第二十一章 二次根式 教案
教材内容
1．本单元教学的主要内容：
二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用：
二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 教学目标
1．知识与技能
（1）理解二次根式的概念．
（2）理解a（a≥0）是一个非负数，（a）=a（a≥0），a2=a（a≥0）．
2
（3）掌握a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b；
aaaa=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．
bbbb （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．
2．过程与方法
（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．
（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．
（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．
3．情感、态度与价值观
通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点
1．二次根式a（a≥0）的内涵．a（a≥0）是一个非负数；（a）＝a（a≥0）；
2
a2=a（a≥0）?及其运用．
2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点
1．对a（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（a）＝a（a≥0）及a2=a（a≥
2
0）的理解及应用．
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1
2．二次根式的乘法、除法的条件限制．
3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键
1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神．
单元课时划分
本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式 3课时 21．2 二次根式的乘法 3课时 21．3 二次根式的加减 3课时 教学活动、习题课、小结 2课时
21．1 二次根式
第一课时
教学内容
二次根式的概念及其运用 教学目标
理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键
1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题． 教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=
3，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标x是___________．
问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．
问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方
2
差是S，那么S=_________． 老师点评：
问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x=3．因为点在第一象限，所以x=3，所以2
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所求点的坐标（3，3）． 问题2：由勾股定理得AB=10 问题3：由方差的概念得S= 二、探索新知 很明显3、10、4. 64，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根6的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，a有意义吗？ 老师点评:（略）
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1、x（x>0）、x0、42、-2、1、x?y（x≥0，y?≥0）． x?y”；第二，被开方数是正数
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“或0．
解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、x?y（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：33、141、2、． xx?y 例2．当x是多少时，3x?1在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?3x?1才能有意义．
解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥
1 31时，3x?1在实数范围内有意义． 3 三、巩固练习
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3
教材P练习1、2、3． 四、应用拓展
例3．当x是多少时，2x?3+ 分析：要使2x?3+1在实数范围内有意义？ x?11在实数范围内有意义，必须同时满足2x?3中的≥0和x?11x?1中的x+1≠0． 解：依题意，得??2x?3?0?1?0
?x 由①得：x≥-
32 由②得：x≠-1 当x≥-
32且x≠-1时，2x?3+1x?1在实数范围内有意义． 例4(1)已知y=2?x+x?2+5，求
xy的值．(答案:2) (2)若a?1+b?1=0，求a
2004
+b2004
的值．(答案:
25) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：
1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
第一课时作业设计 一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．-7 B．37 C．x D．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A．4 B．16 C．8 D．
1x 3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A．5 B．5 C．
15 D．以上皆不对 二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题
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1．某工厂要制作一批体积为1m的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2．当x是多少时，3
2x?32
+x在实数范围内有意义？ x 3．若3?x+x?3有意义，则x?2=_______．
2 4.使式子?(x?5)有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
5.已知a、b为实数，且a?5+210?2a=b+4，求a、b的值．
第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B
二、1．a（a≥0） 2．a 3．没有
三、1．设底面边长为x，则0.2x=1，解答：x=5．
2
3??2x?3?0?x?? 2．依题意得：?，?2
?x?0??x?0∴当x>-
32x?32且x≠0时，＋x在实数范围内没有意义． 2x3.
1 3 4．B
5．a=5，b=-4
21.1 二次根式(2)
第二课时
教学内容
1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）=a（a≥0）．
2
教学目标
理解a（a≥0）是一个非负数和（a）=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
2
通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体
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数据结合算术平方根的意义导出（a）=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键
1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）=a（a≥0）及其运用．
2
2
2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导出（a）=a（a≥0）．
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教学过程
一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？ 老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答） a（a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
a（a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：
（4）=_______；（2）=_______；（9）=______；（3）=_______；
2
2
2
2
（12722
）=______；（）=_______；（0）=_______． 32 老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）=4．
2
同理可得：（2）=2，（9）=9，（3）=3，（2
2
2
2
121727）=，（）=，（0）
3232=0，所以
（a）=a（a≥0） 2 例1 计算 1．（325272 2
） 2．（35） 3．（） 4．（）
2262
分析：我们可以直接利用（a）=a（a≥0）的结论解题．
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解：（32）2 =32，（35）2 =32·（5）2=32
·5=45，
（56）2=572(7)276，（2）=22?4．
三、巩固练习
计算下列各式的值：
（18）2
（23）2 （94）2 （0）2
（472 8）(35)2?(53)2
四、应用拓展
例2 计算
1．（x?1）2
（x≥0） 2．（a2）2
3．（a2?2a?1）2
4．（4x2?12x9?）2
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2
≥0；（3）a2
+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2
≥0．
所以上面的4题都可以运用（a）2
=a（a≥0）的重要结论解题．
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 （x?1）2
=x+1
（2）∵a2
≥0，∴（a2）2
=a
2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）
2
又∵（a+1）2
≥0，∴a2
+2a+1≥0 ，∴a2?2a?1=a2
+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）
2
又∵（2x-3）2
≥0
∴4x2
-12x+9≥0，∴（4x2?12x?9）2
=4x2
-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2
-3
分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握：
1．a（a≥0）是一个非负数；
2．（a）2
=a（a≥0）;反之:a=（a）2
（a≥0）．
用心 爱心 专心 7
