四川省遂宁市射洪中学2014-2015学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若=（2，3），=（4，﹣1+y），且∥，则y=（） A． 6
2．（5分） A． 1
+1与
B． 5
C． 7
D．8
﹣1，两数的等比中项是（） B． ﹣1
C． ±1
D．
3．（5分）若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（） A． ＜
4．（5分）已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是（） A． 15 B． 30 C． 31 D．64
5．（5分）平面区域 A．
B．
的面积是（）
C． 1
D．2
B． a＞b
2
2
C． ＞ D．|a|＞|b|
6．（5分）在△ABC中 A．
B．
C．
，则C等于（）
D．
7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a=5，b=8，∠A=30°，则∠B的解的个数是（） A． 0个 B． 1个 C． 2个 D．不确定的 8．（5分）函数f（x）=sin（x+10°）+sin（x+70°）的最大值是（） A． 1 B． 2 C． D． 9．（5分）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八边形的面积为（）
A． 2sin α﹣2cos α+2 C． 3sin α﹣cos α+1
B． sin α﹣cos α+3 D． 2sin α﹣cos α+1
，则
10．（5分）若O是△ABC所在平面内的一点，且满足△ABC的形状是（）
A． 等边三角形 C． 等腰直角三角形
B． 等腰三角形 D． 直角三角形
11．（5分）已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，等差数列{bn}的首项b1=3，公差d=3，
在{an}中插入{bn}中的项后从小到大构成新数列{cn}，则{cn}的第100项为（） A． 270 B． 273 C． 276 D．279
12．（5分）对于一个有限数列P=（P1，P2，L，Pn），P的蔡查罗和（蔡查罗为一数学家）定义为（S1+S2+…+Sn），其中Sk=P1+P2+…+Pk（1≤k≤n），若一个99项的数列（P1，P2，…，P99）的蔡查罗和为1000，那么100项数列（1，P1，P2，…，P99）的蔡查罗和为（） A． 991 B． 992 C． 993 D．999
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
22
13．（4分）U=x+y+1与V=2（x+y﹣1）的大小关系是．
14．（4分）△ABC中，如果
15．（4分）已知向量=（1，2），=（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是． 16．（4分）给出以下五个结论：
①若等比数列{an}满足a1=2，且S3=6，则公比q=﹣2； ②数列{an}的通项公式an=ncos
2
==，那么△ABC的形状是．
+1，前n项和为Sn，则S13=19．
③若数列an=n+λn（n∈N+）为单调递增数列，则λ取值范围是λ＞﹣2； ④已知数列{an}的通项an=⑤1+
+
+…+
，其前n项和为Sn，则使Sn＞0的n的最小值为12．
＜2﹣（n≥2）
其中正确结论的序号为（写出所有正确的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知向量=（1）?；
（2）与夹角的余弦值．
18．（12分）已知函数f（x）=ax+x﹣a，若f（x）有最大值（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）＞1．
19．（12分）已知α∈（（1）求sin（（2）求cos（
20．（12分）已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn=an?（
21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=
2
﹣cosB=sinAcosA﹣sinBcosB （1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值．
22．（14分）已知函数f（x）=
（x∈R）．
，cosA
2
2
﹣2，=3+，其中=（1，0），=（0，1），求：
，
，π），sinα=．
+α）的值； ﹣2α）的值．
），求数列{bn}的前n项和Sn．
（1）若数列{an}的通项公式为an=f（）（m∈N+，n=1，2，…，m），求数列{an}的前m项和Sm
