2.5 直线和圆的位置关系
专题1 直线与圆的位置关系
1．A 已知圆的直径等于10厘米， 圆心到直线l的距离为d：
(1)当d=4厘米时， 有d____r， 直线l和圆有____个公共点， 直线l与圆_______; (2)当d=5厘米时， 有d____r， 直线l和圆有____个公共点， 直线l与圆_______; (3)当d=6厘米时， 有d____r， 直线l和圆有____个公共点， 直线l与圆_______. 2．B Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm， BC=8cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有何位置关系？为什么？ ①r=4cm ②r=4.8cm ③r=6cm
④与斜边AB只有一个公共点，求r的取值范围.
3．B 已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x－2x＋d=0有实根，则点P( )． A．在⊙O的内部 B．在⊙O的外部 C．在⊙O上
2
D．在⊙O上或⊙O的内部
1
4．B 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C为圆心，R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，求R的值.
5．B 已知⊙O的半径r=3，设圆心O到直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题： ①若d>5,则m=0； ②若d=5,则m=1； ③若3 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 —————————————————— 专题2 切线的判定定理 B. 2 C. 3 D. 4 2 1．A 判断题 过半径的外端的直线是圆的切线( ) 与半径垂直的直线是圆的切线( ) 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线( ) 2．B 已知：直线AB经过⊙O上的点C， 并且OA=OB， CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. 3．B 已知: O为∠BAC平分线上一点， OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作⊙O. 求证：⊙O与AC相切. 4．B 如图， 已知⊙O的半径OA⊥OB， ∠OAC=30°，AC交OB于D，交⊙O于C，E为OB延长线上一点，且CE=DE. 求证：CE与⊙O相切. 3 5．B 已知：如图A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点， OC=BC， AC= 1OB. 2求证：AB是⊙O的切线. 6．B 如图，AB为⊙O的直径，AC⊥直线MN于C， BD⊥直线MN于点D，且AC+BD=AB 求证：直线MN为⊙O的切线 7．B 如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD//BC， E为AB上一点，DE平分∠ADC， CE平分∠BCD， 以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系? 4 8．B 已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D点，AD?1BC.以△ABC的中位线为直径作半圆2O，试确定BC与半圆O的位置关系，并证明你的结论． 9．B 已知：如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE=∠C时，试确定直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论． 5 —————————————————— 专题3 切线的性质定理 1．B 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC交圆O于点D，连接 AD，若∠ABC=45°，则下列结论正确的是( ) A. BC=2AD B. AC=2AD C. AC＞AB D. AD＞DC 2．B 如图， PA、PB是⊙O的切线， 切点分别为A、B， 如果∠P=60°，那么∠AOB等于( ) A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 3．B 如图， AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C， 交AB的延长线于D，且CO=CD， 则∠ PCA=( ) A. 30° B. 45° 6 C. 60° D. 67.5° 4．B 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，切点为A，D为⊙O上一点，AD与OC相交于点E，且∠DAB=∠C. 求证：OC∥BD 5．