线性代数
第一章：行列式
1-1 n阶行列式
引言： 对角线法则
二、三阶行列式： D=
a11a21a12a22=a11a22?a21a12
(注：展开式共有2！项)
a11D=a21a31a12a22a32a13a23==a11a22a33?a12a23a31?a21a32a13?a13a22a31?a23a32a11?a12a21a33 a33(注：展开式共有3！项)
一、 n 阶行列式
定义1-1-1：由n个元素排成n行n列所确定的“计算式子”，称为n
a11..a1n2阶行列式，记为D=..an1....=
..ann?(?1)1???2ap1q1.........apnqn
关于行列式的注解如下：
1. 说明行列式的形状：D是一个正方块（注意：区别于下一章矩阵）。 2. D是一个计算式子，结果是一个唯一确定的数值。
23. n阶行列式有n个元素，其展开式共有n！项，每一项由取自不同
行、不同列的n个元素的乘积组成，其符号由行标排列和列标排列的逆序数之和来确定（其和为奇则符号为负，其和为偶则符号为正） 4. 二、三阶行列式满足对角线法则；四阶及以上的行列式不满足对角线法则。
二、排列的逆序数（用?表示）
1、元素的逆序数：（用?i表示）
如 五级 排列：3 1 4 2 5：是12345的一个排列 ? ? ? ? ?
0 1 0 2 0：为每个元素所对应的逆序数 2、排列的逆序数（用?表示）：即?=??i
如上：?=0+1+0+2+0=3，即 3 1 4 2 5 这个排列的逆序数之和? =3
3、奇排列：排列的逆序数为奇数；
偶排列：排列的逆序数为偶数。
4、标准排列：即逆序数为0. 如 1 2 3 4 5 6 7等等
问题一：如何判断某一项是否是行列式里的项
（方法：关键是要取自不同行列的元素）
a11..a15 如：五阶： 在D=..a51....中，问a15a23a41a32a51是否为行列式展开式
..a55中的某一项？
方法：行标排列为：1 2 4 3 5：满足不同行，
列标排列为：5 3 1 2 1：错了，因为出现了同列元素，（即列标
不构成排列。）所以该项不是行列式中的项。 问题二：如何判断行列式中某项的符号
（方法：符号由行标排列和列标排列的逆序数之和来确定）
?1??2aaaaaa15a23a41a32a54 (?1)1523413254 如：=
方法：行标排列为：1 2 4 3 5：逆序数?1=1。 列标排列为：5 3 1 2 4：逆序数?2=6。
1?6(?1)??1，为负的。 所以该项的符号为：三 、行列式的性质
a11..a1na11..an1T定义1-1-2：设 D=..an1T....，则称D=....anna1n....为D的转置行列式。
..ann性质1-1-1：D= D（即行满足的性质，列也满足）。 性质1-1-2：互换D中两行（列）的位置，行列式反号。 记 ri?rj，并规定r表示行，c表示列。
a11 例如：D=a21a31a11..a12a22a32a21a13r1?r2a23 —a11a31a33a22a12a32a23a13 a33性质1-1-3：kai1an1a1n记1ria11..a1nk..kain kai1..ain （k?0） ..annan1..ann（k可放在行、列上）
推论1：若D中某一行（列）元素全为0，则D=0。 推论2：若D中两行（列）元素对应相等，则D=0 。 推论3：若D中两行（列）元素对应成比例，则D=0。
a11an1....a1nanna11..a1nan1..anna11..a1nan1..ann 性质1-1-4：ai1?bi1..ain?bin=ai1..ain+bi1..bin
性质1-1-5：D中某一行（列）元素对应的加上另一行（列）元素的k倍，行列式不变。
a11a1nain === ajnannai1aj1an1
a11ai1?ajiaj1an1a1nain?ajnajnann
（注意：只能写成ri?krj而不能写成krj?ri）
四 、行列式按行（列）展开
定义1-1-3：在D中，划去第i行，第j列，剩余元素按原顺序不变 得到的比D低一阶的行列式，称为元素aij对应的余子式，记为Mij。
21?35032233123131称为元素a23的余子式。
?302215例如：在 D=
中，M23?1?30又称 如
Aij?(?1)i?j为aij对应的代数余子式。
a11D=a21a31a12a22a32a13a23=a11a22a33?a12a23a31?a21a32a13?a13a22a31?a23a32a11?a12a21a33 a33?a11(a22a33?a23a32)?a12(a23a31?a21a33)?a13(a21a32?a22a31) ?a11A11?a12A12?a13A13
定理1-1-1： D
或D
结论：
ai1Aj1?ai2Aj2?按第i行展开
ai1Ai1?ai2Ai2??ainAin??aitAitt?1nn
按第j列展开aj1Aij1?aj2Aj2?
