2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（供文科考生使用）
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4pR2
如果事件相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A?B)P(A)?P(B) 球的体积公式 43pR 3在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V=kkPn(k)=Cnp(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)
第一部分 （选择题 共60分）
注意事项：
1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、设集合A?{a,b}，B?{b,c,d}，则A?B?（ ）
A、{b} B、{b,c,d} C、{a,c,d} D、{a,b,c,d}
[答案]D
[解析]集合A中包含a,b两个元素，集合B中包含b,c,d三个元素，共有a,b,c,d四个元素，所以
A?B?{a、b、c、d}
[点评]本题旨在考查集合的并集运算，集合问题属于高中数学入门知识，考试时出题难度不大，重点是掌握好课本的基础知识. 2、(1?x)的展开式中x的系数是（ ）
A、21 B、28 C、35 D、42 [答案]A
[解析]二项式(1?x)展开式的通项公式为Tk?1=C7x，令k=2，则T3?C7x
2?x2的系数为C7?21
727kk2、2[点评]高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力.
3、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（ ）
A、101 B、808 C、1212 D、2012 [答案]B
[解析]N=96?21?969696?25??43??808 121212[点评]解决分层抽样问题，关键是求出抽样比，此类问题难点要注意是否需要剔除个体.
4、函数y?a?a(a?0,a?1)的图象可能是（ ）
x
[答案]C
[解析]采用特殊值验证法. 函数y?a?a(a?0,a?1)恒过（1,0），只有C选项符合.
[点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用.
5、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE?1，连接EC、ED则sin?CED?（ ）
A、
[答案]B
x3101055 B、 C、 D、 10101015DC[解析]?AE?1，正方形的边长也为1?ED?2EC?（EA?AB）?CB?52AE?AD?22E2ABCD?1?cos?CED?ED?EC-CD2ED?EC222
?31010sin?CED?1?cos2?CED?1010[点评]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况. 6、下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 [答案]C
[解析]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
????ab7、设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使???成立的充分条件是（ ）
|a||b|??????????A、|a|?|b|且a//b B、a??b C、a//b D、a?2b
[答案]D
??ab[解析]若使???成立，则a与b方向相同，选项中只有D能保证，故选D.
|a||b|[点评]本题考查的是向量相等条件?模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.
?x?y??3,?x?2y?12,??8、若变量x,y满足约束条件?2x?y?12，则z?3x?4y的最大值是（ ）
?x?0???y?0A、12 B、26 C、28 D、33
[答案]C
[解析]目标函数z?3x?4y可以变形为
3z3y??x?，做函数y??x的平行线，
444当其经过点B（4,4）时截距最大时，
即z有最大值为z?3x?4y=3?4?4?4?28. [点评]解决线性规划题目的常规步骤： 一列（列出约束条件）、 二画（画出可行域）、
三作（作目标函数变形式的平行线）、 四求（求出最优解）.
9、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，
并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|?（ ） A、22 B、23 C、4 D、25 [答案]B
[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（
pp，准线方程为x=?, ,0）22?M在抛物线上，?M到焦点的距离等于到准线的距离，即p2p22?（2-）?y0?（2?）?322解得：p?1,y0?22?点M（2,22），根据两点距离公式有：?|OM|?22?(22)2?23[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线
的距离).
10、如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面?内，过点O作平面?的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面?成45?ABDPαCO角的平面与半球面相交，所得交线上到平面?的距离最大的点为
B，该交线上的一点P满足?BOP?60，则A、P两点间的球
面距离为（ ） A、Rarccos?23?R?R B、 C、Rarccos D、 4343[答案]A
[解析]以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，则
AO?PO2
?COS?AOP??2R4
A(2213R,0,R),P(R,R,0) 2222
2??AOP?arccos4?2?AP?R?arccos4
[点评]本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.
11、方程ay?bx?c中的a,b,c?{?2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、28条 B、32条 C、36条 D、48条 [答案]B
2[解析]方程ay?bx?c变形得x?2222ac，若表示抛物线，则a?0,b?0 y?22bb?a??2,c?0,或1,或3??a?1,c??2,或0,或3 ?a?3，c??2,或0,或1?所以，分b=-2,1,2,3四种情况：
?a?1,c?0,或2,或3?（1）若b=-2，?a?2,c?0,或1,或3 ; （2）若b=2,
?a?3，c?0,或1,或2?以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条； 同理 若b=1，共有9条； 若b=3时，共有9条.
综上，共有14+9+9=32种
[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.