（2）设数列{bn}满足：b1=，bn+1=bn+bn．设Tn=
2
++…+．若（1）中的
Sn满足对任意不小于2的正整数n，Sn＜Tn恒成立，试求m的最大值．
四川省遂宁市射洪中学2014-2015学年高一下学期期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若=（2，3），=（4，﹣1+y），且∥，则y=（）
A． 6 B． 5 C． 7 D．8
考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示． 专题： 平面向量及应用．
分析： 利用两个向量共线的性质，由两个向量共线时，它们的坐标对应成比例，建立等式得出2（﹣1+y）=3×4，解得即可．
解答： 解：∵=（2，3），=（4，﹣1+y），且∥， ∴2（﹣1+y）=3×4， 解得y=7， 故选：C．
点评： 本题考查两个向量共线的坐标表示，属于基础题．
2．（5分） A． 1
+1与
﹣1，两数的等比中项是（） B． ﹣1
C． ±1
D．
考点： 等比数列的性质． 专题： 计算题．
分析： 设出两数的等比中项为x，根据等比中项的定义可知，x的平方等于两数之积，得到一个关于x的方程，求出方程的解即可得到两数的等比中项． 解答： 解：设两数的等比中项为x，根据题意可知： 22x=（+1）（﹣1），即x=1， 解得x=±1． 故选C
点评： 此题考查学生掌握等比数列的性质，是一道基础题．学生做题时应注意等比中项有两个． 3．（5分）若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）
A． ＜ B． a＞b
22
C． ＞ D．|a|＞|b|
考点： 不等式的基本性质．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： A．取a=1，b=﹣2，即可判断出正误； B．取a=1，b=﹣2，即可判断出正误；
C．由于a＞b，c+1＞0，利用不等式的基本性质可得D．取a=1，b=﹣2，即可判断出正误．
解答： 解：A．取a=1，b=﹣2，则＜不成立； B．取a=1，b=﹣2，则a＞b不成立； C．∵a＞b，c+1＞0，∴
2
2
2
2
；
，成立．
D．取a=1，b=﹣2，则|a|＞|b|不成立． 故选：C．
点评： 本题考查了不等式的基本性质、举反例否定一个命题，考查了推理能力，属于基础题．
4．（5分）已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是（） A． 15 B． 30 C． 31 D．64
考点： 等差数列． 专题： 计算题．
分析： 利用通项公式求出首项a1与公差d，或利用等差数列的性质求解． 解答： 解：解法1：∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d， ∴a7+a9=a1+6d+a1+8d=2a1+14d=16 ①； a4=a1+3d=1 ②；
由①﹣②得a1+11d=15， 即a12=15．
解法2：由等差数列的性质得，a7+a9=a4+a12， ∵a7+a9=16，a4=1， ∴a12=a7+a9﹣a4=15． 故选：A．
点评： 解法1用到了基本量a1与d，还用到了整体代入思想； 解法2应用了等差数列的性质：{an}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq． 特例：若m+n=2p（m，n，p∈N+），则am+an=2ap．
5．（5分）平面区域 A．
B．
的面积是（）
C． 1
D．2
考点： 二元一次不等式（组）与平面区域． 专题： 不等式的解法及应用．
分析： 作出不等式组对应的平面区域，根据图象的形状进行求解即可． 解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 则对应的区域为直角三角形ABC， 其中A（0，2），B（1，2），C（1，1）， 则AB=1，BC=1， 则△ABC的面积S=故选：B
，
点评： 本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域以及三角形面积的计算，比较基础． 6．（5分）在△ABC中，则C等于（） A．
B．
C．
D．
考点： 两角和与差的正切函数． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 利用两角和的正切公式，求出tan（A+B）的三角函数值，求出A+B的大小，然后求出C的值即可．
解答： 解：由tanA+tanB+=tanAtanB可得
tan（A+B）==﹣
=
因为A，B，C是三角形内角，所以A+B=120°，所以C=60° 故选A
