二次求导
【理·2010全国卷一第20题】已知函数f(x)?(x?1)lnx?x?1. （Ⅰ）若xf'(x)?x?ax?1，求a的取值范围； （Ⅱ）证明：(x?1)f(x)?0
先看第一问，首先由f(x)?(x?1)lnx?x?1可知函数f?x?的定义域为?0,???，易得
211f??x??lnx??x?1??1?lnx?
xx则由xf'(x)?x?ax?1可知x?lnx?2??1?2??x?ax?1，化简得 x?xlnx?x2?ax，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子x，而x又大于零，所以两边同
乘
1可得lnx?x?a，所以有a?lnx?x，在对g?x??lnx?x求导有 x1g??x???1，即当0＜x＜1时，g??x?＞0，g?x?在区间?0,1?上为增函数；当x?1时，g?x??0；
x当1＜x时，g??x?＜0，g?x?在区间?1,???上为减函数。
所以g?x?在x?1时有最大值，即g?x??lnx?x?g?1???1。又因为a?lnx?x，所以a??1。 应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。
要证(x?1)f(x)?0，只须证当0＜x?1时，f?x??0；当1＜x时，f?x?＞0即可。
11，但用f??x?去分析f?x?的单调性受阻。我们可以尝试再对f??x??lnx?xx111求导，可得f???x???2，显然当0＜x?1时，f???x??0；当1＜x时，f???x?＞0，即f??x??lnx?xxx由上知f??x??lnx?在区间?0,???上为减函数，所以有当0＜x?1时， f??x??f??1??1，我们通过二次求导分析f??x?的单调性，得出当0＜x?1时f??x??1，则f?x?在区间?0,1?上为增函数，即f?x??f?1??0，此时，则有(x?1)f(x)?0成立。
下面我们在接着分析当1＜x时的情况，同理，当1＜x时，f???x?＞0，即f??x?在区间?1,???上为增函数，则f??x??f??1??1，此时，f?x?为增函数，所以f?x??f?1??0，易得(x?1)f(x)?0也成立。
综上，(x?1)f(x)?0得证。 下面提供一个其他解法供参考比较。 解：（Ⅰ）f??x??lnx?21，则xf??x??xlnx?1 x题设xf'(x)?x?ax?1等价于lnx?x?a。 令g?x??lnx?x，则g??x??1?1。 x当0＜x＜1时，g??x?＞0；当x?1时，g??x??0，x?1是g?x?的最大值点，所以
g?x??g?1???1。
综上，a的取值范围是??1,???。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g?x??g?1???1，即lnx?x?1?0。 当0＜x＜1时，f?x??lnx??xlnx?x?1??lnx?x?lnx???1??1? x? ?lnx?x?ln??11???1??0 xx?因为x?1＜0，所以此时(x?1)f(x)?0。
当x?1时，f?x??lnx??xlnx?x?1??lnx?x?ln所以(x?1)f(x)?0
比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出。
不妨告诉同学们一个秘密：熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器！下面我们再看一道高考压轴题。
【理·2010全国卷三第21题】设函数f?x??e?1?x?ax。
x2??11???1??0。 xx?（Ⅰ）若a?0，求f?x?的单调区间；
（Ⅱ）若当x?0时，f?x??0。求a的取值范围。
第一问没有任何难度，通过求导数f??x?来分析f?x?的单调即可。
当a?0，f??x??ex?1，令f??x??0，得x?0；当x＜0时，f??x?＜0；当x＞0时，f??x?＞
0。所以f?x?在区间???,0?上为减函数，在区间?0,???上为增函数。
第二问，其实第一问算是个提示，即当a?0时，f?x?在区间?0,???上为增函数，故
f?x??f?0??0，显然满足题意。
下面我们分别分析a＜0和a＞0两种情况。
当a＜0时，在区间?0,???上显然?ax2?0，综上可得在区间?0,???上f?x??e?1?x?ax?0x2成立。故a＜0满足题意。
当a＞0时，f??x??e?1?2ax，f???x??e?2a，显然f?0??0，f??0??0，当f??x?在区间
xx?0,???上大于零时，f?x?为增函数，f?x??f?x??0，满足题意。而当f??x?在区间?0,???上为增
x函数时，f??x??f??0??0，也就是说，要求f???x?在区间?0,???上大于等于零，又因为f???x??e?2a在区间?0,???上为增函数，所以要求f???1??0，即e0?2a?0，解得a?综上所述，a的取值范围为???,?。
21。 2??1??通过上面两道压轴题，我们已经领略了二次求导在分析高考数学函数压轴题的威力。 再看看某些省市的函数题。
【理·2010安徽卷第17题】设a为实数，函数f?x??e?2x?2a,x?R。
x（Ⅰ）求f?x?的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当a＞ln2?1且x＞0时，ex＞x2?2ax?1。
第一问很常规，我们直接看第二问。首先要构造一个新函数g?x??e?x?2ax?1，如果这一着就想不
x2到，那没辙了。然后求导，结果见下表。
g??x??e?2x?2a，继续对g??x?求导得g???x??e?2
xx ?0,ln2? ln2 ?ln2,???
