复数的运算测试题
一、选择题
1．a?0是复数z?a?bi(a，b?R)为纯虚数的（ ） Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件
Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ
2．若z1?2?i，z2?3?ai(a?R)，z1?z2的和所对应的点在实轴上，则a为（ ） Ａ．3 答案：Ｄ
3．复数z?(a2?2a)?(a2?a?2)i对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．a?2或a?1 Ｂ．a?2且a?1 Ｃ．a?0 Ｄ．
a?0
a?2Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．—1
或
答案：Ｄ
4．设z1，z2为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）
1
Ａ．若z12?z22?0，则z12??z22 Ｂ．z1?z2?(z1?z2)2?4z1z2
Ｃ．z12?z22?0?z1?z2?0 Ｄ．z1?z1是纯虚数或零 答案：Ｄ
5．设z?(2t2?5t?3)?(t2??2t?2)i，t?R，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z的对应点Z在第一象限 Ｂ．z的对应点Z在第四象限 Ｃ．z不是纯虚数 Ｄ．z是虚数 答案：Ｄ
6．若1?i是实系数方程x2?bx?c?0的一个根，则方程的另一个根为（ ）
Ａ．1?i Ｂ．?1?i Ｃ．?1?i Ｄ．i 答案：Ａ
·z2的最大值为（ ） 7．已知复数z1?cos??i，z2?sin??i，则z1 2
Ａ．3 Ｂ．22 Ｃ．62 Ｄ．3
答案：Ａ
8．已知m?R，若(m?mi)6??64i，则m等于（ ） Ａ．?2 Ｂ．? 答案：Ｂ
9．在复平面内???1?23i22 Ｃ．?2 Ｄ．4
对应的向量为OA，复数?2对应的向量为
）
3i
????????????OB．那么向量AB对应的复数是（
Ａ．1 答案：Ｄ
Ｂ．?1 Ｃ．3i Ｄ．?10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小；
②z1，z2，z3?C，若(z1?z2)2?(z2?z1)2?0，则z1?z3； ③若(x2?1)?(x2?3x?2)i是纯虚数，则实数x??1； ④z是虚数的一个充要条件是z?z?R；
⑤若a，b是两个相等的实数，则(a?b)?(a?b)i是纯虚数； ⑥z?R的一个充要条件是z?z．
3
Ａ．0 答案：Ｂ
Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
11．复数a?bi(a，b?R)等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．(a?b)2?1 Ｂ．a2?b2?1 Ｃ．a2?b2?1 Ｄ．(a?b)2?1 答案：Ｂ
12．复数z满足条件：2z?1?Ａ．圆 答案：Ａ
二、填空题 13．若复数象限角． 答案：一
14．复数
z?3?iz?co?s?s?i·niz?i，那么z对应的点的轨迹是（ ）
Ｄ．抛物线
Ｂ．椭 圆 Ｃ．双曲线
所对应的点在第四象限，则?为第
与它的共轭复数
z对应的两个向量的夹角
为 ．
4
答案：60°
15．已知z?2?i，则z3?4z2?5z?2? ． 答案：2
16．定义运算
答案：7?4i
55ab2?1?ad?bc，则符合条件?3?2i的复数z? cczzi ．
三、解答题
17．已知复数(x?2)?yi(x，y?R)的模为解：∵x?2?yi?3，
3，求y的最大值． x0)为圆心， ∴(x?2)2?y2?3，故(x，y)在以C(2，3为半径的圆上，y表示圆上的点(x，y)与原点连线x的斜率．
如图，由平面几何知识，易知y的最大值为x3．
1 8．已知z?1?i，a，b为实数． （1）若??z2?3z?4，求?；
5
z2?az?b（2）若2?1?i，求a，b的值．
z?z?1解：（1）??(1?i)2?3(1?i)?4??1?i，
∴??2；
（2）由条件，得(a?b)?(a?2)i?1?i，
i∴(a?b)?(a?2)i?1?i，
，a??1，?a?b?1解得? ∴??a?2?1，b?2．??
