等式|x?m|?|x|?2有解，则|m|?2，解得?2?m?2． 因为m?N*，所以m?1． （Ⅱ）因为?,??1，
所以f(?)?f(?)?2??1?2??1?4，即????3．
所以
4??1?41?????????? ?3????14???1?4???1?5?2.??3． ??5??????????3????3?
理科数学试题 第14页（共15页）
（当且仅当
4????时，即??2，??1等号成立） ?故
4??1??3．
理科数学试题 第15页（共15页）