?ajnAjn??asjAsjs?1?D当i=j?ainAjn???0当i?j
五、计算 n 阶行列式的方法：（ n ≥ 4 ）
（1）化成三角形行列式（过程中尽量避免过早地出现分数） （2) 按行（列）展开(降阶处理方法)
注：三角形行列式有两种形式：
a11..?a11..0上三角形形式 如：
0.. 下三角形形式 如：
..ann?..
..ann 其中：?表示任意数值。0表示所在方元素全为0.
这两种行列式值均为对角线乘积。
注解：降阶处理方法的思路，寻找0比较多的行（列），再按行（列）展开，由上面也可以看得出，解行列式可以进行行或者列运算，即把行列式的性质与展开式结合在一起用！）
1-2 克莱姆法则
?a11x1?a12x2?..?a1nxn?b1?.......................1、 n元非其次线性方程组? （**） ?ax?ax?..?ax?bnnnn?n11n22?a11x1?a12x2?..?a1nxn?0?.......................对应的齐线性方程组? （*） ?ax?ax?..?ax?0nnn?n11n22
注解：
a11..a1n (1)系数行列式：D=..an1....（线性方程组有n个未知数：x1,x2,..annxn）
(2)克莱姆法则使用的条件：
未知数个数与方程数相同，且系数行列式D不等于0。
定理1-2-1：若（**）的系数行列式D?0，则 1、（**）有唯一解。 2、 xj?其中DJ?..an1DJ（j=1，2，?，n）， Da11b1..bna1n.. 即第J列元素换成自由项元素。 ann（注意：第j列用自由项代替即可！）
?3x1?x2?2x3?1?例1： 求解方程组 ?x1?2x2?x3??1
??x1?2x2?x3?2
3112?21??20 ?0 1解： D=1?211且有D1??2x1?1?2?221131?2311??,5D2?1?1121??15, D3?1?2?1??5,
1221DD11D31?, x2?2?, x3?3? D4D4D4?a11x1?a12x2?..?a1nxn?0.......................注：对于齐次线性方程组：? （*） ??ax?ax?..?ax?0nnn?n11n22结论：
(1) （*）一定有解。（至少有一组零解.）
( 2) 若（*）的系数行列式D?0，则（*）只有一组零解(唯一解) (3) 若（*）的系数行列式D=0，则（*）有非零解(无穷多解)
习题课
1、写出四阶行列式展开式中含有a13a24的项。（注意：四阶行列式展开式中有4！项，每一项由取自不同行列的四个元素乘积构成） 解：设a13a24a3pa4q， 则 p=1或2，q=2或1
? 可以写出?a13a24a31a42 和 ?a13a24a32a41， 再判断项的符号，可以得出答案
? 含有a13a24的项为：+a13a24a31a42和－a13a24a32a41
?12、行列式
?n?2? (?1)n(n?1)2?1?2?n
3、四阶行列式中带有负号且包含a12和a21的项为 -a12a21a33a44 . 解：四阶行列式中包含a12和a21的项只有-a12a21a33a44和a12a21a43a34
2?10000?1200000?12?10000?12?1000002?10000?124、计算D =
2?1002?12?12?1?1200?33?27 解：D??3???12?12?120?12?100?121222222232?2?2?2 ?n
5、计算D = 22????2解：将第二列乘以（-1）分别加到其余各列得到
?10222200100000n?2D = 00，然后再将第二行乘以（-1）分别加到其
余各行的到对角行列式,
?10020000100000n?2即D = 00=（-2）（n-2）！
11106、 计算 D =
1101
10110111解: 应用化为三角形行列式法:
1110111011101111101012??3.
110100?1101110?????10110?1010?10100111011100?110117、计算 D =
1?11x?1?1x?1?1
x?11?11?1D==
003x?1?1解: 先把各列累加到第一列再用化三角形法:
1?11x?1x?11x?11?11x?11?1x?1?1xD = ?1x?11?1xx?1?11?1x1?10x01x00x?1000?x??x20?x0?x1?1x?1?11?xx?11?11?11?11?10x1x?x4. 0?1x?1?1
x?11?1?11?1=x
0111101118、计算 D = 110....................1111111 0解: 把各列累加到第一列再用化三角形法:
011?11101?11111?11111?1100?D=110?11?....................111?10101?11(n?1)110?11?....................111?100?10?0(n?1)00?1?0....................000?0?1(?1)n?1(n?1).