19．已知z1?x2?x2?1i，z2?(x2?a)i，对于任意x?R，均有z1?z2成立，
试求实数a的取值范围． 解：∵z1?z2，
∴x4?x2?1?(x2?a)2，
∴(1?2a)x2?(1?a2)?0对x?R恒成立．
当1?2a?0，即a?1时，不等式成立；
2当1?2a?0时，??2??1?2a?0，2??4(1?2a)(1?a)?0??1?a?1 21?，?． 综上，a????1
20．已知??z?i(z?C)，z?2是纯虚数，又??12???12?16，求?．
z?2解：设设z?a?bi(a，b?R)
z?2(a?2)?bi(a2?b2?4)?4bi∴??z?2(a?2)?bi(a?2)2?b2．
6
∵z?2为纯虚数， z?2?a2?b2?4?0， ∴?b?0．?∴??1???1?(a?1)?(b?1)i?(a?1)?(b?1)i?(a?1)2?(b?1)2?(a?1)2?(b?1)2 ?2(a2?b2)?4b?4 ?8?4b?4 ?12?4b．
∴12?4b?16．∴b?1．
2222
把b?1代入a2?b2?4，解得a??∴z??3?i． ∴???3?2i．
3．
(1?i)3(a?bi)z21．复数z?且z?4，z对应的点在第一象限内，若复数0，z，1?i对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
(1?i)2·(1?i)解：z?(a?bi)?2··ii(a?bi)??2a?2bi，
1?i由z?4，得a2?b2?4． ①
∵复数0，z，z对应的点是正三角形的三个顶点， ，
?1．
∴z?z?z把z??2a?2bi代入化简，得b ②
又∵Z点在第一象限内，∴a?0，b?0．
a??由①②，得??
?3， b??1．??7
故所求a??
3，b??1．
22．设设z是虚数??z?1是实数，且?1???2．
z（1）求z的值及z的实部的取值范围． （2）设??1?z，求证：?为纯虚数；
1?z（3）求???2的最小值．
（1）解：设z?a?bi，a，b?R，b?0， 则??a?bi?a??b?1???a?2?b????i． a?b2??a2?b2?a?bi?因为?是实数，b?0，所以a2?b2?1，即z于是??2a，即?1?2a?2，?1?a?1．
21??1?； 所以z的实部的取值范围是??，?1．
?2?1?z1?a?bi1?a2?b2?2bib????i． （2）证明：??1?z1?a?bi(1?a)2?b2a?11?1?，b?0，所以?为纯虚数； 因为a????，?2?2b21?a21?a?12?????2a??2a??2?(a?1)?3）解：?2a??2a?1?22??3 (a?1)(a?1)a?1a?1a?1??1??1?，所以a?1?0， 因为a???，?2?·2故???2≥2(a?1)·1?34?3?1． a?1当a?1?
1，即a?0时，???2取得最小值a?11．
8
复数的运算测试题
一、选择题
1．实数x，y满足(1?i)x?(1?i)y?2，则xy的值是（Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．—2 Ｄ．—1
答案：Ａ
2．复数z?icos?，???0，2π?的几何表示是（ ）Ａ．虚轴 Ｂ．虚轴除去原点
9
）
Ｃ．线段PQ，点P，Q的坐标分别为(0，，，1)(0?1) Ｄ．（Ｃ）中线段PQ，但应除去原点 答案：Ｃ
3．z?C，若M??z|(z?1)2?z?12?，则（
）
Ａ．M??实数? Ｂ．M??虚数? Ｃ．?实数?苘M?复数? Ｄ．M???? 答案：Ａ
4．已知复数z1?a?bi，z2??1?ai(a，b?R)，若z1?z2，则（ ）Ａ．b??1或b?1 Ｂ．?1?b?1 Ｃ．b?1 Ｄ．b?0 答案：Ｂ
5．已知复数z满足z2?2z?3?0的复数z的对应点的轨迹是（ Ａ．1个圆 Ｂ．线段 Ｃ．2个点 Ｄ ．2个圆
答案：Ａ
10
）
·i，则?1?2i的原象为（ ） 6．设复数z(z?C)在映射f下的象是zＡ．2?i Ｂ．2?i Ｃ．?2?i Ｄ．1?3i－ 答案：Ａ
7．设A，则复数z?(cotB?tanA)?(tanB?cotA)iB为锐角三角形的两个内角，对应的点位于复平面的（ ） Ａ．第一象限 四象限 答案：Ｂ
8．已知f(z?i)?z?2z?2i，则f(3?2i)?（ ） Ａ．9i Ｂ．9?3i Ｃ．?9i Ｄ．9?3i－ 答案：Ｂ
9．复数2?mi?A?Bi(m，A，B?R)，且A?B?0，则m?（ ）
1?2i Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第
Ａ．
2 Ｂ．2 Ｃ．?2 Ｄ．2
33答案：Ｃ
10．(3?2i)?(1?i)表示（ ）
11
