椭圆典型例题
一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例1：1.已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。
2．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求椭圆的标准方程． 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例：1. 椭圆的一个顶点为A?2，0?，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。
x2y2
例．求过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．
94
四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。
例： 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x?y?1?0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 五、求椭圆的离心率问题。
1x2y2??1的离心率e?，求k的值． 例1 已知椭圆
2k?89
六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题
例：1.若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。
x2y2
2．已知椭圆的标准方程是a2＋25＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过
点F1，求△ABF2的周长．
4a＝441.
x2y2
3．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，求△PF1F2
94
的面积．
11
△PF1F2的面积为2PF1·PF2＝2×2×4＝4.
七、直线与椭圆的位置问题
x2?11??y2?1，求过点P?，?且被P平分的弦所在的直线方程． 例 已知椭圆2?22?所求直线方程为2x?4y?3?0．
1
双曲线典型例题
一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。
x2y2??1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 例1 讨论
25?k9?k29?k?0，b2?9?k，解：（1）当k?9时，25?k?0，所给方程表示椭圆，此时a?25?k，
c2?a2?b2?16，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．
2（2）当9?k?25时，25?k?0，9?k?0，所给方程表示双曲线，此时，a?25?k，b2?9?k，c2?a2?b2?16，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．
（3）k?25，k?9，k?25时，所给方程没有轨迹． 二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
?15??16?，5?且焦点在坐标轴上．
?4??3?（2）c?6，经过点（－5，2），焦点在x轴上．
x2y2??1有相同焦点，且经过点32，（3）与双曲线2 164x2y2??1 解：（1）设双曲线方程为
mn∵ P、Q两点在双曲线上， ?9225??1??m??16?m16n∴?解得?
25625n?9????1??9mn?x2y2??1 ∴所求双曲线方程为169（1）过点P?3，?，Q????说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x轴上，c?6，
x2y2??1（其中0???6） ∴设所求双曲线方程为：
?6??254??1 ∵双曲线经过点（－5，2），∴
?6??∴??5或??30（舍去）
x2?y2?1 ∴所求双曲线方程是5说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．
2
x2y2??1?0???16? （3）设所求双曲线方程为：
16??4??184??1 ∵双曲线过点32，2，∴
16??4??∴??4或???14（舍）
x2y2??1 ∴所求双曲线方程为
128??三、求与双曲线有关的角度问题。
x2y2??1的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左支上且例3 已知双曲线
916PF1PF2的大小． 1PF2?32，求?F解：∵点P在双曲线的左支上 ∴PF1?PF2?6
∴PF1?PF2?2PF1PF2?36 ∴PF1?PF2∵F1F222222?100
?4c2?4a2?b12?100
??∴?F1PF2?90?
（2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．
四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。
x2?y2?1的两个焦点，点P在双曲线上且满足?F1PF2?90?，例4 已知F1、F2是双曲线4求?F1PF2的面积．
分析：利用双曲线的定义及?F1PF2中的勾股定理可求?F1PF2的面积．
x2?y2?1上的一个点且F1、F2为焦点． 解：∵P为双曲线4∴PF1?PF2?2a?4,F1F2?2c?25
∵?F1PF2?90?
∴在Rt?PF1F2中，PF1?PF2∵PF1?PF2222?F1F2?20
2??2?PF1?PF2?2PF1PF2?16
2∴20?2PF1PF2?16 ∴PF1?PF2?2 ∴S?F1PF2?1PF1?PF2?1 2五、根据双曲线的定义求其标准方程。 例5 已知两点F1??5，0?、F2?5，0?，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．
解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．
3
∵c?5，a?3
∴b?c?a?5?3?4?16
222222x2y2??1为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． ∴所求方程
916x2y2??1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且PF例 P是双曲线1?17，求PF2的6436值．
x2y2??1中，a?8，b?6，故c?10． 解：在双曲线
6436由P是双曲线上一点，得PF1?PF2?16．
∴PF2?1或PF2?33．
又PF2?c?a?2，得PF2?33． 六、求与圆有关的双曲线方程。
例6 求下列动圆圆心M的轨迹方程：
（1）与⊙C：0? ?x?2??y2?2内切，且过点A?2，2（2）与⊙C1：x2??y?1??1和⊙C2：x2??y?1??4都外切．
22（3）与⊙C1：?x?3??y2?9外切，且与⊙C2：?x?3??y2?1内切． 解：设动圆M的半径为r
（1）∵⊙C1与⊙M内切，点A在⊙C外
22∴MC?r?2，MA?r，MA?MC?2
∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：
72222，c?2，b?c?a?