329、设行列式D?0502?73420?202, 求第四行各元素代数余子式之和02的值。
解: 设第四行各元素对应余子式分别为A1,A2,A3,A4,则它们对应的代数余子式之和为
32A1?A2?A3?A4?D1?0?102?71420?103402??7?(?1)5222??28 0?1?111
ax?byay?bzaz?bxaz?bxax?byay?bzxzyxzy10、 求证 ay?bzaz?bxax?by= （a3+b3）yzx
证明：（利用D中的性质4）
axayazazaxaybyaybxbxaxbzxzyxzyaxaybxazaxbzaxbzazazbyayaxbzbxazbybzbyayazbxaxay左式= ayazax+ayazby +aybxax+aybxby +bzazax
bybzazbxbyayyxzyxzbybzbxbxbybzxzyxzy+bzazby +bzbxax+bzbxby
= a3yzx+ b3zxy= （a3+b3）yzx =右式 [证毕]
a??111、 Dn=
??a0? （即固定四点，主对角线全为a）
0??a1? 题意分析：从低阶开始找出规律，从而可以照推过去求出n阶的情况。
a01a?101a01 D3=0a1r3?r10a0 c1?c3 0a0
a?10a?100a?110a =a（a2-1）=a3?2（a2-1）
a??a00?1??a?1??1????0a0?0? ??0a解：Dn=rn?r1 c1?cna?1??a?1= an?2（a2-1）
x1?12、 求 Dn=
1
x 题意分析：从低阶开始找出规律，从而可以照推过去求出n阶的情况。
x?2axaar1?r2a D3=axar?r13aaaxx?2aa?2axa ax100111c2?c11r1（x+2a）axa aax?aa c3?c1 （x+2） x?2aaaxa0x?a= （x+2a）（x-a） = [x+(3-1)a]（x-a）3?1
x??n?1?a??x??n?1?aaxa?r?r??r12nDn= 解：
?a??aa?x1??11ara1 x??n?1?a[x+(n-1)*] ?ac2?c1c3?c1?cn?c1xaa1a?aa? ???x000?0 = [x+(n-1)*a]
x?aa0?0
?x?a= [x+(n-1)*a] （x-a）n?1
第二章 矩阵及其运算
2-1 矩阵
一 、基本概念：
定义2-1-1：由m?n个元素排列成m行n列的一个“数表”，称为m?n
?a11..a1n?? ......矩阵，记为A??????am1..amn??注：1、矩阵可以用“（）”表示，也可以用“[ ]”表示，
aij表示位于第i行，第j列的元素。 2、关于矩阵的几个注解：
（1）A不一定是正方体。
（2）A仅仅是一个数表，不是常数。 （3）A用括号，D用竖线。
3、当m=1时，A??a11....a1n?称为行矩阵或行向量。
?a11?? ..当n=1时，A??????am1??称为列矩阵或列向量。
4、Am?n与Bm?n称为同型矩阵。（同型矩阵不一定是相等矩阵） 5、若aij?bij（即所有元素对应相等），称A与B为相等矩阵。 （相等矩阵的前提必须是同型矩阵！）
6、若aij?0（即所有元素全为零），称A为零矩阵。 （并非任意两个零矩阵都相等，如o3?5?o4?7。 7、若m=n，称A为n阶方阵。
（注意：每一个方阵对应一个行列式，记为：A ）
??1?? 称为对角矩阵。 ..8、???????n???0??1?称为单位矩阵。显然：..9、E??E?1 。 ???1??0?10、若
AT?A , 则称为对称矩阵。
二 、矩阵的运算
1、 代数和运算（前提：A与B是同型矩阵）
?a11?b11?a1n?a1n??A?B?????????am1?bm1?amn?bmn??
结果仍为与A、B同型的矩阵
2、 数乘运算（适合于任何矩阵）
??a11??a1n???A??????????am1??amn??
（上述两种运算统称为 线性运算。）
3、乘法运算（要求：左矩阵的列数要与右矩阵的行数相等， AB表示：A左乘B或者是B右乘A）
方法：Am?sBs?n?Cm?n???cij??m?n， 其中cij?ai1b1j?.......?aisbsj??aikbkj
k?1s（i=1，2，?，m；j=1，2，?n）
?312??213???例1：设A=??102? ，B=?1?13?