2)与点(11)，之间的距离 Ａ．点(3，2)与点(?1，?1)之间的距离 Ｂ．点(3，2)与原点的距离 Ｃ．点(3，1)之间的距离 ，与点(2，Ｄ．点(31) 答案：Ａ
11．已知z?C，z?2?1，则z?2?5i的最大值和最小值分别是（ ） Ａ．Ｃ．5 答案：Ａ
12．已知z1，z2?C，z1?z2Ａ．1 答案：Ｄ
二、填空题
z113．若f(z)?1?z(z?C)，已知z1?2?3i，z2?5?i，则f? ???? ．
?z2???41?1和41?1 2和34 Ｂ．3和1
39和 Ｄ．3
?22，z1?3，z2?2，则z1?z2?（
2 ）
Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．2
12
答案：19?17i
2626
14．“复数z?R”是“1?1”的 ．
z
z
答案：必要条件，但不是充分条件
15．A，B分别是复数z1，z2在复平面上对应的两点，O为原点，若
z1?z2?z1?z2，则△AOB为 ．
答案：直角
16．若n是整数，则(1?i)n·(1?i)6?n? ．
答案：?8或?8i
三、解答题
17．已知复数3z?z对应的点落在射线y??x(x≤0)上，z?1?z．
求复数2，解：设z?a?bi(a，b?R)，则3z?z?3a?3bi?a?bi?2a?4bi，
?4b
??1，
由题意得? ?2a
??b?0，
①
②
又由z?1?2，得(a?1)2?b2?2，
13
由①，②解得??a??2，∴z??2?i． b?1，?1m?6??i??(8m?15)i?．
m?5?m?5?18．实数 为何值时，复数z?m2??（1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数； （4）对应点在第二象限．
m2?m?6解：z??(m2?8m?15)im?5
（1）z为实数?m2?8m?15?0且m?5?0，解得m??3；
?m2?8m?15?0，（2）z为虚数??
m?5?0，?解得m??3且m??5；
?m2?m?6?0，（3）z为纯虚数?? ?m?5?m2?8m?15?0，?解得m?2；
?m2?m?6?0，（4）z对应的点在第二象限?? ?m?5?m2?8m?15?0，?解得m??5或?3?m?2．
19．设O为坐标原点，已知向量OZ1，OZ2分别对应复数z1，z2，且
z1?32若z1?z2可以与任意实数比较?(10?a2)i，z2??(2a?5)i，a?R．
a?51?a14
??????????
大小，求OZ1，OZ2的值． 解：z1?332?(10?a2)i，则z1?z2???[(a3?10)?(2a?5)]i的虚部为a?5a?51?a??????????0，
∴a2?2a?15?0．
解得a??5或a?3． 又∵a?5?0，∴a?3．
??????3??????3OZ?，1z??1?i则z1??i，2，1??，OZ2?(?11)，．
8?8???????????5∴OZ1·OZ2?．
8
20．已知z是复数，z?2i与
z均为实数，且复数(z?ai)2在复平面上对2?i应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解：设z?x?yi(x，y?R)，z?2i?x?(y?2)i为实数，∴y??2．
zx?2i11??(2x?2)?(x?4)i为实数， 2?i2?i55∴x?4，则z?4?2i．
∵(z?ai)2?(12?4a?a2)?8(a?2)i在第一象限， ?12?4a?a2?0，解得2?a?6． ∴??8(a?2)?0，
21．已知关于x的方程x2?(6?i)x?9?ai?0(a?R)有实数根b． （1）求实数a，b的值； （2）若复数z满足z?a?bi
?2z，求z为何值时，z有最小值并求出最
15
小值．
解：（1）（1）将b代入题设方程，整理得(b2?6b?9)?(a?b)i?0， 则b2?6b?9?0且a?b?0，解得a?b?3；
（2）设z?x?yi(x，y?R)，则(x?3)2?(y?3)2?4(x2?y2)， 即(x?1)2?(y?1)2?8．
∴点Z在以(?11)，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，z?1?i时，zmin?2．
16
小值．
解：（1）（1）将b代入题设方程，整理得(b2?6b?9)?(a?b)i?0， 则b2?6b?9?0且a?b?0，解得a?b?3；
（2）设z?x?yi(x，y?R)，则(x?3)2?(y?3)2?4(x2?y2)， 即(x?1)2?(y?1)2?8．
∴点Z在以(?11)，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，z?1?i时，zmin?2．
16
