2014年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国卷Ⅱ）
6月7日15：00-17：00
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
姓名______________________ 准考证号__________________________________ 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
（1）设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝（ ）
（A）{1} （ ）
（A）-5 （A）1
（B）5
（C）-4＋i
（D）-4-i （D）5
（3）设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a-b|＝6，则a·b＝（ ）
（B）2
（C）3
1
（4）钝角三角形ABC的面积是2，AB＝1，BC＝2，则AC＝（ ）
（A）5
（B）5
（C）2
（D）1
（5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两
天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） （A）0.8
（B）0.75 （C）0.6
（D）0.45
（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零
件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
（B）{2}
（C）{0,1}
（D）{1,2}
（2）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝
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17（A）27 5
（B）9 10（C）27 1（D）3
（7）执行右图程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
是MM＝kx S＝M＋S k＝k＋1 结 束 k≤t 否 输出S
开 始 输入M＝1,S＝k＝1 （8）设曲线y＝ax-ln(x＋1)在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（ ）
（A）0
（B）1 （C）2 （D）3
?x?y?7≤0?（9）设x，y满足约束条件?x?3y?1≤0，则z＝2x－y的最大值为（ ）
?3x?y?5≥0?（A）10 （B）8 （C）3 （D）2
（10）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两
点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ） 33（A）4 93639（B）8 （C）32 （D）4 （11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC
＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ） 1（A）10
2（B）5
30
（C）10
2
（D）2 πx
（12）设函数f(x)＝3sin m．若存在f(x)的极值点x0满足x02＋[f(x0)]2＜m2，则m
的取值范围是（ ）
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（A）(－∞，－6)∪(6，＋∞) （C）(－∞，－2)∪(2，＋∞)
（B）(－∞，－4)∪(4，＋∞) （D）(－∞，－1)∪(1，＋∞)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝_________．（用数字填写答案） （14）函数f(x)＝sin(x＋2φ)-2sinφcos(x＋φ)的最大值为_________．
（15）已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0．若f(x-1)＞0，则x的取值范
围是_________．
（16）设点M（x0，1），若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则
x0的取值范围是_________．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1．
1
（Ⅰ）证明{an＋2}是等比数列，并求{an}的通项公式； 1113
（Ⅱ）证明：a＋a＋…＋a＜2．
1
2
n
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（18）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD的体积．
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B
C
A E
D
P
（19）（本小题满分12分）
某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表： 年份 年份代号t 人均纯收入y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 （Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
?b???ti?1ni?ti??yi?y??t??ti?1n?2?． ??y?bt，a
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（20）（本小题满分12分）
x2y2
设F1，F2分别是椭圆C：a2＋b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．
3
（Ⅰ）若直线MN的斜率为4，求C的离心率；
（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b．
（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝ex-e-x-2x． （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）设g(x)＝ f(2x)-4bf(x)，当x＞0时，g(x)＞0，求b的最大值； （Ⅲ）已知1.4142＜2＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
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请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲
如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．证明：
（Ⅰ）BE＝EC； （Ⅱ）AD·DE＝2PB2．
（23）（本小题满分10）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的π
极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，2]．
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．
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P B E D C A O （24）（本小题满分10）选修4—5：不等式选讲
1
设函数f(x)＝|x＋a|＋| x-a|（a＞0）． （Ⅰ）证明：f(x)≥2；
（Ⅱ）若f(3)＜5，求a的取值范围．
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国
卷II）理科数学试题参考答案
一、选择题
（1）D ∵N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，
∴M∩N＝{1，2}，故选：D．
z1＝2＋i对应的点的坐标为（2，1）， （2）A
∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称， ∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（－2，1）， 则对应的复数，z2＝－2＋i，
则z1z2＝（2＋i）（－2＋i）＝i2－4＝－1－4＝－5，故选：A．
（3）A ∵|a＋b|＝10，|a－b|＝6，
∴分别平方得a2＋2a?b＋b2＝10，a2－2a?b＋b2＝6， 两式相减得4a?b＝10－6＝4，即a?b＝1，故选：A． （4）B
1
∵钝角三角形ABC的面积是2，AB＝c＝1，BC＝a＝2， 112∴S＝2ac sinB＝2，即sinB＝2，
2
①当B为钝角时，cosB＝－1－sinB＝－2，
2利用余弦定理得：AC2＝AB2＋BC2－2AB?BC?cosB＝1＋2＋2＝5，即AC＝
5，
2
②当B为锐角时，cosB＝－1－sinB＝2，
2利用余弦定理得：AC2＝AB2＋BC2－2AB?BC?cosB＝1＋2－2＝1，即AC＝1， 此时AB2＋AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则AC＝5．故选：B．
（5）A 设随后一天的空气质量为优良的概率为P，
则有题意可得0.75×P＝0.6，解得P＝0.8，故选：A．
（6）C 几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是
底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π?2＋22π?4＝34π．
底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6＝54π．
切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：
54??34?10＝．故选：C． 54?27第 9 页 共 9 页
（7）D
若x＝t＝2，则第一次循环，1≤2成立，则M＝×2＝2，S＝2＋3＝5，
2211k＝2，第二次循环，2≤2成立，则M＝×2＝2，S＝2＋5＝7，k＝3，此时3≤2不成立，输出S＝7，故选：D． （8）D
y′＝a?