C 如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动(不与点M重合)，点Q在半圆O上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点 C． (1)当∠QPA=60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明． (2)当QP⊥AB时，△QCP的形状是 三角形． (3)由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP 7 一定是 三角形． 6．C 如图所示，已知直线l与⊙O相离， OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C. （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由. （2）若PC=25，求⊙O的半径. （3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O 的半径r的取值范围. 7．C 如图，已知A、B两点的坐标分别为 (2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是_______． 8 —————————————————— 专题4 三角形的内切圆 1．B 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB、BC、CA的长分别为c、a、b. 求△ABC的内切圆半径r. 2．B 如图， △ABC中O是内心， ∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D. 求证：DO=DB 9 3．B 已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°． (1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r； (2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r． 4．B 如图，AC⊥BC于点C，BC=a，CA=b，AB=c，⊙O与直线AB、BC、CA都相切，则⊙O的半径等于________． 5．C 如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长． 10 —————————————————— 专题5 切线长定理 1．A 如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，如果AB=5，AC=3，求BD的长. 2．B 如图， 已知AB是⊙O的直径， C是AB延长线上一点，BC=OB， CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E， 则CD:DE的值是( ) A、 1 B、1 C、2 D、3 2 11 3．B 已知⊙O的半径为1，圆心O到直线a的距离为2，过a上任一点A作⊙O的切线， 切点为B，则线段AB的最小值为( ) A、1 B、 2 C、3 D、2 4．B 如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为__________. 5．B 如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB//CD，BO=6cm，CO=8cm， 求BC的长. 6．B ⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A、B两点，C是⊙O上的一点，若∠P=70，则∠ACB= . 7．B 已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点． (1)若∠P=40°，求∠COD； 12 0 (2)若PA=10cm，求△PCD的周长． ︵ 8．C 如图，在正方形ABCD中，AB=1，AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点 E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合)，过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点． ︵ (1)当∠DEF=45°时，求证点G为线段EF的中点； (2)设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围. 9．B 如图，已知⊙O的半径为5，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB=90°，则PA=_____，PO=_______， AB=_______. 13 10．B 如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作大圆的弦AB切小圆于C点，大圆的弦AD切小圆于E点．求证：(1)AB=AD；(2)DE=BC． —————————————————— 14 2.5 直线和圆的位置关系 专题1 直线与圆的位置关系 1．(1)<, 2, 相交；(2) =, 1, 相切；(3) >, 0, 相离. 2．①相离 ②相切 ③相交 ④6cm 124． R?5或3 5．C. 专题2 切线的判定定理 1．×,×,× 2．方法一：连结OC ∵OA?OB 又∵AC?BC ∴OC?AB ∴AB是⊙O的切线. 方法二：连结OC ∵OA?OB ∴O一定在线段AB的垂直平分线上 又∵AC?BC，即C是AB的中点，C也在AB的垂直平分线上 ∴OC是AB的垂直平分线 ∴AB是⊙O的切线. 3．