点评： 本题考查两角和的正切函数，考查计算能力，公式的灵活应用，注意三角形的内角和是180°． 7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a=5，b=8，∠A=30°，则∠B的解的个数是（） A． 0个 B． 1个 C． 2个 D．不确定的
考点： 正弦定理．
专题： 计算题；解三角形．
分析： 根据正弦定理得到sinB的值，然后因为B为三角形中的角即B∈（0，π），利用正弦函数的图象得到B满足条件的个数即可． 解答： 解：因为a=5，b=8，A=30°， 根据正弦定理
：
代入a=5，b=8，A=30°得到sinB=，由于B是三角形内角，所以B∈（45°，135°）， 所以B=arcsin或B=π﹣arcsin
故选C
点评： 考查学生灵活运用正弦定理解决实际问题的能力，以及会根据三角函数值求出满足的角． 8．（5分）函数f（x）=sin（x+10°）+sin（x+70°）的最大值是（） A． 1 B． 2 C． D．
考点： 两角和与差的正弦函数． 专题： 三角函数的求值．
分析： 把sin（x+70°）转化为sin（x+10°+60°）利用两次两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得最小值．
解答： 解：f（x）=sin（x+10°）+sin（x+70°） =sin（x+10°）+sin（x+10°+60°）
=sin（x+10°）+sin（x+10°）+=sin（x+10°）+
cos（x+10°）
cos（x+10°）
=sin（x+10°+30°） =sin（x+40°），
∴当sin（x+40°）=1时，函数有最大值． 点评： 本题主要考查了两角和公式的运用，三角函数的图象与性质．考查了学生对三角函数公式熟练记忆． 9．（5分）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八边形的面积为（）
A． 2sin α﹣2cos α+2 C． 3sin α﹣cos α+1
考点： 解三角形的实际应用． 专题： 解三角形．
B． sin α﹣cos α+3 D． 2sin α﹣cos α+1
分析： 利用余弦定理求得正方形的边长，则正方形的面积可求得．利用正弦定理分别求得小等腰三角形的面积，最后相加即可． 解答： 解：正方形的边长为∴正方形的面积为2﹣2cosα，
等腰三角形的面积为?1?1?sinα=sinα，
∴八边形的面积为4?sinα+2﹣2cosα=2sin α﹣2cos α+2，
故选：A．
点评： 本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．解题的关键是把八边形拆分成三角形和正方形来解决．
10．（5分）若O是△ABC所在平面内的一点，且满足△ABC的形状是（） A． 等边三角形 C． 等腰直角三角形
考点： 三角形的形状判断．
专题： 计算题；平面向量及应用．
=，
，则
B． 等腰三角形 D． 直角三角形
分析： 由向量的减法法则，将题中等式化简得
=
是直角三角形． 解答： 解：∵∴∵
，∴
，
，即=
，=，
=，进而得到
，由此可得以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形，得到△ABC
由此可得以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形
∴∠BAC=90°，得△ABC的形状是直角三角形． 故选：D
点评： 本题给出向量等式，判断三角形ABC的形状，着重考查了平面向量的加法、减法法则和三角形的形状判断等知识，属于中档题．
11．（5分）已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，等差数列{bn}的首项b1=3，公差d=3，在{an}中插入{bn}中的项后从小到大构成新数列{cn}，则{cn}的第100项为（） A． 270 B． 273 C． 276 D．279
考点： 等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
解答： 解：由已知可得：an=2，bn=3+3（n﹣1）=3n， 当n＜5时，an＜bn，当n≥5时，an＞bn，
∴在{an}中插入{bn}中的项后从小到大构成新数列{cn}，由3n＜16，3n＜32，3n＜64，3n＜128，3n＜256，3n＜512，…知，{cn}中插入{an}，{bn}中项的数目分别是4，5；1，5；1，11；1，11；1，43；1，85；即{cn}的第100项为等差数列{bn}中的第91项， ∴{cn}的第100项为273， 故选：B．
点评： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
