2014-2015学年湖北省黄冈市黄梅一中高一（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大学科王题共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）下列各命题正确的是（） A． 终边相同的角一定相等 B． 若α是第四象限的角，则π﹣α在第三象限 C． 若||=||，则=
D． 若α∈（0，π），则sinα＞cosα
2．（5分）已知 A． ﹣或﹣
3．（5分）在单位圆上，点P从（0，1）出发，沿单位圆x+y=1顺时针方向运动达Q点，则Q 点的坐标为（） A． （﹣，
4．（5分）下列三角函数：①sin（kπ+π﹣
]⑤sin[（2k+1）π﹣
）②cos（2kπ+
）③sin（kπ+
）④cos[（2k+1）
）
B． （
，﹣）
C． （，﹣
）
D．（﹣
，﹣）
2
2
，则tanα的值为（）
B． 或
C． ﹣
D．﹣
弧长到
]（k∈z）其中函数值与sin
C． ②⑤
﹣2x）×sin（
的值相同的是（）
D．③⑤
A． ②③④
B． ①⑤
5．（5分）若函数f（x）=sin（ A．
B． π
+2x），则f（x）的最小正周期是（）
D．
C． 2π
6．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）+ A． φ=2kπ﹣
，k∈Z B． φ=kπ﹣
cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）
，k∈Z D．φ=kπ﹣
，k∈Z
，k∈Z C． φ=2kπ﹣
7．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）
A． y=2sin（2x+
8．（5分）设曲线f（x）=acosx+bsinx的一条对称轴为对称点为（） A．
B．
C．
D．
，则曲线
的一个
） B． y=2sin（2x+
） C． y=2sin（﹣
） D．y=2sin（2x﹣
）
9．（5分）△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P（sinA﹣cosB，cosA﹣sinC），则y= A． 1
B． ﹣1
2
的值为（）
C． 3
D．﹣3
]上的最大值是1，则满足条件的
10．（5分）若函数y=sinx+m?cosx+m﹣在闭区间[0，m值为（） A． 或 C． 或
或
B． D．
或
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 11．（5分）若θ∈[0，π）且cosθ（sinθ+cosθ）=1，则θ=．
12．（5分）
13．（5分）关于x的方程x+x?sin2θ﹣sinθ?cotθ=0的两根为α、β且0＜θ＜2π，若数列1，（
14．（5分）若
+
+
=且|
|=|
|=1，|
|=
，则△ABC的面积是．
+
），（
+
）的前2008项和为0，则θ的值为．
2…
2
的值等于．
15．（5分）关于函数f（x）=sin（2x+）（x∈R）有下列命题：
个单位，可得到函数y=cos2x的图象；
①把函数f（x）的图象沿水平方向右平移②函数f（x）的图象关于点（
，0）对称；
）的图象；
③把函数f（x）的图象上每个点的横坐标缩小到原来的，得到函数y=sin（x+④函数f（x）的图象关于直线x=﹣
对称．
其中正确命题的序号是．
三、解答题（12分+12分+12分+12分+13分+14分=75分） 16．（12分）已知α、β∈（0，
17．（12分）已知A、B、C为△ABC三内角，且sinA=（1）求角A； （2）若
18．（12分）已知θ∈（π，（1）求cosθ； （2）若f（x）=区间．
19．（12分）已知函数
（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值； （2）求使函数的ω的最大值．
20．（13分）若函数f（x）=Asin（ωx+
）+b（A＞0，ω＞0）的最小正周期为
，在一个
（ω＞0）在区间
上是增函数．
sinθ?cosx﹣4
2
），3sinβ=sin（2α+β），4tan=1﹣tan
2
．求α+β的值．
（1+cosA）；
=﹣3，求tanC的值．
），sinθ﹣（
2
﹣）sinθ?cosθ﹣5cosθ=0．
2
cosθ?sinx?cosx+，求f（x）的最小正周期及单调递减
周期内最大值和最小值之和为2，且方程f（x）=A的三个最小的不同正根按照从小到大的顺序恰好构成等比数列．
（1）试求函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）的图象向下平移一个单位，再向左平移个单位，得到函数y=g（x），试在