12、设函数f(x)?(x?3)?x?1，{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)?f(a2)?????f(a7)?14，则
3a1?a2??a7?（ ）
A、0 B、7 C、14 D、21 [答案]D
[解析]∵{an}是公差不为0的等差数列，且f(a1)?f(a2)?????f(a7)?14
∴[(a1?3)3?a1?1]?[(a2?3)3?a2?1]???[(a7?3)3?a7?1]?14 ∴(a1?a2??a7)?7?14
∴a1?a2??a7?21
[点评]本小题考查的知识点较为综合，既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用，解决此类问题必须要敢于尝试，并需要认真观察其特点.
第二部分 （非选择题 共90分）
注意事项：
（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 （2）本部分共10个小题，共90分。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。） 13、函数f(x)?1的定义域是____________。（用区间表示） 1?2x[答案]（-?，）
[解析]由分母部分的1-2x>0，得到x∈(-?，）.
[点评]定义域问题属于低档题，只要保证式子有意义即可，相对容易得分.常见考点有：分母不为0；偶次根下的式子大于等于0；对数函数的真数大于0；0的0次方没有意义. 14、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是____________。 [答案]90o
[解析]方法一：连接D1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M, 所以，DN⊥平面A1MD1，
又A1M?平面A1MD1，所以，DN⊥A1D1，故夹角为90o
方法二：以D为原点，分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴，建立空间直角坐D—xyz.设正方体边长为2，则D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0）A1（2,0,2）
ADMBA1D1B1NCC11212中
标系
（0,2,1），MA1?（2，?1,2）故，DN?
MA1??所以，cos
|DN||MA1|[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理； 第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决.
x2y2?1(a为定值，15、椭圆2?且a?5)的的左焦点为F，直线x?m与椭圆相交于点A、B，?FABa5的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。 [答案]
2 322[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又?a?c?5
?c?2,?e?c2? a3[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 16、设a,b为正实数，现有下列命题：
①若a?b?1，则a?b?1； ②若
2211??1，则a?b?1； ba
③若|a?b|?1，则|a?b|?1； ④若|a?b|?1，则|a?b|?1。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号） [答案] ①④
若a,b中至少有一个大于等于1， 则a+b>1, 由a2-b2=(a+b)(a-b)=1 ，所以，a-b<1 故①正确.
对于|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=1，
若a,b中至少又一个大于等于1，则a2+ab+b2>1,则|a-b|<1 若a,b都小于1，则|a-b|<1，所以④正确. 综上，真命题有 ① ④ .
[点评]此类问题考查难度较大，要求对四个备选项都要有正确的认识，需要考生具备扎实的数学基础，平时应多加强这类题的限时性练习.
三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。） 17、(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统[解析]若a,b都小于1，则a-b<1
33B在任意时刻发生故障的概率分别为
1和p。 1049，求p的值； 50（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
（Ⅱ）求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。 [解析]（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么 1-P（C）=1-
1491P= ，解得P=………………………………6 分
51050（2）设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为
事件D, 那么P(D)=C32111972243 ?(1?)2?(1?)3??1010101000250243. ………………12分. 250答：检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为
[点评]本小题主要考查相互独立事件，独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.
18、(本小题满分12分) 已知函数f(x)?cos（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和值域；
2xxx1?sincos?。 222232，求sin2?的值。 10xx12x[解析]（1）由已知，f（x）=cos?sincos?
2222111 ?（1?cosx）?sinx?
222（Ⅱ）若f(?)? ?2?cos（x?） 24
?2,2?，?。…………………6分 所以f（x）的最小正周期为2?，值域为??22???（2）由（1）知，f（?）= 所以cos（??2?32 cos（??）?，2410?4?3）。 5 所以sin2???cos（ ）4?1872 ?1?2cos，…………………12分 （??）?1??42525?2?2?）??cos（2???[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，
考查化归与转化等数学思想.
19、(本小题满分12分) 如图，在三棱锥P?ABC中，P?APB?90?，?PAB?60?，AB?BC?CA，点P在平内的射影O在AB上。
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小。
C面ABCAB[解析]（1）连接OC. 由已知，?OCP为直线PC与平面ABC所成的角
设AB的中点为D，连接PD、CD. 因为AB=BC=CA,所以CD?AB.
因为?APB?90?，?PAB?60?，所以?PAD为等边三角形， 不妨设PA=2，则OD=1，OP=3, AB=4.
所以CD=23，OC=OD?CD?1?12?13. 在Rt?OCP中，tan?OPC?22OP339??.…………………………6分 OC1313
（2）过D作DE?AP于E，连接CE.
由已知可得，CD?平面PAB. 据三垂线定理可知，CE⊥PA，
所以，?CED为二面角B—AP—C的平面角. 由（1）知，DE=3 在Rt△CDE中，tan?CED?CD23??2 DE3故二面角B—AP—C的大小为arctan2 …………………………………12分
[点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，重点考查思维能力和空间想象能力，进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤：一找（寻找现成的二面角的平面角）、二作（若
没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值）.