12．（5分）对于一个有限数列P=（P1，P2，L，Pn），P的蔡查罗和（蔡查罗为一数学家）定义为（S1+S2+…+Sn），其中Sk=P1+P2+…+Pk（1≤k≤n），若一个99项的数列（P1，P2，…，P99）的蔡查罗和为1000，那么100项数列（1，P1，P2，…，P99）的蔡查罗和为（） A． 991 B． 992 C． 993 D．999
考点： 数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
n﹣1
分析： 由于一个99项的数列（P1，P2，…，P99）的蔡查罗和为1000，可得1000=（S1+S2+…+S99），其中Sk=P1+P2+…+Pk（1≤k≤99），即可得出100项数列（1，P1，P2，…，P99）的蔡查罗和=
．
解答： 解：∵一个99项的数列（P1，P2，…，P99）的蔡查罗和为1000， ∴1000=
（S1+S2+…+S99），其中Sk=P1+P2+…+Pk（1≤k≤99），
=991．
∴100项数列（1，P1，P2，…，P99）的蔡查罗和=
故选：A．
点评： 本题考查了新定义“蔡查罗和”及其平均数的计算方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
22
13．（4分）U=x+y+1与V=2（x+y﹣1）的大小关系是U＞V．
考点： 不等式比较大小． 专题： 不等式的解法及应用．
分析： 作差配方即可比较出大小．
解答： 解：U﹣V=x+y+1﹣2（x+y﹣1）=（x﹣1）+（y﹣1）+1＞0， ∴U＞V．
故答案为：U＞V．
点评： 本题考查了“作差法”、“配方法”比较数的大小，属于基础题．
14．（4分）△ABC中，如果
=
=
，那么△ABC的形状是等边三角形．
2
2
2
2
考点： 正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： 根据正弦定理、商的关系化简已知的条件，再由三角形内角的范围判断出A=B=C，即可得到△ABC的形状．
解答： 解：由题意知，根据正弦定理得，因为
，
，
，
，
，
所以cosA=cosB=cosC， 又A、B、C∈（0，π），则A=B=C， 所以△ABC是等边三角形， 故答案为：等边三角形．
点评： 本题考查了正弦定理，同角三角函数的基本关系，以及三角形内角的范围的应用，属于中档题．
15．（4分）已知向量=（1，2），=（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是λ＞﹣且λ≠0．
考点： 数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用．
分析： 由向量坐标的运算可得+λ的坐标，由题意可得不共线，解不等式可得实数λ的取值范围 解答： 解：∵=（1，2），=（1，1）， ∴+λ=（1+λ，2+λ）， ∵与+λ的夹角为锐角， ∴
＞0，且与+λ不共线，
＞0，且与+λ
∴1?（1+λ）+2（2+λ）＞0，且1?（2+λ）﹣2（1+λ）≠0 解得λ＞
且λ≠0
故答案为：λ＞﹣且λ≠0
点评： 本题考查数量积与向量的夹角，得出
决问题的关键，属中档题． 16．（4分）给出以下五个结论：
①若等比数列{an}满足a1=2，且S3=6，则公比q=﹣2； ②数列{an}的通项公式an=ncos
2
＞0，且与+λ不共线是解
+1，前n项和为Sn，则S13=19．
③若数列an=n+λn（n∈N+）为单调递增数列，则λ取值范围是λ＞﹣2； ④已知数列{an}的通项an=⑤1+
+
+…+
，其前n项和为Sn，则使Sn＞0的n的最小值为12．
＜2﹣（n≥2）
其中正确结论的序号为②⑤（写出所有正确的序号）．
考点： 等比数列的通项公式；等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： ①对q分类讨论：q=1，q≠1，即可判断出；
②数列{an}的通项公式an=ncos+1，则a1=1，a2=﹣1，a3=1，a4=5，…，n=2k﹣1（k∈N）
*
时，an=1；n=4k时，an=4k+1；n=4k﹣2时，an=3﹣4k．计算出，即可判断出正误； ③由an+1＞an，解得λ＞﹣（2n+1），即可判断出； ④由数列{an}的通项an=
，a1=﹣，a2=﹣，a3=﹣，…，a9=，a10=，a11=
，
而S10=0，当n≥11时，Sn＞0，因此使得Sn＞0的n的最小值为11，即可判断出正误 ⑤n≥2，
=
，利用“裂项求和”即可得出．
2
解答： 解：①若等比数列{an}满足a1=2，且S3=6，则q=1时满足条件，q≠1，由2（1+q+q）=6，解得q=﹣2，因此不正确； ②数列{an}的通项公式an=ncos
+1，则a1=1，a2=﹣1，a3=1，a4=5，…，∴n=2k﹣1（k∈N）
*
时，an=1；n=4k时，an=4k+1；n=4k﹣2时，an=3﹣4k．则S13=（a1+a3+…+a13）+（a2+a6+a10）
