2017年中考数学专题练习25《圆的位置关系》
【知识归纳】
1. 点与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为： ①d r，②d r，③d r.
2. 直线与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ . 对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为： ①d r，②d r，③d r.
3. 圆的切线 过切点的半径；经过 的外端，并且 这条 的直线是圆的切线. 4. 从圆外一点可以向圆引 条切线， 相等， 夹角.
5. 三角形的三个顶点确定一 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫 心，是三角形 的交点.
6. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 . 【基础检测】
1．A、B、C是平面内的三点，AB?3，BC?3，AC?6，下列说法正确的是（ ） A．可以画一个圆，使A、B、C都在圆上 B．可以画一个圆，使A、B在圆上，C在圆外 C．可以画一个圆，使A、C在圆上，B在圆外 D．可以画一个圆，使B、C在圆上，A在圆内
2. （2016年浙江省衢州市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（ ）
A． B． C． D．
3. （2016年浙江省台州市）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（ ）
A．6 B．2+1 C．9 D．
4．AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，（2016·江苏无锡）如图，若∠C=70°，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．35° C．20° D．40°
5.10分）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD⊥CD． （2016·福建龙岩·如图，∠ACD=∠B，（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD=1，OA=2，求AC的值．
6. （2016·10分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且青海西宁·∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，
．求BE的长．
【达标检测】 一、选择题
1.（2015?重庆A9，4分））如图，AB是?O的直径，点C在?O上，AE是?O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D， 若?AOC=80° ，则?ADB的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 20°
9题图
2. （2015?齐齐哈尔,第6题3分）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A． 8≤AB≤10 B． 8＜AB≤10 C． 4≤AB≤5 D． 4＜AB≤5
3．（2015?湖南张家界，第2题3分）如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（ ）
A． 相离 B． 相交 C． 相切 D． 以上三种情况均有可能
4．（2016·上海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ）
A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8
5．（2016·江苏连云港）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）
A．2＜r＜ B．＜r＜3 C．＜r＜5 D．5＜r＜
二、填空题
6．（2016·江苏无锡）如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．
7．（2016?呼和浩特）在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为 ．
8.（2016.山东省泰安市，3分）如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为 ．
9. （2016·3分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线内蒙古包头·与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为 ．
10. （2016·四川攀枝花）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．
11．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，sinA=OA=10cm，则AB长为 cm．
3，5
12．矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点中至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是________．
13.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C= 度．
三、解答题：
14. （2016·湖北武汉）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E． (1) 求证：AC平分∠DAB；
(2) 连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝
4AF，求的值． 5FC
15．（2016·山东省滨州市）如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF． （1）求证：PF平分∠BFD． （2）若tan∠FBC=，DF=
，求EF的长．
【知识归纳答案】
1. 点与圆的位置关系共有三种：①点在圆内 ，②点在圆上 ，③点在圆外 ；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为： ①d< r，②d=r，③d>r.
2. 直线与圆的位置关系共有三种：①相交，②相切 ，③相离 . 对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为： ①d< r，②d= r，③d>r.
3. 圆的切线垂直于 过切点的半径；经过半径 的外端，并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线.
4. 从圆外一点可以向圆引两 条切线， 它们的切线长 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
5. 三角形的三个顶点确定一 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫三角形的外 心，是三角形三边垂直平分线 的交点.
6. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 ，内切圆的圆心是三角形三条角平分线 的交点，叫做三角形的内心 . 【基础检测答案】
1．A、B、C是平面内的三点，AB?3，BC?3，AC?6，下列说法正确的是（ ） A．可以画一个圆，使A、B、C都在圆上 B．可以画一个圆，使A、B在圆上，C在圆外 C．可以画一个圆，使A、C在圆上，B在圆外 D．可以画一个圆，使B、C在圆上，A在圆内 【答案】B.
【解析】由已知可知点B是线段AC的中点，故A、B、C三点不可能在同一个圆上，若A、B在同一个圆上，则点C在这个圆外，若A、C在同一个圆上，则点B在圆内，若B、C在同一个圆上，则点A在圆外；故选项B正确，故选B.