1，∴y′(0)＝a－1＝2，∴a＝3．故答案选D． x?1（9）B 作出不等式组对应的平面区域如阴影部分ABC．
由z＝2x－y得y＝2x－z，平移直线y＝2x－z， 由图象可知当直线y＝2x－z经过点C时， 直线y＝2x－z的截距最小，此时z最大．
由??x?y?7＝0?x＝5，解得?，
x?3y?1＝0y＝2??即C（5，2），代入目标函数z＝2x－y， 得z＝2×5－2＝8．故选：B．
（10）D
∵直线AB：y=?33(x?)， 34代入抛物线方程可得4y2－123y－9＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则所求三角形面积S＝××(y1?y2)?4y1y2=，故选：D．
（11）C 以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立空间向量坐标系，
则设CA＝CB＝1，
则B（0，1，0），M（，，1），A（1，0，0），N（，0，1）， ∴BM=（，－，1），AN=（－，0，1），
??????????????????BM?AN??????∴cosBM,AN?????|BM|?|AN|?????1234941212121212????123465?22?30，故选：C． 10第 10 页 共 10 页
（12）C
2∵f?x?的极值为?3，
∴??f?x0????3， ∵f'(x0)?∴∴
2?m?3cos?x0m?0，
?x0m?k???2,k?z，
x0x111m?k?,k?z即|0|?|k?|?，∴|x0|?||，即 m2m22222m22fx?3，而已知x02???x0?[f(x0)]???0??m， ?4m23m2?3，故?3，解得m?2或m??2，故选：C． ∴m?442
二、选择题
（13） （14）1
三、填空题
（17）（Ⅰ）由an?1＝3an＋1得an?1＋＝3(an＋)。
又a1?1331???，所以?an??是首项为，公比为3的等比数列。 2222??121212 （15）（－1，3） （16）[－1，1]
13n3n?1an??，因此?an?的通项公式为an?。
22212（Ⅱ）由（Ⅰ）知?n
an3?1因为当n?1时，3n?1?2?3n?1，所以于是所以
11?。 3n?12?3n?113111113??...??1??...?n?1?(1?n)＜。
32a1a2an3321113＋＋…＋＜。 a1a2an2（18）（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连结EO。 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。 又E为PD的中点，所以EO∥PB。
EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC。
（Ⅱ）因为PA?平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB、AD、AP两两垂直。
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????????如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AP为单位长，建立????13空间直角坐标系A?xyz，则D（0，3，0），E（0，，），AE＝（0，
2213，）。 22????设B（m，0，0）（m＞0），则C（m，3，0），AC＝（m，3，0）。
??????n?AC?0设n1＝（x，y，z）为平面ACE的法向量，则?1???，即???n1?AE?0?mx?3y?03?，可取＝（，n?311my?z?0??22z P －1，3）。 E 又n2＝（1，0，0）为平面由题设cosn1,n2?1，即2A B x O C DAE的法向量，D y 3。 231，解得?23?4m2m?因为E为PD的中点，所以三棱锥E?ACD的高为
11313积V＝??3???。
32228
1。三菱锥E?ACD的体2（19）（Ⅰ）由所给数据计算得
t?y?