222y22?1x??2 ∴双曲线方程为2x?7（2）∵⊙M与⊙C1、⊙C2都外切
a???∴MC1?r?1，MC2?r?2，
MC2?MC1?1
∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，且有：
a?13222，c?1，b?c?a? 24∴所求的双曲线的方程为：
4x2?3?4y??1?y??
34??（3）∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2内切
2∴MC1?r?3，MC2?r?1，MC1?MC2?4
4
∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且有：
a?2，c?3，b2?c2?a2?5
∴所求双曲线方程为：
x2y2??1?x?2? 45w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
抛物线典型例题
一、求抛物线的标准方程。
例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．
（1）x2?4y （2）x?ay2(a?0) 解：（1）?p?2，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：y??1 （2）原抛物线方程为：y?①当a?0时，
211x，?2p? aap1?，抛物线开口向右， 24a11,0)，准线方程是：x??∴焦点坐标是(． 4a4ap1②当a?0时，??，抛物线开口向左，
24a11,0)，准线方程是：x??∴焦点坐标是(． 4a4a综合上述，当a?0时，抛物线x?ay2的焦点坐标为(
二、求直线与抛物线相结合的问题
例2 若直线y?kx?2与抛物线y?8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．
211,0)，准线方程是：x??． 4a4a?y?kx?222解法一：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则由：?2可得：kx?(4k?8)x?4?0．
?y?8x∵直线与抛物线相交，?k?0且??0，则k??1．
x?x24k?8??2， ∵AB中点横坐标为：?12k2解得：k?2或k??1（舍去）． 故所求直线方程为：y?2x?2．
y2?8x2． y?y28两式作差解：(y1?y2)(y1?y2)?8(x1?x2)，即1． ?x1?x2y1?y2?x1?x2?4?y1?y2?kx1?2?kx2?2?k(x1?x2)?4?4k?4，
5
解法二：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则有y1?8x122
?k?8故k?2或k??1（舍去）．
4k?4则所求直线方程为：y?2x?2．
三、求直线中的参数问题
例3（1）设抛物线y2?4x被直线y?2x?k截得的弦长为35，求k值．
（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．
?y2?4x解：（1）由?得：4x2?(4k?4)x?k2?0
?y?2x?kk2设直线与抛物线交于A(x1,y1)与B(x2,y2)两点．则有：x1?x2?1?k,x1?x2?
4?AB?(1?22)(x1?x2)2?5(x1?x2)2?4x1x2?5(1?k)2?k2?5(1?2k)????
?AB?35,?5(1?2k)?35，即k??4
（2）?S??9，底边长为35，∴三角形高h?∵点P在x轴上，∴设P点坐标是(x0,0) 则点P到直线y?2x?4的距离就等于h，即
2?965 ?5352x0?0?422?12?65 5． ?x0??1或x0?5，即所求P点坐标是（－1，0）或（5，0）四、与抛物线有关的最值问题
例4 定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y?x上移动，求AB的中点到y轴的距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标．
解：如图，设F是y?x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，又M到准线
的垂线为MN，C、D和N是垂足，则
221113(AC?BD)?(AF?BF)?AB?． 22221315设M点的横坐标为x，纵坐标为y，MN?x?，则x???．
4244等式成立的条件是AB过点F． MN?
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当x?512时，y1y2??P??，故 4422(y1?y2)2?y1?y2?2y1y2?2x?1?2， 2y1?y2??2，y??所以M(,?
2． 25452)，此时M到y轴的距离的最小值为．
42例 已知点M(3,2)，F为抛物线y2?2x的焦点，点P在该抛物线上移动，当PM?PF取最小值时，点P的坐标为__________．
解：如图，
由定义知PF?PE，故PM?PF?PF?PM?ME?MN?31． 2取等号时，M、P、E三点共线，∴P点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2， 所以P点坐标为(2,2)．
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