如图所给的直角坐标系中画出函数y=g（x）在一个周期内的图象．
21．（14分）已知函数f（x）=αsinx+αcosx+1﹣α（α∈R），x∈[0，
]，若定义在非零实数集
上的奇函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，且g（2）=0，是否存在实数α，使得g[f（x）]＜0恒成立？若成立，求出α的取值范围，若不存在，说明理由．
2014-2015学年湖北省黄冈市黄梅一中高一（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大学科王题共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）下列各命题正确的是（） A． 终边相同的角一定相等 B． 若α是第四象限的角，则π﹣α在第三象限 C． 若||=||，则=
D． 若α∈（0，π），则sinα＞cosα
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑．
分析： 利用终边相同的角的定义判断A的正误；通过角的变换判断B的正误；利用向量关系判断C的正误；利用特例判断D的正误；
解答： 解：对于A，终边相同的角一定相等，显然不正确，角相差2π的整数倍，故A错误． 对于B，若α是第四象限的角，∴﹣α是第一象限角，则由任意角的定义知，π﹣α是第三象限角．故B正确．
对于C，若||=||，则=，显然不正确，向量的方向不能确定，故C错误． 对于D，若α∈（0，π），则sinα＞cosα，不正确例如α=30°，sinα=，cosα=
，故D错误．
故选：B．
点评： 本题考查命题的真假的判断，考查三角函数的基本知识，向量的模的运算，基本知识的考查．
2．（5分）已知 A． ﹣或﹣
B． 或
，则tanα的值为（）
C． ﹣
D．﹣
考点： 三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系． 专题： 计算题．
分析： 通过sinα+cosα=，求出sinαcosα的值，再给式子添上一个分母1，把1变成角的正弦与余弦的平方和，分子和分母同除以余弦的平方，得到关于正切的方程，根据判断的角的范围求出结果．
解答： 解：∵sinα+cosα=， 所以2sinαcosα=﹣∴∴
2
，=﹣
，
∴12tanα+25tanα+12=0 根据得到的角的范围得到tan
故选C
点评： 本题考查三角函数的化简求值，正弦、余弦函数化为正切，即同角三角函数的基本关系式的应用，本题解题的关键是弦化切，本题是一个基础题．
3．（5分）在单位圆上，点P从（0，1）出发，沿单位圆x+y=1顺时针方向运动达Q点，则Q 点的坐标为（） A． （﹣，
）
B． （
，﹣）
C． （，﹣
）
D．（﹣
，﹣）
2
2
弧长到
考点： 任意角的三角函数的定义． 专题： 三角函数的求值．
分析： 直接利用任意角的三角函数的定义，求出Q点的坐标．
解答： 解：在单位圆上，点P从（0，1）出发，沿单位圆x+y=1顺时针方向运动到达Q点，
则Q点与x轴正方向的夹角为：Q点的坐标为（cos（﹣
），sin（﹣
=
．
，﹣）．
22
弧长
）），即（
故选：B．
点评： 本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．
4．（5分）下列三角函数：①sin（kπ+π﹣
]⑤sin[（2k+1）π﹣
）②cos（2kπ+）③sin（kπ+）④cos[（2k+1）
]（k∈z）其中函数值与sin的值相同的是（）
D．③⑤
A． ②③④ B． ①⑤ C． ②⑤
考点： 运用诱导公式化简求值． 专题： 三角函数的求值．
分析： 由条件利用诱导公式对各个式子进行化简，可得结论．
解答： 解：∵①sin（kπ+②cos（2kπ+③sin（kπ+
）=cos）=±sin
=sin
）=sin[（k+1）π+，满足条件．
]=±sin，不满足条件．
，不满足条件． ]=cos（π﹣]=sin（π﹣
）=cos）=sin
，故不满足条件． ，故满足条件，
④cos[（2k+1）π﹣⑤sin[（2k+1）π﹣
故选：C．
点评： 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．
5．（5分）若函数f（x）=sin（ A．
B． π
﹣2x）×sin（
+2x），则f（x）的最小正周期是（）
D．
C． 2π
考点： 三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 由条件利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数的解析式为f（x）=cos4x，从而求出它的最小正周期． 解答： 解：函数f（x）=sin（cos=
故函数的最小正周期为