71(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4 71
(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3 7
1?(tt?17?t)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28 ?t)(y1?y)
?(tt?11＝(?3)×(?1.4)＋(?2)×(?1)＋(?1)×(?0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6
＝14，
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??b?(tt?171?t)(y1?y)?1?(tt?17?t)214?0.5， 28??y?bt??4.3?0.5?4?2.3。 a所求回归方程为
?y?0.5t?2.3。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b＝0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。
将2015年的年份代号t＝9带入（I）中的回归方程，得
?y?0.5?9?2.3?6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元。
（20）
b2（Ⅰ）根据c?a?b及题设知M（c，），2b2?3ac。
ac1c将b2?a2?c2代入2b2?3ac，解得?，??2（舍去）。
aa222故C的离心率为
1。 2（Ⅱ）由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点
b2D（0，2）是线段MF1的中点，故?4，即
ab2?4a①
由MN?5F1N得DF1?2F1N。 设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则
3??2(?c?x1)?c?x1??c,，即?2 ??2y?2?1??y1??19c21代入C的方程，得2?2?1。
4ab9(a2?4a)1??1， 将①及c?a?b代入②得4a24a解得a?7，b2?4a?28，
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22
故a?7，b?27。
（21）
（Ⅰ）f'(x)＝ex?e?x?2?0，等号仅当x?0时成立。
所以f(x)在（－∞，＋∞）单调递增。
（Ⅱ）g(x)＝f(2x)?4bf(x)?e2x?e?2x?4b(ex?e?x)?(8b?4)x
2x?2xx?xe?e?2b(e?e)?(4b?2)?g'(x)＝2???
＝2(ex?e?x?2)(ex?e?x?2b?2)
（i）当b?2时，g'(x)≥0，等号仅当x?0时成立，所以g(x)在（－∞，＋∞）单调递增。而g(0)＝0，所以对任意x＞0，g(x)＞0；
（ii）当b＞2时，若x满足2＜ex＋e?x＜2b－2，即0＜x＜ln(b－1＋
b2?2b)时，
g'(x)＜0。而g(0)＝0，因此当0＜x＜ln(b－1＋b2?2b)时，g(x)＜0。
综上，b的最大值为2。 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，g(ln2)?当b＝2时，g(ln2)?当b?3?22b?2(2b?1)ln2。 2382?3?42?6ln2＞0；ln2＞＞0.6928； 21232?1时，ln(b?1?b2?2b)?ln2， 43g(ln2)＝??22?(32?2)ln2＜0，
218?2＜0.6934， 28所以ln2的近似值为0.693。
ln2＜
（22）
（Ⅰ）连结AB，AC。由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA。
因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA ∠PAD＝∠BAD＋∠PAB ∠DCA＝∠PAB，
︵︵
所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC。 因此BE＝EC。
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A O D B E
C P （Ⅱ）由切割线定理得PA2＝PB·PC。
因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB。
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC， 所以AD·DE＝2PB2。
（23）
（Ⅰ）C的普通方程为(x?1)2?y2?1(0?y?1)。
?x?1?cost可得C的参数方程为?（t为参数，0?t?x）。
y?sint?（Ⅱ）设D（1＋cos t，sin t）。由（Ⅰ）知C是以G（1，0）为圆心，1为半径的上半圆。
因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同，
tant?3，t??。 3故D的直角坐标为（1?cos （24）
（Ⅰ）由a＞0，有f(x)?x?所以f(x)≥2。 （Ⅱ）f(3)?3??3，sin?33），即（，）。 322111?x?a?x??(x?a)??a?2。 aaa1?3?a。 a15?21，由f(3)＜5得3＜a＜。 a2当时a＞3时，f(3)＝a?11?5当0＜a≤3时，f(3)＝6?a?，由f(3)＜5得＜a≤3。
a2综上，a的取值范围是（
1?55?21，）。 22第 15 页 共 15 页
