课时作业(三十一)
1．(2010·重庆)在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为( )
A．2 C．4 答案 A
a20103解析 依题意得＝q＝8，q＝2，选A.
a2007
2．在公比为正数的等比数列中，a1＋a2＝2，a3＋a4＝8，则S8等于( )
A．21 C．135 答案 D
解析 方法一 S8＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(a5＋a6)＋(a7＋a8)＝2＋8＋32＋128＝170.
a3＋a4
方法二 q＝＝4，又q>0，∴q＝2，
a1＋a2
2
B．3 D．8
B．42 D．170
2
a1(1＋q)＝a1(1＋2)＝2，∴a1＝，
328·?2－1?3S8＝＝170.
2－1
3．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3
＋1，则公比q等于( )
A．3 C．－1 答案 A
B．－3 D．1
解析 思路一：列方程求出首项和公比，过程略； a4
思路二：两等式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3＝q.
a3
777
4．在14与之间插入n个数组成等比数列，若各项总和为，
88则此数列的项数( )
A．4 C．6 答案 B
7
14－qa1－anq7778
解析 ∵q≠1(14≠)，∴Sn＝，∴＝，
881－q1－q171n＋2－1
解得q＝－，＝14×(－)，∴n＝3，故该数列共5项．
2825．数列{an}的前n项和为Sn＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b等于( )
A．－1 C．1 答案 A
a1·?qn－1?a1na1解析 等比数列{an}中，q≠1时，Sn＝＝·q－
q－1q－1q－1＝A·qn－A，∴b＝－1.
6．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是( )
A．第6项 B．第7项 C．第9项 答案 A
D．第11项 B．0 D．4 B．5 D．7
解析 由于数列的前11项的几何平均数为32，所以该数列的前11项之积为3211＝255，
当抽去一项后所剩下的10项之积为3210＝250， ∴抽去的一项为255÷250＝25，
又因a1·a11＝a2·a10＝a3·a9＝a4·a8＝a5·a7＝a2a2·…·a11＝6，所以a1·a116，
555故有a11＝2，即a＝2， 66
∴抽出的应是第6项．
7．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6＝( ) A．31.5 C．79.5 答案 C
解析 因为1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，则 5·2n－1－11an＝，an＝5·2n－2－，
22111
a6＝5×24－＝5×16－＝80－＝79.5.
222
32
8．等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝，且公比q∈(0,1)，
9则数列{an}的通项公式为________．
1?1?n－6?? 答案 an＝·3?2?
分析 可以设等比数列的公比为q，将已知条件转化为公比和首项的方程组，通过解方程求解；也可利用等比数列的性质，a3·a4＝a1·a6，将已知条件转化为关于a1、a6的方程组，通过解方程组分别求出a1、a6之后，再求公比．
32
解析 由等比数列的性质，可得a3·a4＝a1·a6＝，
9
B．160 D．159.5
32
又∵a1＋a6＝11，∴a1，a6是方程x－11x＋＝0的两根，解之，
9
2
132321得x＝或x＝，又∵0 3333 a61111n－6故q5＝＝，解得q＝.从而an＝a6·qn－6＝·(). a132232 9．已知等比数列{an}的公比为正数，且a2·a2n＋2＝2a2n＋1，a2＝2，则a1＝________. 答案 2 2 解析 ∵a2·a2n＋2＝a2n＋2＝2an＋1， an＋2∴＝2，∴q＝2， an＋1a2 ∵a2＝2，∴a1＝＝2. q 10．已知数列{an}，如果a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…1 是首项为1，公比为的等比数列，那么an＝________. 3 31答案 (1－n) 23 1121n－1 解析 a1＝1，a2－a1＝，a3－a2＝()，…，an－an－1＝()， 333111n－131 累加得an＝1＋＋2＋…＋()＝(1－n)． 33323 11．等比数列{an}中，前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则公比q＝________. 答案 2 S6－S33 解析 ＝q即q3＝8，∴q＝2. S3 1 12．(2012·江南十校联考)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，4 则Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)的取值范围是________． 答案 4≤Sn<8 解析 因为{an}是等比数列，所以可设an＝a1qn－1. a1q＝2，?1 因为a2＝2，a5＝，所以?41 4 ?a1q＝4， ?a1＝4，解得?1 ?q＝2. 1n 4[1－??] 21n 所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝8－8×(). 121－21n1 因为0<()≤，所以4≤Sn<8. 22 13364 13．