sin2x]?[sin
cos2x+cos
﹣
=
，
﹣2x）×sin（sin2x]
=cos2x﹣sin2x=cos4x，
2
2
+2x）=[sincos2x﹣
故选：A．
点评： 本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，正弦函数的周期性，属于基础题．
6．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）+ A． φ=2kπ﹣
，k∈Z B． φ=kπ﹣
cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）
，k∈Z D．φ=kπ﹣
，k∈Z
，k∈Z C． φ=2kπ﹣
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 计算题．
分析： 先利用辅助角公式对函数化简可得，f（x）=sin（2x+φ）+
cos（2x+φ）=2sin
（2x+φ+），由函数的图象关于原点对称可知函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，
φ）=0，从而可求答案．
cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+
）的图象关于原点对称
f（0）=0代入可得sin（
解答： 解：∵f（x）=sin（2x+φ）+
∴函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0 ∴sin（∴∴φ=
φ）=0
φ=kπ
故选：D
点评： 本题主要考查了利用辅助角公式把不同名的三角函数化为y=Asin（x+）的形式，进而研究函数的性质；还考查了奇函数的性质（若奇函数的定义域内有0，则f（0）=0）的应用，灵活应用性质可以简化运算，减少运算量． 7．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）
A． y=2sin（2x+
） B． y=2sin（2x+
） C． y=2sin（﹣
） D．y=2sin（2x﹣
）
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
分析： 根据已知中函数y=Asin（ωx+?）在一个周期内的图象经过（﹣，2）和（﹣，
2），我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin（ωx+?）的解析式．
解答： 解：由已知可得函数y=Asin（ωx+?）的图象经过（﹣则A=2，T=π即ω=2
，2）点和（﹣
，2）
则函数的解析式可化为y=2sin（2x+?），将（﹣﹣
+?=
+2kπ，k∈Z， +2kπ，k∈Z，
，2）代入得
即φ=
当k=0时，φ=此时故选A
点评： 本题考查的知识点是由函数y=Asin（ωx+?）的部分图象确定其解析式，其中A=|最大值﹣最小值|，|ω|=
8．（5分）设曲线f（x）=acosx+bsinx的一条对称轴为对称点为（） A．
B．
C．
D．
，则曲线
的一个
，φ=L?ω（L是函数图象在一个周期内的第一点的向左平移量）．
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性． 专题： 计算题；转化思想．
分析： 由函数的解析式，求出函数的周期，求出函数的对称中心，利用函数的对称性以及
函数图象的平移，求出曲线
解答： 解：曲线f（x）=acosx+bsinx=
的一个对称点即可．
sin（x+θ），tanθ=，
，
所以函数的周期为：2π．因为曲线f（x）=acosx+bsinx的一条对称轴为所以函数的一个对称点为：（函数y=f（﹣x）的一个对称中心为（
），即（
），
）．
的图象可以由函数y=f（﹣x）的图象向右平移
所以曲线
的一个对称点为（
），即
单位得到的，
．
故选B．
点评： 本题是中档题，考查函数的周期，函数图象的对称性，图象的平移等知识，考查计算能力．
9．（5分）△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P（sinA﹣cosB，cosA﹣sinC），则y=
的值为（）
A． 1 B． ﹣1 C． 3 D．﹣3
考点： 任意角的三角函数的定义． 专题： 计算题．
分析： 由题意△ABC为锐角三角形，可知，sinA﹣cosB＞0，cosA﹣sinC＜0，推出θ的象限，确定三角函数的符号，然后求出表达式的值．
解答： 解：△ABC为锐角三角形，所以A+B＞是第二象限角， 所以y=
，所以sinA＞cosB，cosA＜sinC；所以θ
=1﹣1﹣1=﹣1
故选B
点评： 本题是基础题，考查锐角三角形的性质，角的终边与三角函数的符号，三角函数表达式的化简，考查计算能力，逻辑推理能力．