+（a4+a8+a12）=7+（﹣1﹣5﹣9）+（5+9+13）=19，正确．
2
③若数列an=n+λn（n∈N+）为单调递增数列，∴an+1＞an，解得λ＞﹣（2n+1），因此λ＞﹣3，故不正确；
④由数列{an}的通项an=a8=，a9=，a10=，a11=值为11，故不正确． ⑤∵n≥2，1+
+
=+…+
，a1=﹣，a2=﹣，a3=﹣，a4=﹣1，a5=﹣3，a6=3，a7=1，，而S10=0，当n≥11时，Sn＞0，因此使得Sn＞0的n的最小
，∴1+++…+＜
=2﹣（n≥2），因此正确．
综上可得：只有②⑤正确．
故答案为：②⑤．
点评： 本题考查了数列的单调性、求和、“裂项求和”、“放缩法”、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知向量=（1）?；
（2）与夹角的余弦值．
考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．
﹣2，=3+，其中=（1，0），=（0，1），求：
分析： （1）运算得出=（1，﹣2），=（3，1），根据数量积的运算公式求解即可． （2）根据cos
，＞=
求解即可．
解答： 解：（1）∵向量=﹣2，=3+，其中=（1，0），=（0，1），
∴=（1，﹣2），=（3，1），
=1×3﹣2×1=1 （2）∵||=∴cos
，||=
， =
；
，＞=
点评： 本题考查了平面向量的坐标运算，数量积，夹角问题，计算简单，属于基础题．
18．（12分）已知函数f（x）=ax+x﹣a，若f（x）有最大值
2
，
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）＞1．
考点： 二次函数的性质；一元二次不等式的解法． 专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析： （1）根据f（x）有最大值，即可判断出a＜0，并且得a的值，a=
，或a=﹣2；
，解该方程即
（2）分别将a的这两个值带人不等式f（x）＞1，即可得到两个一元二次不等式，分别解这两个不等式即得原不等式的解． 解答： 解：（1）若a=0，f（x）=x无最大值； ∴a≠0；
∴f（x）是二次函数，且a＜0； ∴f（x）的最大值为解得a=
，或a=﹣2；
时，f（x）=
得，1＜x＜7；
；
；
（2）①当a=∴解
∴f（x）＞1的解集为（1，7）； ②当a=﹣2时，f（x）=﹣2x+x+2； ∴解﹣2x+x+2＞1得，
∴f（x）＞1的解集为（﹣，1）．
点评： 考查二次函数在定义域R上的最大值，以及计算二次函数最大值的公式，解一元二次不等式．
19．（12分）已知α∈（（1）求sin（（2）求cos（
，π），sinα=
．
2
2
；
+α）的值； ﹣2α）的值．
考点： 两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数． 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析： （1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；
（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（解答： 解：α∈（（1）sin（∴sin（
，π），sinα=
cosα+cos
．
．∴cosα=﹣sinα=
﹣2α）的值．
=
=﹣
；
+α）=sin
+α）的值为：﹣
，π），sinα=
（2）∵α∈（∴cos（cos（
．∴cos2α=1﹣2sinα=，sin2α=2sinαcosα=﹣
sin2α=
=﹣
．
2
﹣2α）=coscos2α+sin
．
﹣2α）的值为：﹣
点评： 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
20．（12分）已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn=an?（
）
，求数列{bn}的前n项和Sn．
考点： 数列的求和；等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）设数列{an}的公差为d，利用a1+a2+a3=12可得d=2，进而可得结论；
n
（2）通过（1）知：bn=2n?3，求出Sn、3Sn的表达式，利用错位相减法计算即得结论． 解答： 解：（1）设数列{an}的公差为d， 由a1=2，可知：a2=2+d，a3=2+2d， ∵a1+a2+a3=12，∴6+3d=12，即d=2， ∴数列{an}的通项an=2+2（n﹣1）=2n；
（2）由（1）知：bn=an?（∴Sn=2， 3Sn=2，
两式相减，得：﹣2Sn=2 =2? =2（∴Sn=
