模块综合检测
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若sin ,则cos α=( )
A.- B.- C. D.
解析:cos α=1-2sin2
=1-2×.故选C.
答案:C 2.若tan(α-3π)>0,sin(-α+π)<0,则α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角
D.第四象限角
解析:由已知得tan α>0,sin α<0,
∴α是第三象限角.
答案:C 3.函数f(x)=sin的图象的对称轴方程可以为 A.x= B.x=
C.x= D.x=
解析:由2x+=kπ+(k∈Z),
得x=(k∈Z).
当k=0时,x=.
答案:A )
(4.当cos 2α=时,sinα+cosα的值是( )
44
A.1 B. C. D.
解析:sinα+cosα=(sinα+cosα)-2sinαcosα=1-sin2α=1-×(1-cos2α)=答案:C 442222222
.
5.已知a=,b=,c=a+kb,d=a-b,c与d的夹角是,则k的值为( )
A.- B.-3
C.-3或- D.-1
解析:c=,d=(0,1).
cos,
解得k=-3或-. 答案:C 6.
如图,在直角三角形PBO中,∠PBO=90°,以O为圆心,OB为半径作圆弧交OP于A点,若等分△PBO的面积,且∠AOB=α,则( ) A.tan α=α B.tan α=2α C.sin α=2cos α
D.2sin α=cos α
解析:设扇形的半径为r,则扇形的面积为αr,直角三角形PBO中,PB=rtan α,△PBO的面
2
积为r×rtan α,由题意得r×rtan α=2×αr,∴tan α=2α,故选B. 答案:B 2
7.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m(A>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的函数解析式是( )
A.y=4sin
B.y=2sin+2
C.y=2sin+2
D.y=2sin解析:由+2
得A=2,m=2.
又∵T=,∴ω==4,
∴ωx+φ=4x+φ.
∵x=是其一条对称轴,
∴π+φ=kπ+(k∈Z),
∴φ=kπ-π.
当k=1时,φ=,
∴y=2sin
答案:D 8.已知向量A.[1,2] C.[2
+2.
=(2,0),
B.[2
=(0,2),
,4]
=(cos θ,sin θ),则|,2
|的取值范围是( )
-1,2+1] D.[2+1]
解析:由题意知,=(2-cos θ,-2-sin θ),
所以|∈[
即|答案:C 9.
|=],
|∈[2-1,2+1].
已知函数f(x)=Asin,x∈R,A>0,y=f(x)的部分图象如图,P,Q分别为该图象的最高点
和最低点,点P的横坐标为1.若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=A.
B.2
C.1
D.2
,则A=( )
解析:函数f(x)的周期为T==6,∴Q(4,-A).
又∠PRQ=,
∴直线RQ的倾斜角为,
∴答案:A =-,A=.
10.已知点A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在l上,则关于实数x的方程
x2+x=0的解集为( )
B.{-1}
A.?
C.
解析:由于
D.{-1,0} ,又
,则存在实数λ,使
=λ,则
=λ(x2
+x所以答案:A )=λ-λ,所以有λ-λ=0,由于不共线,又
=0,
由于
2
是任意非零向量,则实数λ是任意实数,则等式λ=λ不一定成立,
2
所以关于x的方程x+x=0的解集为?.
11.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)=( )
A.- B. C.- D.
解析:因为α∈,
所以2α∈(0,π).
因为cos α=,
所以cos 2α=2cosα-1=-,
2
所以sin 2α=.
又α,β∈,
所以α+β∈(0,π),
所以sin(α+β)=所
以
,
cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos
2αcos(α+β)+sin
2αsin(α+β)=答案:D .