在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an. 99答案 an＝3n－3 解析 由已知，S6≠2S3，则q≠1. 13364 又S3＝，S6＝， 99 ??即?a?1－q?364??1－q＝9 ② 1 6 a1?1－q3?13 ＝ ①91－q ②÷①，得1＋q3＝28，∴q＝3. 1 可求得a1＝.因此an＝a1qn－1＝3n－3. 9 14．(2011·大纲全国文)设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2 ＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn. 答案 当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1) 当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1 解析 设{an}的公比为q，由题设得 ????a1q＝6，?a1＝3，?a1＝2，?解得?或? 2????6a1＋a1q＝30.?q＝2，?q＝3. 当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)； 当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1. 15．(2011·江西理)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3. (1)若a＝1，求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}唯一，求a的值． 1答案 (1)an＝(2＋2)n－1或an＝(2－2)n－1 (2)a＝ 3 解析 (1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2， 由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)． 即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－2. 所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋2)n－1或an＝(2－2)n－1. (2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2 －4aq＋3a－1＝0(*)， 由a>0得Δ＝4a2＋4a>0，故方程(*)有两个不同的实根． 1由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝. 3 1．等比数列{an}中，公比q＝2，S4＝1，则S8的值为( ) A．15 C．19 B．17 D．21 答案 B 2．(2011·东北三校一模)如果等比数列{an}中，a3·a4·a5·a6·a7＝42，那么a5等于( ) A．2 C．±2 答案 B 解析 依题意得 55 a5＝2，a5＝2 2，选B. B.2 D．±2 3．设项数为8的等比数列的中间两项与2x2＋7x＋4＝0的两根相等，则数列的各项相乘的积为________． 答案 16 解析 设此数列为{an}，由题设a4a5＝2， 从而a1a2…a8＝(a4a5)4＝16. 13 4．(2011·福建理)已知等比数列{an}的公比q＝3，前3项和S3＝. 3(1)求数列{an}的通项公式； π (2)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)在x＝处取得最大值，6且最大值为a3，求函数f(x)的解析式． 3 13a1?1－3?131 解析 (1)由q＝3，S3＝得＝，解得a1＝.所以an 3331－3 1 ＝×3n－1＝3n－2. 3 (2)由(1)可知an＝3n－2，所以a3＝3. 因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3； ππ 因为当x＝时f(x)取得最大值，所以sin(2×＋φ)＝1. 66 π 又0<φ<π，故φ＝. 6 π 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin(2x＋)． 6 5．已知{an}是等比数列，Sn是其前n项和，a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12－S6成等比数列． 证明 由已知得2a1q6＝a1＋a1q3即2q6－q3－1＝0得q3＝1或q3 1＝－， 2 S6S12－S6 当q＝1时即q＝1 {an}为常数列，＝命题成立．当2S3S6 3 6 1－q1S163 q＝－时＝＝， 22S32?1－q3?4 S12－S61－q121 ＝－1＝.∴命题成立． S641－q6 1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( ) a5A. a3an＋1C. an答案 D 解析 数列{an}为等比数列，由8a2＋a5＝0，知8a2＋a2q3＝0， 5 a52S51－q11an＋1 因为a2≠0，所以q＝－2，＝q＝4；＝＝；＝q＝－2； a3S31－q33an S5 B. S3Sn＋1D. Sn Sn＋11－qn＋1 ＝，其值与n有关，故选D. Sn1－qn 2．(2011·上海)设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai， ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是( ) A．