????201???312?213????1?13AB=解：??102???= ???201???求AB与BA
?13110??1?10?=C ??（为2?3矩阵），
BA无意义。
解析：1）：BA无意义是因为不满足矩阵乘法运算的要求！
2）：C第一行：c11 =2?3+1?1+3?2=13，
c12=2?1+1?（-1）+3?0=1
c13=2?2+1?3+3?1=10 C 第二行：c21= -1?3+0?1+2?2= 1，
c22= -1?1+0?（-1）+2?0= -1
c23= -1?2+0?3+2?1=0
3）：AB有意义，但是BA不一定有意义 ，即使AB与BA都有意义，但是AB也不一定等于BA，即乘法运算不一定满足交换律。
?3??1?21?42?设A=?3103? ，B=??2?????2?3??1??2???212?23??求AB与BA 01??32? 例2
?21?42?解：AB=?3103???12?23??= 01??32???7107??21415? ??，
而BA无意义。
?1??3?? 设A=??2????4?例3
B=?21?32?,
求AB与BA
12?3?96?? 2?64??4?128??3
?1??3???21?32? 解：AB=??2????4??2?6=??4??8（确保是c4?4）
?1??3??= ?7? BA=?21?32???2????4?
（确保是c1?1，注：别把7外面的括号给漏了！）
?a11设A???..??am1 例4
?x1???x????..a1n??x?....?，?n? ?..amn???b1???b?????，??bn?
求Ax
?a11?a1n???解：Ax=???????am1?amn???x1??a11x1???????=??x??ax??n??m11?a1nxn???b ??amnxn??若Ax=b 则意味着矩阵里的所有元素对应相等，则有：
?a11x1???a1nxn?b1????ax???ax?bmnnn?m11?**?，
称Ax=b 为线性方程组的矩阵形式。
课外练习：求一个 A5?3B3?4?C5?4的矩阵（自命题）
三 、矩阵的转置
1. 转置：AT?aji称为A?aij的转置
?23??例如：A=?1?24?
?? 则
?21??T3?2AT=???，若A= A，则称A是对称??14??矩阵，对称矩阵一定是方阵。 四 、矩阵的运算律 (部分)
1.设A、B为同阶方阵：（AB）T= BT AT， 2、AB=AB
3. 设A为n阶方阵，则：kA?knA
例：设A为三阶方阵，且A对应的行列式的值为5， 则2A= 23*5= 40 4. AE=A=EA
（单位矩阵左乘或是右乘另一个矩阵还是得到该矩阵本身） 7. 矩阵的其他一些运算律有：(AT)T=A，（A+B）T= AT+ BT，（kA）T= k AT等。
10.注意：矩阵乘法满足结合律，但不一定满足交换律。
2-2 逆矩阵
一、 基本概念
定义2-2-1：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，满足
AB=BA=E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，记：A=B，即AB=AA=E
注： 1.只有方阵才有可能存在逆矩阵。
2. A可逆，称A是非奇异的， A不可逆，称A是奇异的。 3. 若A可逆，则A 唯一。
4. A与A互为逆矩阵。即（A）=A
?a11..a1n??A11..An1??，称A???......? ......定义2-2-2：设A?????????am1..amn???A1n..Amn???1?1?1?1?1?1为A的伴随矩阵。
?a11?an1??a11?a1n??A11?A1n???AT???????A*??????A???????????????a1n?ann???an1?ann???An1?Ann?? 注解
定理2-2-1：设A为n阶方阵，则AA??A?A? [证明]
?a11..a1n??A11..An1??A??....?=?..AA???....???????ani..ann????A1n..Ann????0AE
......0??..??AE A??其中：c11?a11A11???a1nA1n= A
c12?a11A21???a1nA2n
= 0 ，??，c1n= 0，
依次类推 ? 同理也有 A?A?AE [证毕]
定理2-2-2：方阵A可逆?A?0 且A?1?1?A AAA?1?AA?1?E?1
[证明] “?”（充分性）：设A可逆，则 AA?1?E? 即A?0, 且A?1?1A
A E?? “?”（必要性）：若A?0, 则 AA?AA? 即A(1?1A)?(A?)A?EA , AA1?A A由定义可得：A可逆,且A?1? [证毕]
二、求逆矩阵的方法：
1. 公式法：A?1?1?A A?1??AEEA3. 初等变换法???? (第三章介绍) ?例1：设A???解：
3?2??， 45??求 A
?13?2A??23?0 ? A可逆
45A11=5，A21=2，A12= -4，A22=3
又?
?
?52??A??? ?43??1?52?即A??