10．（5分）若函数y=sinx+m?cosx+m﹣在闭区间[0，m值为（） A． 或 C． 或
或
B． D．
或
2
]上的最大值是1，则满足条件的
考点： 三角函数的最值．
专题： 常规题型；三角函数的图像与性质．
22
分析： 利用平方关系式把sinx化成1﹣cosx，把函数看作关于cosx的二次函数问题来解决．
解答： 解：y=sinx+m?cosx+m﹣ =1﹣cosx+mcosx+∵
2
2
，∴0≤cosx≤1
2
y=﹣（cosx﹣）+①当ymax=②当
+
，即m≤0时， =1，得m=
（舍）；
，即0＜m≤2时，
ymax=
+=1，得a=﹣4（舍）或a=；
③当＞1，即m＞2时， ymax=m+∴m=．
故选D．
点评： 解决本题的关键是把三角函数的最值问题转化为二次函数的最值问题解决，要特别注意定义域及分类的方法．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 11．（5分）若θ∈[0，π）且cosθ（sinθ+cosθ）=1，则θ=0或
考点： 专题： 分析： 解答：
．
﹣=1，得m=
（舍）．
三角函数的恒等变换及化简求值．
计算题．
由cosθ（sinθ+cosθ）=1展开整理可得sinθ（cosθ﹣sinθ）=0，结合θ∈[0，π）可求θ 解：∵cosθ（sinθ+cosθ）=1
∴sinθcosθ+cosθ=1
22
∴sinθcosθ=1﹣cosθ=sinθ 即sinθ（cosθ﹣sinθ）=0 ∴sinθ=0或cosθ=sinθ ∵θ∈[0，π） ∴θ=0或故答案为：0或
2
点评： 本题主要 考查了三角的同角平方关系的应用，由三角函数值求解角，属于基础试题
12．（5分）
考点： 反三角函数的运用． 专题： 三角函数的求值．
的值等于﹣3．
分析： 利用反正弦、反余弦及反正切的概念及性质可求得arcsinarctan（﹣
）=﹣
，于是可得答案． =
，arccos（﹣）=
，arctan（﹣
=，arccos（﹣）=，
解答： 解：∵arcsin）=﹣，
∴==﹣3，
故答案为：﹣3．
点评： 本题考查反三角函数的应用，熟练掌握反正弦、反余弦及反正切的概念及性质是关键，属于中档题．
13．（5分）关于x的方程x+x?sin2θ﹣sinθ?cotθ=0的两根为α、β且0＜θ＜2π，若数列1，（
+
），（
+
）的前2008项和为0，则θ的值为
2…
2
或．
考点： 数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由根与系数关系得到α、β的和与积，求出（
+
2
+，得到数列数列1，（+），
）…为等比数列，由等比数列的求和公式求出其前2008项的和，由和为0求得sinθ
的值，结合θ的范围得答案．
2
解答： 解：∵方程x+x?sin2θ﹣sinθ?cotθ=0（其中0＜θ＜2π）的两实根为α、β，
2
∴△=sin2θ+4sinθ?cotθ≥0，
22
即sinθ?cosθ+cosθ≥0 ①
α+β=﹣sin2θ，αβ=﹣sinθ?cotθ=﹣cosθ，显然2sinθ≠1且2sinθ≠0，否则数列1，（∴数列1，（
+
），（
+
2
++
=），（
=+
2…
，
）的前2008项和不为0，
）…是首项为1，公比为2sinθ的等比数列，
则其前2008项的和为即（2sinθ）
2008
=0． ．
=1，2sinθ=﹣1，sinθ=
∵0＜θ＜2π， ∴验证故答案为：
或或或
．
时①成立， ．
点评： 本题考查根与系数的关系，具体涉及到三角函数的恒等变换和基本性质，考查了等比数列的前n项和，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，是中档题．
14．（5分）若++=且||=||=1，||=，则△ABC的面积是．
考点： 三角形的面积公式． 专题： 平面向量及应用．
分析： 由已知中++=且||=||=1，||=，可得⊥，
∠AOC=∠BOC=135°，故△ABC的面积S=OA?OB+OA?OCsin135°+OB?OCsin135°，代入可得答案． 解答： 解：∵∴
⊥
+
+
=且|
|=|
|=1，|
|=
，
，∠AOC=∠BOC=135°，
故△ABC的面积S=OA?OB+OA?OCsin135°+OB?OCsin135°=（1×1+2×1×2×sin135°）=， 故答案为：
点评： 本题考查的知识点是三角形面积，向量的加法及向量的模，其中根据已知分析出⊥
15．（5分）关于函数f（x）=sin（2x+
）（x∈R）有下列命题：
个单位，可得到函数y=cos2x的图象；
，∠AOC=∠BOC=135°，是解答的关键．
①把函数f（x）的图象沿水平方向右平移②函数f（x）的图象关于点（
，0）对称；
）的图象；