2. （2016年浙江省衢州市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】切线的性质．
【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【解答】解：连接OC， ∵CE是⊙O切线， ∴OC⊥CE， ∵∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°， ∴∠E=90°﹣∠BOC=30°， =． ∴sin∠E=sin30°故选A．
3. （2016年浙江省台州市）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（ ）
A．6 B．2+1 C．9 D．
【考点】切线的性质．
【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，
P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．
【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1， ∵AB=10，AC=8，BC=6，
222
∴AB=AC+BC，
∴∠C=90°， ∵∠OP1B=90°， ∴OP1∥AC ∵AO=OB， ∴P1C=P1B， ∴OP1=AC=4，
∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时， P2Q2最大值=5+3=8，
∴PQ长的最大值与最小值的和是9． 故选C．
4．AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，（2016·江苏无锡）如图，若∠C=70°，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．35° C．20° D．40° 【考点】切线的性质；圆周角定理．
【分析】先依据切线的性质求得∠CAB的度数，然后依据直角三角形两锐角互余的性质得到∠CBA的度数，然后由圆周角定理可求得∠AOD的度数． 【解答】解：∵AC是圆O的切线，AB是圆O的直径， ∴AB⊥AC． ∴∠CAB=90°． 又∵∠C=70°， ∴∠CBA=20°． ∴∠DOA=40°． 故选：D．
5.10分）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD⊥CD． （2016·福建龙岩·如图，∠ACD=∠B，（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD=1，OA=2，求AC的值．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接OC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由等腰三角形的性质得出∠B=∠BCO，证出∠OCD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即可得出结论；
2
（2）证明△ACB∽△ADC，得出AC=AD?AB，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示： ∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∵OB=OC， ∴∠B=∠BCO， 又∵∠ACD=∠B，
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°， 即OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ACB=90°， 又∵∠ACD=∠B， ∴△ACB∽△ADC，
2
∴AC=AD?AB=1×4=4，
∴AC=2．
6. D为⊙O上一点， （2016·青海西宁）如图，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，
．求BE的长．
【考点】切线的判定与性质．
【分析】（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；
（2）根据已知条件得到△CDA∽△CBD由相似三角形的性质得到由切线的性质得到BE=DE，BE⊥BC根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】（1）证明：连结OD， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠BDO， ∵∠CDA=∠CBD， ∴∠CDA=∠ODB， 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADO+∠ODB=90°，
，求得CD=4，
∴∠ADO+∠CDA=90°， 即∠CDO=90°， ∴OD⊥CD， ∵OD是⊙O半径， ∴CD是⊙O的切线
（2）解：∵∠C=∠C，∠CDA=∠CBD ∴△CDA∽△CBD ∴ ∵
，BC=6，
∴CD=4，
∵CE，BE是⊙O的切线 ∴BE=DE，BE⊥BC
∴BE2+BC2=EC2，即BE2+62=（4+BE）2
解得：BE=．
【达标检测答案】 一、选择题
1.（2015?重庆））如图，AB是?O的直径，点C在?O上，AE是?O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D， 若?AOC=80°，则?ADB的度数为（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 20°
【解析】切线的性质．由AB 是⊙O 直径，AE 是⊙O 的切线，推出AD ⊥AB，∠DAC= ∠B=
12 ∠AOC=40°， 推出∠AOD=50°．
【解答】解：∵AB 是⊙O 直径，AE 是⊙O 的切线， ∴∠BAD=90°，
9题图
∵∠B=
1∠AOC=40°， 2 ∴∠ADB=90°﹣∠B=50°， 故选B．
【点评】本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解题的关键在于连接AC，构建直角三角形，求∠B 的度数．
2. （2015?齐齐哈尔,第6题3分）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A． 8≤AB≤10 B． 8＜AB≤10 C． 4≤AB≤5 D． 4＜AB≤5