23??43???1
由此可以得出：求二阶方阵逆矩阵的方法：即主对角线互换，副对角线换符号，再乘以其行列式的倒数即可。
?2?10??，求 321 例2：设A??????1?21??A
?1解： ?A?10?0，?A可逆 又? A11=4
A21=1
A31= -1
A12= -2 A22=2 A32= -2
A33=7
A13= -8 A23=3
?41?1?? A?1?1??22?2? ?10????337??三、 逆矩阵的主要用途：
1、
?x1???A?1b .解线性方程组：设Ax=b ,且A可逆，则x??????xn??（关键是要求出
A） （**）
?1?2x1?x2?x3?2例1：??x1?x2?x3??1
??x1?x2?0解法分析：1、.可以用初等代数方法：消元；
2、可以用克莱姆法则来求解
3、可以用逆矩阵来求解（前提和克莱姆法则的一样）
21?11??3?0 ?A可逆
0解：?A?1?111 有
A11=-1
A21=-1 A31= 0
A12=1 A22=1 A32= -3
A33
A13
= 2 A23=-1
=-3
若（1）有无穷多组解，则（1）有基础解系。 3）：若R（A）=n，则无基础解系；
若R（A）= r 含有n-r个解向量。 二 、求Ax=0 的通解的方法： 方法一：先求通解，再求基础解系 具体见第三章 ??A1（行阶梯形）???B（行最简形）?通解，即：将A?rr并可以求出基础解系 ?1?2?00r???例题剖析：设Ax=0，且A??00??00001?10?3???B求其通解，012??000?并求其基础解系（注：行数代表方程组个数，列数代表未知数个数） ?1?2?00r???：? AA??00??00001?10?3???B 012??000?解 x1?2x2?x5 ? x3?3x5x4?2x5 ? 可令 x?C 52x2?C1? 通解为：?x1? ?2???1??x??1??0?2???????x3??C1?0??C2?3???????0x?4?????2??x5????0???1?????2???1??1??0??????基础解系：?1??0?，?2??3?????0????2????0???1?? 方法二：先求基础解系，在求通解：设R（A）=r ?a11则A??????am1?1????a1n??0r?????????0?amn???????0?0b1r?1?b1n????????1brr?1?brn???B(行最简型)?00?0???????00?0?? B对应 x??b???bx rrrrnnx1??b1r???b1nxn??x1???0????0?r?1???x?2??0?0?r??????????1????0???????????xn????0?????????0???0????1?????b1r?1???b1r?2???b1n????????b?????????rr?1???brr?2???b?基础解系为：??1??，????rn?0?1??2???0???nr????0???????1?????0????0????0????0????1???通解为：?????C1?1?C2?2??Cn-r?n-r????? ??1003?2?设Ax?0且A???r?010?47???00121???B?00000???R（A）?3???3????2?4?7基础解系：??????1????2?，?2???1??1???????0??0???1????x1??x?2通解为??x?3??C1?1?C2?2?x?4???x5?? 三 、非齐次线性方程组 a11x1???a1nxn?b1am1???amnxn?b n或者是Ax=b，向量方程，称（*）为（**）的导出组 定理1：设（**）的任一特解为?*，（*）的通解为?，则（的通解为： **） ?x1?????C???C???*11n?rn?r????xn?? ： 形行具 r体 1解法将 最增 简 广 型矩 ）阵 即可?Ab????A(行r阶)???梯B（?x1???*求出通解：????????C1?1??Cn?r?n-r??* ??xn???1?r?0??设Ax?b，且Ab???例题剖析：?0???0?52??1?23?6??B，求出导出 0000??0000??01组的基础解系，并求其通解。 ?x1???1??5??2??x??2???3???6?2??C???C????? 解：由已知可知通解为：?12?x3??1??0??0??????????0??1??0??x4???1??5??2???3??导出组的基础解系为：§1=?1???，?2??? ?1??0?????0???1? 第五章 方阵的特征值和特征向量 一 、基本概念： 定义：设A为n阶方阵，若存在常数?和非零向量x，使得 Ax=?x，那就称?是A的特征值，x为?对应的特征向量。 特征向量的求法：由Ax=?x ??x-Ax=0，为了使其有特殊含 义，? 添加上E ? （?E-A）x=0（*）齐次线性方程组至少有一组零解。但 ?x1???是x????为非零向量，所以根据克莱姆法则，有D=0， ??xn??故?E?A?0： 6. 解特征方程，得特征值?i（注意：n次方程有n个根，这里只考虑特征值为实数根（单根与重根）的情况！而不考虑复数根的情况！） 8. 把特征值?i代入（*），可得特征向量。 ? 求A的特征值，特征向量的方法： 2. 解特征方程：?E?A?0，可得到特征值?i 5. 对于每一个?i，代入解（?iE-A）x=0 （*），可得到特征向量§i 注解：1）：注意得到的x为非零向量，也就是（?iE-A） x=0 （*）有非零解，故R（?iE-A） 2）：若?i是单根，对应的特征向量只有一个。 若?i是k重根，对应的特征向量可能有（1个，2个，?，k