③把函数f（x）的图象上每个点的横坐标缩小到原来的，得到函数y=sin（x+④函数f（x）的图象关于直线x=﹣
对称．
其中正确命题的序号是④．
考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质；简易逻辑．
分析： 通过函数的图象的平移判断①的正误；利用函数的对称性判断②的正误；函数的图象的变换判断③的正误；函数的图象的对称性判断④的正误；
解答： 解：对于①，把函数f（x）的图象沿水平方向右平移（2x﹣
+
）=sin（2x+
个单位，可得到f（x）=sin
）的图象，所以推出函数y=cos2x的图象不正确；故①不正确．
对于②，因为f（故②不正确；
）=2sin（2×+）≠0，∴（，0）不是y=f（x）的一个对称中心，
对于③，把函数f（x）的图象上每个点的横坐标缩小到原来的，得到函数y=sin（x+图象；不是得到函数y=sin（x+对于④，当x=﹣的最大值，故x=
时，f（
）的图象，故③不正确． ）=2sin（﹣2×
+
）=﹣2sin（
）的
）=2，为y=f（x）
是y=f（x）的一条对称轴，故④正确．
故答案为：④．
点评： 本题考查命题的真假判断与应用，突出考查三角恒等变换及正弦函数的对称轴与三角函数的图象变换，属于中档题．
三、解答题（12分+12分+12分+12分+13分+14分=75分） 16．（12分）已知α、β∈（0，
），3sinβ=sin（2α+β），4tan
=1﹣tan
2
．求α+β的值．
考点： 两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 计算题．
分析： 从4tan=1﹣tan
2
．中解出tanα，利用配角法化简3sinβ=sin（2α+β），即将其中
的2α+β用（α+β）+α，β用（α+β）﹣α
代换，从而求出tan（α+β），利用三角函数值求解得α+β的值． 解答： 解：∵4tan
=1﹣tan
2
，
∴2?tanα=1，tanα=．
∵3sinβ=sin（2α+β），
∴3sinβ=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα． ∴3sin（α+β）cosα﹣3cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα． ∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα． ∴tan（α+β）=2tanα=1． ∴α+β=
．
点评： 角的变换是常用技巧．如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）﹣α等．三角变换中的角的变换，在本题中显得尤为突出，将单角化为复角，对字母角度的巧妙拼凑，使得问题顺利解决．
17．（12分）已知A、B、C为△ABC三内角，且sinA=（1）求角A；
（1+cosA）；
（2）若=﹣3，求tanC的值．
考点： 两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系． 专题： 计算题；三角函数的求值．
分析： （Ⅰ）利用两角差的正弦公式化成2sin（A﹣）=，进而求出A；
（Ⅱ）利用倍角公式及完全平方公式化简分子，利用平方差公式化简分母，求出tanB，由tanC=﹣tan（A+B），利用两角和的正切公式求解． 解答： 解：（1）由sinA=由两角差的正弦公式得：2∴sin（A﹣∴A=
）=
（1+cosA），得3sinA﹣sin（A﹣
）=
cosA=
（2）由=
=∴tanB=2
=
∴tanC=﹣tan（A+B）==．
点评： 解决本题的关键是对三角函数式的化简，在三角函数式化简时要注意选择恰当的公式，有目标的进行化简．第（2）问中注意弦函数的齐次式与切函数的转化．
18．（12分）已知θ∈（π，（1）求cosθ； （2）若f（x）=
sinθ?cosx﹣4
2
），sinθ﹣（
2
﹣）sinθ?cosθ﹣5cosθ=0．
2
cosθ?sinx?cosx+，求f（x）的最小正周期及单调递减
区间．
考点： 正弦函数的单调性． 专题： 三角函数的求值．
分析： （1）由题意利用三角函数的恒等变换求得tanθ的值，可得cosθ的值．
（2）（2）由（1）可得sinθ=﹣令2kπ+
≤2x﹣
≤2kπ+
，利用三角函数的恒等变换求得f（x）=sin（2x﹣ ），
，求得x的范围，可得函数的减区间．
解答： 解：（1）∵θ∈（π，tanθ﹣（求得tanθ=
2
），则由 sinθ﹣（=0，
2
﹣）sinθ?cosθ﹣5cosθ=0可得
2
﹣5）tanθ﹣5，或 tanθ=﹣
（舍去），∴cosθ=﹣． ，∴f（x）=
sinθ?cosx﹣4
2
（2）由（1）可得sinθ=﹣（﹣=
）cosx﹣4
22
cosθ?sinx?cosx+=?