?3
n+1
）=2n?=2n?3，
n
﹣）， +．
?3
n+1
点评： 本题考查求数列的通项和前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．
21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=
2
﹣cosB=sinAcosA﹣sinBcosB （1）求角C的大小；
，cosA
2
（2）求△ABC的面积的最大值．
考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 解三角形．
分析： （1）利用二倍角公式、两角和差的正弦公式化简已知的式子，再由内角的范围求出角C；
（2）由余弦定理和条件列出方程化简，利用基本不等式求出ab的范围，代入三角形的面积公式可求出△ABC面积的最大值．
22
解答： 解：（1）∵cosA﹣cosB=sinAcosA﹣sinBcosB，
∴﹣=，
则cos2A﹣cos2B=（sin2A﹣sin2B）， 即sin2B﹣cos2B=sin2A﹣cos2A， ∴sin（
）=sin（
）
∵a≠b，且A、B∈（0，π）， ∴A≠B，则∴
∴C=π﹣A﹣B=
≠
，
，解得A+B=
；
，且c=
2
，
（2）由（1）知，C=
2
2
，
由余弦定理得，c=a+b﹣2abcosC，
2222
则3=a+b﹣ab，即a+b=ab+3≥2ab， 解得ab≤3， ∴△ABC的面积S=故△ABC的面积的最大值是
=
ab≤．
，
点评： 本题考查了余弦定理，二倍角公式、两角和差的正弦公式，以及三角形的面积公式，基本不等式求最值问题，注意三角形内角的范围，属于中档题．
22．（14分）已知函数f（x）=
（x∈R）．
（1）若数列{an}的通项公式为an=f（）（m∈N+，n=1，2，…，m），求数列{an}的前m项和Sm
（2）设数列{bn}满足：b1=，bn+1=bn+bn．设Tn=
2
++…+．若（1）中的
Sn满足对任意不小于2的正整数n，Sn＜Tn恒成立，试求m的最大值．
考点： 数列的求和；数列递推式．
专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
分析： （1）通过f（x）=f（1﹣x）=，可得关系式ak+am﹣k=，从而Sm=a1+a2+…+am﹣
1+am=am﹣1+am﹣2+…+a1+am，计算即得结论；
（2）通过题意可知T2≥T2，计算即得结论．
=﹣
，从而Tn=3﹣、数列{bn}是单调递增数列，利用
解答： 解：（1）由题可知，f（x）=f（1﹣x）=， 所以f（）+f（1﹣）=（1≤k≤m﹣1）， 即f（）+f（
）=，∴ak+am﹣k=，
由Sm=a1+a2+…+am﹣1+am ① 得Sm=am﹣1+am﹣2+…+a1+am ② 由①+②，得：2Sm=（m﹣1）+2am=∴Sm=
（3m﹣1）；
+bn=bn（bn+1），
+2×=﹣，
（2）∵b1=，bn+1=
∴对任意的m∈N+，bn＞0，有：
=
=
﹣
，即
=
﹣
，
∴Tn=
﹣+﹣+…+﹣=﹣=3﹣，
∵bn+1﹣bn=＞0，∴数列{bn}是单调递增数列，
∴Tn关于n递增．当n≥2，且n∈N+时，T2≥T2， ∵b1=，b2=（+1）=，b3=（+1）=∴T2≥T2=3﹣∴Sm＜∴m＜
，即=6
=
， （3m﹣1）＜
，
，
，∴m的最大值为6．
点评： 本题考查求数列的递推关系及求和，注意解题方法的积累，属于中档题．
专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
分析： （1）通过f（x）=f（1﹣x）=，可得关系式ak+am﹣k=，从而Sm=a1+a2+…+am﹣
1+am=am﹣1+am﹣2+…+a1+am，计算即得结论；
（2）通过题意可知T2≥T2，计算即得结论．
=﹣
，从而Tn=3﹣、数列{bn}是单调递增数列，利用
解答： 解：（1）由题可知，f（x）=f（1﹣x）=， 所以f（）+f（1﹣）=（1≤k≤m﹣1）， 即f（）+f（
）=，∴ak+am﹣k=，
由Sm=a1+a2+…+am﹣1+am ① 得Sm=am﹣1+am﹣2+…+a1+am ② 由①+②，得：2Sm=（m﹣1）+2am=∴Sm=
（3m﹣1）；
+bn=bn（bn+1），
+2×=﹣，
（2）∵b1=，bn+1=
∴对任意的m∈N+，bn＞0，有：
=
=
﹣
，即
=
﹣
，
∴Tn=
﹣+﹣+…+﹣=﹣=3﹣，
∵bn+1﹣bn=＞0，∴数列{bn}是单调递增数列，
∴Tn关于n递增．当n≥2，且n∈N+时，T2≥T2， ∵b1=，b2=（+1）=，b3=（+1）=∴T2≥T2=3﹣∴Sm＜∴m＜
，即=6
=
， （3m﹣1）＜
，
，
，∴m的最大值为6．
点评： 本题考查求数列的递推关系及求和，注意解题方法的积累，属于中档题．
