a??b?的充要条件; D. a?//b? C. 的必要但非充分条件.
2.平面3x?3y?6?0的位置是
?B?
A.垂直于z轴; B.平行于z轴; C.平行于xoy面; D. 通过z轴.
3.设函数
f?x,y????0当xy?0时当xy?0时，
?1
7
则下列说法正确的是?C?
A.limxf?x,y?存在且f?x,y?在点?0,0?处的
y??00两个偏导数也存在; B.
limxf?x,y?存在但f?x,y?在点?0,0?处的
y??00两个偏导数不存在; C.
limxf?x,y?不存在但f?x,y?在点?0,0?处的
y??00两个偏导数存在; D.
limxf?x,y?不存在且f?x,y?在点?0,0?处的
y??00两个偏导数也不存在;
4.曲线L为圆周??x?3cost 0?t?2?y?3sint?,
则
???x2?y2?nds等于?A?
LA. 2??32n?1; B. 9n?1??; C.
6??3n; D.
12n?1?32n?1.
?5. 设正项级数
收敛，则必有?D?
n?u?1n A. un?1nlim??u???1; B. limnun???1;
nn??C.
nlim??un?c?0; D. nlim??un?0.
三.（8分）在平面x?y?z?1上求一直线，
使得它与直线??y?1?z??1 垂直相交。
8
解：方法1：
?y?1直线?的方向向量为?1,0,0?
?z??1它与平面x?y?z?1的交点为?1,1,?1?
所求直线通过这一点， 所求直线的方向向量为：
S???1,1,1???1,0,0???0,1,?1?
故所求的直线方程为：
x?1y?1z?0?1?1?1 方法2：直线??y?1的方向向量为?1,0,0?z??1?
它与平面x?y?z?1的交点为?1,1,?1?
所求直线通过这一点，
过交点?1,1,?1?且与直线??y?1z??1垂直的平面方程为：??x?1??0?y?1??0?z?1??0
即：x?1
故所求的直线方程为：??x?y?z?1?x?1
或：??y?z?0?x?1
四.（8分）设z?z(x,y)是由方程 z3?3xz?y?0
所确定的隐函数,
求:
?z??2?xx?0，z?y和z， x?0?x?yx?0y?1y?1y?1 9
解：设F?x,y,z??z3?2xz?y，则：
Fx??2z，Fy?1，
Fz?3z2?2x，
当x?0，y?1时z??1，
?z?x?z?yx?0y?12z2?(2)??，
33z?2xx?0y?1x?0y?111?(?2)??，
x?033z?2xy?1?2z?x?yx?0y?16z2?4x2?(2)?，
3(3z?2x)x?09y?1五.（8分）计算曲线积分
??1?xe?dx??xe2yL222y?ydy
?其中L为从O解：由
?0,0?经?x?2??y2?4的上半圆到A?2,2?的一弧段。
?P?Q??2xe2y 知与路经无关。 ?y?x 取B于是：
?2,0?，作新路经OBA折线，
??L1?xe2ydx?x2e2y?ydy
????OB??BA???0?1?x?dx??04e2y?ydy
22????4??2e4?4?2e4
六、（8分）利用高斯公式计算曲面积分
222xzdydz?xydzdx?yzdxdy, ?????其中?为球面：x解： 作
2?y2?z2?a2的上半部分的上侧.
?0：z?0 取下侧.
10
则
??xz2dydz?x2ydzdx?y2zdxdy???????????
0?0 而
???????????z2?x2?y2?d v0?2??
??d???a22002d?0rr2sin?dr?5?a5
?0
???0 故：
??xz2dydz?x2ydzdx?y2zdxdy??2??????????05?a5 ?0七.（8分）将函数
f?x??1x2?4x?3,
展开成
?x?1?的幂级数.
解：?f?x??1?2?11??1?x?3?x???
?1?14??x?1??x?1?
?1?2??8??1?4??? 而：
1??1?n?x?1?n
??1?x?3?
4???1?x?1??1?n2?4n?02??
1??1?nx?1??18?x?1?n
??3?x?5?
8??n??04n?1?4??f?x??????1?n??11?n2n?2?2n?3???x?1? ??1?x?3?n?0?2八.（8分）求微分方程：
y???y?4xex的通解.
11
解：r2?1?0.?r1?1,r2??1.
?Y?C1ex?C2e?x.
???1是特征方程的单根, 所以设 y*?x?Ax?B?ex.
代入原方程得: A?1,B故原方程的通解为: 九. （12分）求由曲面z??1.?y*?x?x?1?ex.
y?C1ex?C2e?x?x2?xex.
???x2?y2和z?6?x2?y2
所围成立体的体积.
?6?x2?y2?z?x2?y2?解：??：? ?0???2Dxy???0???2??
?V????dv?0?d??2?20??d???6??232dz??
3十. （10分）设 By?f?x?是第一象限内连接点A?0,1?，
?1,0?的一段连续曲线，M?x,y?为该曲线上任意
O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与
一点，点C为M在x轴上的投影，
曲边三角形CBM的面积之和为
x61?。试建立f?x?所满足的微分方程，并求f?x? 63的表达式。
11?f?x??解：梯形OCMA的面积为：x? ??2 曲边三角形CBM的面积为：
?xf?t?1dt
1x311? 根据题意得：x?1?f?x????f?t?dt???x263两边关于x求导得：
12
12??1?f?x????12xf??x??f?x??122x 即：
f??x??1x2?1xf?x??x 故：
f?x??e?1xdx?x2??1?1?xdx?edx?C???x???x2?Cx?1
? 由：
f?1??0 ，得：C??2，
故：f?x???x?1?2
第二学期高数（下）期末考试试卷及答案3 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)
b?1. 已知向量a???1,?1,4?,??3,4,0?,则以a??,b
为边的平行四边形的面积等于
449.
2. 曲面z?sinxcosy在点????1??4,4,2??处
的切平面方程是
x?y?2z?1?0. 2y3. 交换积分次序
?220dx?xf?x,y?dy??0dy?0f?x,y?dx.
?4. 对于级数?1（a＞0），当a满足条件
a?1时收敛.
n?1an5. 函数y?12?x展开成x的幂级数
?为
?xnn??2?x?2?.
n?02?1二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面x?2z?0的位置是 （ A ）
13
（A）通过y轴 （B）通过x轴 （C）垂直于y轴 （D）平行于xoz平面 2. 函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处具有偏导数
，
fx??x0,y0?fy??x0,y0?,是函数在该点可微分的
（
C ）
（A）充要条件 （B）充分但非必要条件
（C）必要但非充分条件 （D）既非充分又非必要条件 3. 设z?ex?cosy?xsiny?，则dzx?1?（ B ）