?（﹣）sinxcosx+
）．
sinxcosx﹣cosx+=sin（2x﹣
=π． ≤2kπ+
故函数的周期为令2kπ+kπ+
≤2x﹣]，k∈z．
，求得 kπ+≤x≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ+，
点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的减区间，属于中档题．
19．（12分）已知函数
（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值； （2）求使函数
（ω＞0）在区间
上是增函数．
的ω的最大值．
考点： 正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数． 专题： 计算题．
分析： （1）由题意可得，代入g（x）可得
，利用诱导公式可求
（2）由可得
解答： 解：（1）由题设知称轴， 所以
，可求
=（ωx+）+，由题意
是函数y=f（x）图象的一条对
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
当k为偶数时，当k为奇数时，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）因为=
﹣﹣﹣（8分） 当因为所以
；
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
，
上是增函数，且ω＞0，
，
即
解得
所以ω的最大值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
点评： 本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式在三角函数化简 中的应用，正弦函数的对称性及单调性的应用，本题具有一定的综合性
20．（13分）若函数f（x）=Asin（ωx+
）+b（A＞0，ω＞0）的最小正周期为
，在一个
周期内最大值和最小值之和为2，且方程f（x）=A的三个最小的不同正根按照从小到大的顺序恰好构成等比数列．
（1）试求函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）的图象向下平移一个单位，再向左平移
个单位，得到函数y=g（x），试在
如图所给的直角坐标系中画出函数y=g（x）在一个周期内的图象．
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： （1）根据函数f（x）=Asin（ωx+）+b（A＞0，ω＞0）的最小正周期为，可得
ω=4，由在一个周期内最大值和最小值之和为2，可得b=1，由方程f（x）=A的三个最小的不同正根按照从小到大的顺序恰好构成等比数列，可设f（x）=A可设三个最小正根依次为a，aq，aq（其中a＞0，q＞0）解出a值后代入f（x）=A可得A的值，进而得到函数的解析式；
2
（2）将f（x）=cos4x+1的图象向下平移一个单位，再向左平移=cos（4x+象．
解答： 解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+∴ω=
=4，
个单位，得到函数y=g（x）
）的图象，结合余弦函数的图象和性质可得：函数y=g（x）在一个周期内的图
）+b（A＞0，ω＞0）的最小正周期为，
又∵在一个周期内最大值和最小值之和为2， ∴b=1（2分） ∴f（x）=Asin（4x+
）+1=Acos4x+1（3分）
∵方程f（x）=A的三个最小的不同正根按照从小到大的顺序恰好构成等比数列．
2
∴f（x）=A可设三个最小正根依次为a，aq，aq（其中a＞0，q＞0）
则有，
解得：a=将a=Acos
，q=2（5分）
代入f（x）=A可得： +1=A，即
A+1=A，
解得：A=，
∴f（x）=cos4x+1；（7分）
（2）将f（x）=cos4x+1的图象向下平移一个单位，再向左平移得到函数y=g（x）=cos4（x+
）=cos（4x+
个单位，
）的图象，（9分）
函数y=g（x）在一个周期内的图象如下图所示：
（13分）
点评： 本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象画法，难度中档．
21．（14分）已知函数f（x）=αsinx+αcosx+1﹣α（α∈R），x∈[0，]，若定义在非零实数集
上的奇函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，且g（2）=0，是否存在实数α，使得g[f（x）]＜0恒成立？若成立，求出α的取值范围，若不存在，说明理由．
考点： 函数恒成立问题．
专题： 综合题；探究型；分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用．
分析： 由题意，先将函数f（x）化简为f（x）=α[再换元，令t=
sin（x+
）﹣1，得出t∈[0，
sin（x+）﹣1]+1，x+∈[，]，
﹣1]，再由奇函数g（x）在（0，+∞）上是
增函数，且g（2）=0，将g[f（x）]＜0恒成立转化为f（x）＜﹣2或0＜f（x）＜2，然后分类讨论即可得出答案． 解答： 解：存在因为f（x）=α[
sin（x+
）﹣1]+1，x+
∈[
，符合题意，理由如下： ，
]，令t=
sin（x+
）﹣1，所以t∈[0，
﹣1]，（3分）
又奇函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，则在（﹣∞，0）上也为增函数，且g（2）=g（﹣2）=0，
所以由g（x）＜0得 x＜﹣2或0＜x＜2，
∴由g[f（x）]＜0得：f（x）＜﹣2或0＜f（x）＜2，（7分） 若f（x）＜﹣2，即αt+1＜﹣2，即αt＜﹣3，当t=0时不满足，当t≠0时，在[0，﹣1]上的值域为（﹣∞，﹣3（），故α不存在；
若0＜f（x）＜2，即0＜αt+1＜2，则当t=0时，0＜1＜2恒成立，a∈R；当t∈（0，则有
，所以有
，
综上得 ．（14分）
点评： 本题是个难题，恒成立问题常转化为最值问题解决，本题考查了分类讨论的思想，转化的思想及换元的技巧，综合性强，技巧性强，应在作答本题后好好体会本题解答的思路方法．
，则有
，所以
，而
﹣1]时，