【解析】直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8．若大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，此时AB≥8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8≤AB≤10． 【解答】解：当AB与小圆相切， ∵大圆半径为5，小圆的半径为3， ∴AB=
=8．
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交， ∴8≤AB≤10． 故选：A．
【点评】本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长．
3．（2015?湖南张家界，第2题3分）如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（ ）
A． 相离 B． 相交
C． 相切 D． 以上三种情况均有可能
【解析】直线与圆的位置关系．利用直线l和⊙O相切?d=r，进而判断得出即可． 【解答】解：过点C作CD⊥AO于点D， ∵∠O=30°，OC=6， ∴DC=3，
∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切． 故选：C．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键．
4．（2016·上海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ）
A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8 【考点】圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系． 【分析】连接AD，
根据勾股定理得到AD=5，
根据圆与圆的位置关系得到r＞5﹣3=2， 由点B在⊙D外， 于是得到r＜4， 即可得到结论． 【解答】解：连接AD， ∵AC=4，CD=3，∠C=90°， ∴AD=5，
∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交， ∴r＞5﹣3=2， ∵BC=7， ∴BD=4， ∵点B在⊙D外， ∴r＜4，
∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4， 故选B．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．
5．（2016·江苏连云港）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）
A．2＜r＜ B．＜r＜3 C．＜r＜5 D．5＜r＜
【分析】如图求出AD、AB、AE、AF即可解决问题． 【解答】解：如图，∵AD=2∴AB＞AE＞AD， ∴
＜r＜3
，AE=AF=
，AB=3
，
时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆
内，故选B．
【点评】本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，理解题意，属于中考常考题型． 二、填空题
6．（2016·江苏无锡）如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．
s时，以C
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，即CF=1.5cm，又因为∠EFC=∠O=90°，所以△EFC∽△DCO，利用对应边的比相等即可求出EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范围为0≤t≤4． 【解答】解：当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时， 此时，CF=1.5， ∵AC=2t，BD=t， ∴OC=8﹣2t，OD=6﹣t， ∵点E是OC的中点， ∴CE=OC=4﹣t，
∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO ∴△EFC∽△DCO ∴
=
222由勾股定理可知：CE=CF+EF，
∴（4﹣t）2=解得：t=∵0≤t≤4， ∴t=
．
或t=
+，
，
故答案为：
7．（2016?呼和浩特）在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为 24 ． 【考点】切线的性质．
【分析】如图，设AB与⊙O相切于点F，连接OF，OD，延长FO交CD于点E，首先证明OE⊥CD，在RT△EOD中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，设AB与⊙O相切于点F，连接OF，OD，延长FO交CD于点E．
∵2πR=26π， ∴R=13， ∴OF=OD=13， ∵AB是⊙O切线， ∴OF⊥AB， ∵AB∥CD，
∴EF⊥CD即OE⊥CD， ∴CE=ED， ∵EF=18，OF=13， ∴OE=5，
在RT△OED中，∵∠OED=90°，OD=13，OE=5， ∴ED=
∴CD=2ED=24． 故答案为24．
8.（2016.山东省泰安市）如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为
．
=
=12，
【分析】要求AE的长，只要求出OA和OE的长即可，要求OA的长可以根据∠B=30°和OB的长求得，OE可以根据∠OCE和OC的长求得． 【解答】解：连接OD，如右图所示，
，
， ，
由已知可得，∠BOA=90°，OD=OC=3，∠B=30°，∠ODB=90°， ∴BO=2OD=6，∠BOD=60°，
∴∠ODC=∠OCD=60°，AO=BOtan30°=∵∠COE=90°，OC=3， ∴OE=OCtan60°=∴AE=OE﹣OA=故答案为：
．
【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 9. （2016·3分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线内蒙古包头·与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为
．
【考点】切线的性质．
【分析】在RT△POC中，根据∠P=30°，PC=3，求出OC、OP即可解决问题． 【解答】解：∵OA=OC，∠A=30°， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COB=∠A+∠ACO=60°， ∵PC是⊙O切线， ∴∠PCO=90°，∠P=30°，