{an}是等比数列 B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…a2n，…均是等比数列 D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…a2n，…均是等比数列，且公比相同 答案 D 3．数列{an}为等比数列，已知an＞0，且an＝an＋1＋an＋2，则该数列的公比q是__________． 答案 5－1 2 解析 由已知可得an＝an·q＋an·q2， －1±5∵an>0，∴q＋q－1＝0，q＝. 2 2 5－1 ∵q>0，∴q＝. 2 4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4 ＝________. 解 设公比为q，S6＝S3＋q3S3＝4S3，∴q3＝3， ∴a4＝a1·q3＝3. 5．(2009·山东)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图像上，求r的值． 解析 由题意，Sn＝bn＋r， 当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r， 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)， 由于b>0且b≠1， 所以当n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列． b?b－1?a2 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b，即＝b，解得r＝－1. a1b＋r6．等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a99－1 a1>1，a99a100－1>0，<0.给出下列结论：①0 a100－11<0；③T100的值是Tn中最大的；④使Tn>1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是( ) A．①②④ C．①② 答案 A B．②④ D．①②③④ 解析 ??a99－1??a100－1?<0 ①中，?a99·a100>1 ?a1>1 ?a99>1?? ?0 a100?q＝∈(0,1)，∴①正确． a99 a99a101＝a2100? ??a99·②中，a101<1，∴②正确． 0 ??T100 0 ④中，T198＝a1a2…a198＝(a1·a198)…(a2·a197)…(a99·a100)＝(a99·a100)99>1， T199＝a1a2…a198·a199＝(a1a199)…(a99·a101)·a100＝a199 100<1，∴④正确．7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn ＝n. (1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列； (2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式． 1 解析 (1)由a1＋S1＝1及a1＝S1得a1＝. 2又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1得 an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1. ∴2(an＋1－1)＝an－1，即2bn＋1＝bn. 11 ∴数列{bn}是以b1＝a1－1＝－为首项，为公比的等比数列． 22(2)方法一 由(1)知2an＋1＝an＋1.∴2an＝an－1＋1(n≥2)． ∴2an＋1－2an＝an－an－1.∴2cn＋1＝cn(n≥2)． 13 又c1＝a1＝，a2＋a1＋a2＝2，∴a2＝. 243111 ∴c2＝－＝，c2＝c1. 4242 11 ∴数列{cn}是首项为，公比为的等比数列． 2211n－11n ∴cn＝·()＝(). 222 11n－11方法二 由(1)bn＝－·()＝－()n. 2221n ∴an＝－()＋1. 2 1n1n－1 ∴cn＝－()＋1－[－()＋1] 221n－11n1n－11 ＝()－()＝()(1－) 22221n ＝()(n≥2)． 2 11n 又c1＝a1＝也适合上式，∴cn＝(). 22 8．(2012·鞍山联考)已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an， 1 an＋1)在双曲线y－x＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x2 2 2 ＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{bn}是等比数列； (3)若cn＝an·bn，求证：cn＋1 解析 (1)解：由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1， ∴数列{an}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1. 1 (2)证明：∵点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上， 21 ∴Tn＝－bn＋1，① 2 1 ∴Tn－1＝－bn－1＋1(n≥2)，② 2 11 ①②两式相减得bn＝－bn＋bn－1(n≥2)， 22311 ∴bn＝bn－1，∴bn＝bn－1. 223 12令n＝1，得b1＝－b1＋1，∴b1＝， 23 21 ∴{bn}是一个以为首项，以为公比的等比数列， 332?1?n－12 ??＝n. (3)证明：由(2)可知bn＝·3?3?32 ∴cn＝an·bn＝(n＋1)·n， 3 22 ∴cn＋1－cn＝(n＋2)·n＋1－(n＋1)·n 33＝ 23n＋1[(n＋2)－3(n＋1)] ＝ 23n＋1(－2n－1)<0， ∴cn＋1