方法一：过点O作OM?AC ∵AO为∠BAC的平分线 又∵OD?AB于点D，OM?AC于点M ∴OD?OM ∴⊙O与AC相切. 方法二：过点O作OM?AC ∵AO为∠BAC的平分线 ∴?DAO??MAO 在△DAO和△MAO中： ???ODA??OMA??DAO??MAO ??AO?AO∴△DAO≌△MAO ∴OD?OM 15 ∴⊙O与AC相切. 4．连结OC 在△AOD中 ∵OA?OB，?A?30? ∴?ADO?60? ∵?CDE??ADO?60? ∵CE?DE ∴?ECD??EDC?60? ∵OA?OC ∴?A??OCA?30? ∴?ECO??OCA??ECD?90?∴CE?OC ∴CE与⊙O相切. 5．方法一：连结OA 1∵OC=BC，AC=2OB ∴ AC=OC=BC 又∵OA?OC ∴OA?OC?AC ∴△OAC是等边三角形 ∴?OAC?60? 又∵?OAC??CAB??B ∵?CAB??B ∴?CAB?30? ∴?OAB??OAC??CAB?90?∴AB是⊙O的切线. 方法二：连结OA 1∵OC=BC，AC=2OB 16 ∴ AC= OC=BC ∴?O??OAC，?B??BAC ∵?B??O??OAB?180? ?OAB??OAC??CAB 即2(?OAC??CAB)?180? ∴?OAB??OAC??CAB?90? ∴AB是⊙O的切线. 6．过点O作OH?MN于点H ∵AC⊥MN，BD⊥直MN ∴AC∥OH∥BD 又∵点O为AB中点 ∴H为CD中点 ∴OH为梯形ABCD的中位线 ∵AC+BD=AB ∴OH?12(AC?BD)?12AB ∴OH?OA ∴直线MN为⊙O的切线 7．过点E作EM ⊥ CD于M ∵DE平分∠ADC ∴?ADE??MDE 在△AED和△MED中 ???A??DME?90???ADE??MDE ??DE?DE∴△AED≌△MED ∴AE=ME 同理EB=EM ∴ EA?EB?EM?12AB ∴以AB为直径的圆与边CD相切 17 8．BC与半圆O相切．理由如下： 如图，过圆心O作OG⊥BC于G， ∵EF是△ABC的中位线， 1∴EF//BC，EF=2BC， 设EF与AD交于M， 1又∵AD⊥BC于D， AD?2BC， 11∴DM=2AD=4BC， ∵OG⊥BC，AD⊥BC，EF∥BC， ∴∠OMD=∠MDG=∠OGD=90°， ∴四边形OMDG是矩形， ∴OG=MD， 11∴OG=4BC=2EF， 1又∵圆的半径为2EF， ∴BC与半圆O的位置关系为相切． 9．直线DE与⊙O相切． 理由如下： 如图，过A作⊙O的直径AF，连接BF，∵AF为直径， ∴∠ABF=90°， ∵∠F，∠C是弧AB所对的圆周角， ∴∠C=∠F， 在Rt△ABF中，∠F+∠BAF=90°， 又∵∠BAE=∠C， ∴∠BAE=∠F， ∴∠BAE+∠BAF=90°， ∴FA⊥DE， 18 ∴直线DE与⊙O相切． 专题3 切线的性质定理 1．A 2．C 3．D 4．∵AB是⊙O的直径 ∴?ADB?90? ∵AC与⊙O相切 ∴?CAO?90? ∵∠DAB=∠C 在直角△CAO和直角△ABD中 ∵∠DAB=∠C ∴?COA??B ∴OC∥BD 5．(1)等边三角形．理由如下： 如图，连接OQ，则CQ⊥OQ， ∵PQ=PO， ∴∠QOC=∠PQO， 又∵∠QCO+∠QOC=∠PQO+∠CQP=90°， ∴∠QCO=∠CQP， ∴CP=QP， 又∵∠QPC=60°， ∴△QPC是等边三角形． (2)等腰直角． (3)等腰． 6．（1）AB=AC.理由如下： 连接OB， 19 ∴AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA=∠OAC=90°， ∴∠OBP+∠ABP=90°， ∠ACP+∠CPB=90 °， ∵OP=OB， ∴∠OBP=∠OPB， ∵∠OPB=∠APC， ∴∠ACP=∠ABC， ∴AB=AC. （2）半径为3. （3）5?r?5. 27．2－2． 专题4 三角形的内切圆a?b?cab1．2或a?b?c 2．如图所示，连结OB ∵△ABC中O是内心 ∴AD为∠BAC的角平分线，BO是∠ABC的角平分线 ∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∵∠1=∠5 ∴∠2=∠5 ∵∠BOD=∠2+∠3=∠5+∠4 ∠DBO=∠4+∠5 ∴∠BOD=∠DBO ∴DO=DB 20 3．(1)r=3cm； (2)4． r?aba?b?cr?a?b?c(或2)． r?c?b?a2 5．BC＝10cm，AC?103cm. 专题5 切线长定理 1．2 2．C 3．2 4．26° 5．10 6．55°或125° 7．(1)70°；(2)20cm． 8．(1)∵∠DEF= 45°，∠D=90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴DE=DF， 又∵AD=DC， ∴AE=FC， ∵AB是圆B的半径，AD⊥AB， ∴AD切圆B于A， 同理：CD切圆B于C， 又∵EF切圆B于G， ∴AE=EG，FC=FG， ∴EG=FG， 即G为线段EF的中点． (2) y?1?x1?x(0 9．5，52，52. 10．(1)证明：连接OC，OE， ∵AD与⊙O相切于E点， AB与⊙O相切于C点， ∴AE=AC，OE⊥AD，OC⊥AB， 21 ∴AE=ED，AC=CB， ∴AB=AD. (2)证明：由（1）可知， 11AD?AB2DE=2=BC. ∴DE=BC. 22
