八．（10分）设u?f(x2?y2, z)，f具有二阶连续偏导数，而z?z(x,y)?2u由方程x?y?z?e确定，求。
?x?yz
高等数学参考答案 2007.7
一．选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分） 1、【解】应选择D。 c?(b?a)=c?(?a?b)=(?a?b)?(?c)=(a?b)?c 2．【解】应选择A。
fx(x,y),fy(x,y)在点P0(x0,y0)连续? z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分
3。【解】应选择C。在极坐标下
20
积为
料最省? D:??2????2,0?r?2cos?
???f(x,y)d?=2cos??,rsin?)rdr
D?2??d??0f(rcos24。【解】应选择B。
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分） 1．【解】应填(?1,?1,?3) 直线化为参数式
??x?1?2t?y??2?t ??z?3t 代入平面方程 (1?2t)?(?2?t)?2(3t)?6?0 得 t??1 代入参数方程得 x??1,y??1,z??3 故交点为 (?1,?1,?3) 2．【解】应填24m2
设水箱的长为xm? 宽为ym? 则其高应为
8xym? 此水箱所用材料的面S?2(xy?y?88xy?x?xy)?2(xy?8x?8y) (x?0, y?0)? 令S8x?2(y?x2)?0? Sy?2(x?8y2)?0? 得x?2? y?2? 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为
82?2?2m时? 水箱所用的材最少用料为S(2,2)?2(2?2?2?2?2?2)?24m2 ?
3．【解】应填112(1?e)?
21
?
?10dx?e?ydy=?e?ydy?dx=?ye?yx0001212y122?11?1dy=??e?y?=(1?)
e?2?02184．【解】应填?a4?
32222(x?y?2xy)dS2x(x?y)dS==????dS ?????=
22284222?a ==(x?y?z)dSadS????33?3?5．【解】应填3i?4j?
333在(?,?1,)处登山，最陡方向是z?5?x2?2y2在(?,?1)的梯度
242方向．
gradz(?3,?1)?(?2xi?4yj)3=3i?4j
(?,?1)221? 26．【解】应填??由于x??是f(x)间断点，故s(?)???12，而x??2是f(x)连续点，
???1s()? 于是s(?)?s()=???
2222三．【解】 已知直线方向向量s1?(4,5,6)，已知平面法向量
n?(7,8,9)…………（4分）
设所求直线方向向量s，则
ijks?s1?n?456??3i?6j?3k? ……………………………………...（8分）
789所求直线方程为
x?1y?2z?3?? ……………………………………………………1?21
22
………（10分）
四． 【解】 因为
f(x)?1111 ……………………（2???2(x?1)(x?3)2(1?x)2(3?x)x?4x?311 ………………………………（4分） ?x?1x?14(1?)8(1?)24 ?nn1?1? n(x?1)n(x?1)………………（6分）??(?1)?(?1)?4n?08n?02n4n分）
??(?1)n(n?0?12n?2?2n …………………………（8分） )(x?1)2n?31收敛域满足
x-1 ?1且2解
x-1 ?1…………………………………………（9分） 4出
收
敛
域
为
：
（?1，3）…………………………………………………………（10分）
五? 【解】积分区域?关于yoz面对称，???xdv?0
?在柱面坐标下积分区域?可表示为 0???2??
0?r?10?
r2?z?5? …………………………………（2分） 2
22(x?y?x)dv?????2r????rdrd?dz…………………………………………（4?分）
??2?0d??100rdr?12dz……………………………………（6分）
2r35
?2??100(5r3?15r)dr……………………………………（8分） 2 23
?5r416??2???r?12?0?410?250? ………………………（10分） 3六．【解】补充CA为x轴上由C(?1,0)到A(2,0)有向直线段?则 L和CA围成闭区域D?
…………………………
………………（2分）
P?x2?2y,Q?3x?yey。
?Q?P??3?(?2)?5。…………………………（4分） ?x?y则由Green公式 原
?式
CA?L?CA??CA?5??dxdy??D………………………………………（6分）
?5(?4?21?1?2)??x2dx……………………………………………….（8分）
?12
?5(?4?1)?3?5??2 ………………………………………………..（10分） 4七【解】由Gauss公式 原
?2223(x?y?z)dv……………..…………………………………（2分） ????式
?3???r2r2sin?drd?d? ………………………………………………（4分）
?
?3?d??sin?d??0202??2aco?s0r4dr ………………………………………（6分）
(2a)5?6??5??20cos5?sin?d?……………………………………………
（8分）
325(2a)51??a ………………………………………………?6???556（10分）
八【解】由方程x?y?z?ez两边关于x求导得
24
1??z?z?ez ……………………………………………………………（2分） ?x?x?z1??x1?ez 类似地，有
?z1……………………………………………………（4分） ?z?y1?e?u?z1?f1??2x?f2???f1??2x?f2??……………………………z?x?x1?e……………（7分）
?2u11111z???2y?f12?????????2x(f11)??e?f?(f?2y?f?)22122zz2zzz?x?y1?e(1?e)1?e1?e1?e
2(x?y)1ez???????????4xyf11f12f22f2?…………………（10zz2z31?e(1?e)(1?e)分）
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