20、(本小题满分12分) 已知数列{an}的前n项和为Sn，常数??0，且?a1an?S1?Sn对一切正整数n都成立。
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设a1?0，??100，当n为何值时，数列{lg[解析]取n=1,得?a1?2s1?2a1,a1(?a1?2)?0
若a1=0,则s1=0, 当n?2时，an?sn?sn?1?0,所以an?0 若a1?0，则a1?1}的前n项和最大？ an?222当n
?2时，2an??sn,2an?1??sn?1, ,
??上述两个式子相减得：an=2an-1,所以数列{an}是等比数列 综上，若a1 = 0, 则an?0 若a1?0，则an?2n? …………………………………………7分
（2）当a1>0,且??100时，令bn?lg1,所以，bn?2?nlg2 an所以，{bn}单调递减的等差数列（公差为-lg2）
100100?lg?lg1?0 6642100100当n≥7时，bn≤b7=lg7?lg?lg1?0
1282则 b1>b2>b3>…>b6=lg故数列{lg
1}的前6项的和最大. …………………………12分 an[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.
21、(本小题满分12分) 如图，动点M与两定点A(?1,0)、B(1,0)，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为A（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y?x?m(m?0)与y轴交于点P，与轨迹C相交
y?MM构成
C。
A|PR|的取值范围。 Q、R，且|PQ|?|PR|，求
|PQ|[解析]（1）设M的坐标为（x,y），当x=-1时，直线MA的斜率在；当x=1时，直线MB的斜率不存在。 于是x≠1且x≠-1.此时，MA的斜率为由题意，有
OBx于点
不存
yy，MB的斜率为. X?1x?1yy·=4 X?1x?1化简可得，4x2-y2-4=0
故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0（x≠1且x≠-1）…………………………4分 1. 由??y?x?m?4x?y?4?022消去y，可得3x2-2mx-m2-4=0. (﹡)
对于方程(﹡)，其判别式
?=（-2m)2－4×3（-m2-4）=16m2+48>0
而当1或-1为方程（*）的根时，m的值为-1或1.
结合题设（m>0）可知，m>0，且m≠1
设Q、R的坐标分别为（XQ,YQ）,(XR,YR),则为方程（*）的两根. 因为PQ?PR,所以
XQ?X2R，
XQ?m?2m32?3,XP?m?2m32?3
所以
PR?PQXX221?PR3?21?m?1?1?21?2332?1m32。
2m?1此时1?3m?1,且1?m?2
所以1?1?221?3?3,且1?2221?3mRP?1PRPQm?2?15? 3所以1?PRPQ?XX?3,且?XXRP5 3综上所述，
55的取值范围是（1，）?（，3） …………………………12分 PQ33PR[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、
分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。
an22、(本小题满分14分) 已知a为正实数，n为自然数，抛物线y??x?与x轴正半轴相交于点A，
2设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。
2（Ⅰ）用a和n表示f(n)； （Ⅱ）求对所有n都有
f(n)?1n?成立的a的最小值；
f(n)?1n?1111??????与
f(1)?f(2)f(2)?f(4)f(n)?f(2n)（Ⅲ）当0?a?1时，比较
6?f(1)?f(n?1)的大小，并说明理由。
f(0)?f(1)
??[解析]（1）由已知得，交点A的坐标为???则抛物线在点A处的切线方程为：
a?'1n2?,0，对y??x?a求导得y??2x 2?2??ny??2a(x?nan2),即y??2ax?a.则f(n)?a ………………4分
nnnn1． 由（1）知f(n)=
a,则
f(n)?1nn?成立的充要条件是a?2n?1
f(n)?1n?1即知，
an?2n?1对于所有的n成立，
n特别地，当n=1时，得到a≥3 当a=3，n≥1时，
an?3?(1?2)?1?Cn.2???2n?1
n1当n=0时，
anf(n)?1n?=2n+1.故a=3时f(n)?1n?1对所有自然数n均成立.
所以满足条件的a的最小值为3. ………………………………………………8分 2． 由（1）知f(k)=a
下面证明：
k111f(1)?f(n?1) ?????6.f(1)?f(2)f(2)?f(4)f(n)?f(2n)f(0)?f(1)1x?x2首先证明0 ?6x 设函数g(x)=6x(x2-x)+1,0 2322时,g'(x)<0; 当?x?1时，g'(x)?0 3321故g（x）在区间（0，1）上的最小值g(x)?g()??0 min39当0?x?所以，当0 1x?x2?6x 1由0 111????f(1)?f(2)f(2)?f(4)f(n)?f(2n)111 ????a?a2a2?a4an?a2n ?6(a?a???a)?6?2na?an?11?n?6?f(1)?f(n?1)??????14分f(0)?f(1) [点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。