12.已知∠A1,∠A2,…,∠An为凸多边形的内角,且lg sin A1+lg sin A2+…+lg sin An=0,则这个多边形是( ) A.正六边形 C.矩形
B.梯形 D.含锐角的菱形
解析:lg sin A1+lg sin A2+…+lg sin An
=lg(sin A1sin A2…sin An)=0,
则sin A1sin A2…sin An=1,
又∠A1,∠A2,…,∠An为凸多边形的内角, 则∠A1,∠A2,…,∠An∈(0,π),
则0 所以∠A1=∠A2=…=∠An=, 则∠A1+∠A2+…+∠An=答案:C =(n-2)π,解得n=4,即这个多边形是矩形. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.已知(sin x-2cos x)(3+2sin x+2cos x)=0,则的值为 . 解析:∵3+2sin x+2cos x=3+2sin≥3-2,∴3+2sin x+2cos x≠0, ∴sin x-2cos x=0,sin x=2cos x, ∴(2cos x)2+cos2x=1,cos2x=. ∴ ==2cos2x=. 答案: 14.函数y=3-的定义域为 . 解析:由2cos≥0,得2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z), 即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z). 答案:(k∈Z) 15.已知tan=2,则的值为 . 解析:由tan=2, 得tan x=, ∴. 答案: 16.已知a1+a2+…+a2 015=0,且an=(3,4)(1≤n≤2 010,n∈N),则a1+a2+…+an-1+an+1+…+a2 015的模为 . 解析:由题意知a1+a2+…+an-1+an+1+…+a2 015=-an=(-3,-4),所以所求模为5. 答案:5 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) * 17.(10分)已知sin(1)求sin α的值; +sin. (2)求的值. 解:(1)∵sin+sin, ∴sin α=.∴sin α=. (2)∵ =, ∴原式=. 18.(12分)已知电流I与时间t的关系式为I=Asin(ωt+φ). (1)如图是I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图象,根据图中数据求解析式; (2)如果t在任意一段秒的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么 ω的最小正整数值是多少? 解:(1)由图知,A=300, ×T=, ∴T=,∴ω=, ∴π×+φ=0. 又|φ|<,∴φ=π, ∴I=300sin. (2)∵t在任一段秒内I能取到最大值和最小值, ∴I=Asin(ωt+φ)的周期T≤, 即,ω≥300π≈943. ∴ω的最小正整数值是943. 19.(12分)设在平面上有两个向量a=(cos 2α,sin 2α)(0≤α<π),b=线. (1)求证:向量a+b与a-b垂直; (2)当向量 a+b与a-b的模相等时,求α的大小. ,a与b不共 (1)证明由已知得|a|=则(a+b)·(a-b)=a-b=0, 所以a+b与a-b垂直. (2)解:由|a+b|=|a-2 2 =1,|b|==1, b|两边平方,得3|a|+2a·b=0. 2 a·b+|b|=|a|-2 22 a·b+3|b|, 2 ∴2(|a|2-|b|2)+4 而|a|=|b|,∴a·b=0. ∴cos 2α+sin 2α=0,即sin=0, ∴2α+=kπ(k∈Z). 又0≤α<π,∴α=或α=. 20.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分 别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为. (1)求tan(α+β)的值; (2)求α+2β的值. 解:由已知得cos α=,cos β=. ∵α,β为锐角, ∴sin α=, sin β=. ∴tan α=7,tan β=. (1)tan(α+β)==-3. (2)∵tan 2β=, ∴tan(α+2β)==-1. ∵α,β为锐角,∴0<α+2β<.∴α+2β=. 21.(12分)已知点A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈(1)若|. |=||,求角α的值; (2)若解:(1)∵=-1,求 =(cos α-3,sin α),|=|=的值. =(cos α,sin α-3), , ∴||. 由||=||,得sin α=cos α. 又∵α∈(2)由 ,∴α=. =-1,得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1. ∴sin α+cos α=. ① 又=2sin αcos α. 由①式两边平方,得1+2sin αcos α=, ∴2sin αcos α=-. ∴=-. 22.(12分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB∥ OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C. (1)当θ=时,求点A的位置,使矩形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积; (2)当θ=时,求点A的位置,使平行四边形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积. 解:(1)连接OA,设∠AOB=α, 则OB=cos α,AB=sin α. ∴矩形面积S=OB·AB=sin αcos α. ∴S=sin 2α. 由于0<α<, ∴当2α=,即α=时,S最大=. ∴A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为. (2)连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α. 在Rt△ABH中,=tan 60°=,∴BH=sin α. ∴OB=OH-BH=cos α-sin α. 设平行四边形ABOC的面积为S, 则S=OB·AH=sin α =sin αcos α-sinα=sin 2α-2 (1-cos 2α) =sin 2α+cos 2α- = =sin. 由于0<α<, ∴当2α+, 即α=时,S最大=. ∴当A是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为.