∵PC=3， ∴OC=PC?tan30°=∴PB=PO﹣OB=故答案为
．
，PC=2OC=2，
，
10. （2016·四川攀枝花）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为
．
【考点】切线的性质．
【分析】过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD=S△ABD=S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．
【解答】解：过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F． ∵AB、BC是⊙O的切线， ∴点E、F是切点， ∴OE、OF是⊙O的半径； ∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5， ∴由勾股定理，得BC=4； 又∵D是BC边的中点， ∴S△ABD=S△ACD，
又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，
∴AB?OE+BD?OF=CD?AC，即5×OE+2×0E=2×3， 解得OE=， ∴⊙O的半径是． 故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质与三角形的面积．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
11．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，sinA=OA=10cm，则AB长为 cm．
3，5
【答案】16. 【解析】
试题分析：连接OC，
∵大圆的弦AB与小圆相切于C点，∴OC⊥AB，∴AC=BC，∵sinA=∴OC=6cm，∴AC=10?6?8cm，∴AB=2AC=16cm 考点：1.切线的性质；2.垂径定理；3.解直角三角形．
12．矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点中至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是________．
223，OA=10cm，5【答案】15 【解析】1.勾股定理；2.点与圆的位置关系.因为矩形ABCD的边AB=15，BC=20，所以AD=BC=15?20?25,所以要使A，C，D三点中至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是15 13.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C= 45 度． 22 【考点】切线的性质；平行四边形的性质． 【分析】连接OD，只要证明△AOD是等腰直角三角形即可推出∠A=45°，再根据平行四边形的对角相等即可解决问题． 【解答】解；连接OD． ∵CD是⊙O切线， ∴OD⊥CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴AB⊥OD， ∴∠AOD=90°， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO=45°， ∴∠C=∠A=45°． 故答案为45． 三、解答题： 14. （2016·湖北武汉·8分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂 直，垂足为点D，AD交⊙O于点E． (1) 求证：AC平分∠DAB； (2) 连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝ 4AF，求的值． 5FC 【考点】切线的性质；考查了切线的 性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系的应用 【答案】 (1) 略；(2) 7 9【解析】（1）证明：连接OC，则OC⊥CD，又AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠OCA，又OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠CAO，∴AC平分∠DAB． （2）解：连接BE交OC于点H，易证OC⊥BE，可知∠OCA＝∠CAD， ∴COS∠HCF＝，设HC＝4,FC＝5，则FH＝3． 又△AEF∽△CHF，设EF＝3x，则AF＝5x，AE＝4x，∴OH＝2x ∴BH＝HE＝3x＋3 OB＝OC＝2x＋4 一、 45 在△OBH中，（2x）2＋（3x＋3）2＝（2x＋4）2 7（另一负值舍去）． 9化简得：9x2＋2x－7＝0，解得：x＝∴ AF5x7??． FC5915．（2016·4分）如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点山东省滨州市·P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF． （1）求证：PF平分∠BFD． （2）若tan∠FBC=，DF= ，求EF的长． 【考点】切线的性质；正方形的性质． 【分析】（1）根据切线的性质得到OP⊥AD，由四边形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OP∥CD，根据平行线的性质得到∠PFD=∠OPF，由等腰三角形的性质得到∠OPF=∠OFP，根据角平分线的定义即可得到结论； （2）由∠C=90°，得到BF是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠BEF=90°，推出四边形BCFE 2 是矩形，根据矩形的性质得到EF=BC，根据切割线定理得到PD=DF?CD，于是得到结论． 【解答】解：（1）连接OP，BF，PF， ∵⊙O与AD相切于点P， ∴OP⊥AD， ∵四边形ABCD的正方形， ∴CD⊥AD， ∴OP∥CD， ∴∠PFD=∠OPF， ∵OP=OF， ∴∠OPF=∠OFP， ∴∠OFP=∠PFD， ∴PF平分∠BFD； （2）连接EF， ∵∠C=90°， ∴BF是⊙O的直径， ∴∠BEF=90°， ∴四边形BCFE是矩形， ∴EF=BC， ∵AB∥OP∥CD，BO=FO， ∴OP=AD=0.5CD， ∵PD2=DF?CD，即（∴CD=4 ， ． 2）= ?CD， ∴EF=BC=4 【点评】本题考查了切线的性质，正方形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