g???x? ? g??x? 减 0 ? 极小值 增 由上表可知g??x??g??ln2?，而
g??ln2??eln2?2ln2?2a?2?2ln2?2a?2?a?ln2?1?，由a＞ln2?1知 g??ln2?＞0，所以g??x?＞0，即g?x?在区间?0,???上为增函数。
于是有g?x?＞g?0?，而g?0??e0?02?2a?0?1?0， 故g?x?＞0，即当a＞ln2?1且x＞0时，ex＞x2?2ax?1。
2009辽宁理科
1f(x)=x2?ax??a?1?lnx，a?1
2(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性
已知函数
(Ⅱ)证明：若a?5，则对任意x1,x2??0,???，x1?x2，有
f(x1)?f(x2)??1
x1?x2解析：根的大小不确定；利用结论证明不等式 (Ⅰ)
f(x)的定义域为?0,???
a?1x2?ax?a?1(x?1)(x?1?a) f'(x)?x?a???xxx（1）若a?1?1，即a?2时
(x?1)2f'(x)??0
x此时
f(x)在(0,??)单调增加
（2）若a?1?1，即a?2时，
x f'(x) 1? ?0，+ 1 0 ?1，a?1? — a?1 0 ??? ?a?1，+
f(x) 所以，
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ???内单调递增；在?1，a?1?内单调递减 1?，?a?1，f(x)在?0，（3）若a?1?1，即1?a?2时
x f'(x) f(x) 所以，
?0,a?1? + ↗ a?1 0 极大值 ，?a?11? — ↘ 1 0 极小值 ??? ?1，+ ↗ ，???内单调递增；在?a?11f(x)在?0,a?1?，?1，?内单调递减
g(x)?f(x)?x?12x?ax?(a?1)lnx?x 2(Ⅱ)考虑函数
则g?(x)?x?(a?1)?a?1a?1?2x??(a?1)?1?(a?1?1)2 xx由于1?a?5，故g?(x)?0，即g(x)在(0, +∞)单调增加 不妨设x1?x2?0时，则g(x1)?g(x2)?0，即f(x1)?f(x2)?x1?x2?0
所以
f(x1)?f(x2)??1
x1?x2
2010天津文科 已知函数
f(x)?ax3?32x?1?x?R?，其中a?0 2(Ⅰ)若a?1，求曲线
y?f(x)在点?2,f?2??处的切线方程；
(Ⅱ)若在区间
?11?上，fx?0恒成立，求a的取值范围 ?,????22??解析：根的范围不确定；不等式恒成立 (Ⅰ)当a?1时，
f(x)?x3?32x?1，则f(2)?3； 2f'(x)?3x2?3x，则f'(2)?6
所以(Ⅱ)
y?f(x)在点?2,f?2??处的切线方程为y?3?6?x?2?，即y?6x?9
f'(x)?3ax2?3x?3x?ax?1?
令
f'(x)?0，解得：x1?0；x2?1a
x f'(x) 0? ???，+ ↗ 0 ?1? ?0，??a?— ↘ 1 a0 极小值 ?1???? ?，?a?+ ↗ 0 极大值 f(x) （1）若
11?，即0?a?2时 a211f(x)在(?，0)内单调递增；在(0,)内单调递减
22?11?时，?，???22?所以，当x?1?5?a??0f(?)?0???8?2，即? f(x)?0等价于??5?a?0?f(1)?0???2?8解得?5?a?5，所以0?a?2 （2）若0?11?，即a?2时 a21111?内单调递增；在f(x)在(?，0)，?(0,)内单调递减 ，??2aa2??所以，当x??11?时，
?，??22??1?5?a??0f(?)?0???8?2，即? f(x)?0等价于??1?1?0?f(1)?0???a?2a2，所以2?a?5
解得22?a?5或a??22综合（1）和（2），可知a的取值范围为0?a?5
2008浙江理科 已知a是实数，函数(Ⅰ)求函数
f(x)?x(x?a)
f(x)的单调区间
(Ⅱ)设g(a)为
2?上的最小值 f(x)在区间?0，(ⅰ)写出g(a)的表达式
（ⅱ）求a的取值范围，使得?6?解析：根的存在不确定 (Ⅰ)
g(a)??2
???， f(x)的定义域为?0，x?a3x?a??x?0? 2x2xf?(x)?0，
f?(x)?x?（1）若a?0时，则
???上单调递增 f(x)在区间?0，（2）若a?0时，令
f?(x)?0，得x?a 3x f'(x) ?a? ?0，??3?— ↘ a 30 极小值 ?a? ，+????3?+ ↗ f(x) 所以，
a??a?f(x)在??0，?内单调递减；在?，+??内单调递增
?3??3?(Ⅱ) (ⅰ)（1）当a?0时，所以g(a)2?上单调递增 f(x)在?0，?f(0)?0
（2）若
aa??a?内单调递增 ?2，即0?a?6时，f(x)在?0，?内单调递减；在?，2??3?3??3?2a?a??f????3?3?a 3所以g(a)（3）若
a2?上单调递减 ?2，即a≥6，f(x)在?0，3?f(2)?2(2?a)
所以g(a)?0??2aa综上所述，g(a)????33?2(2?a)?（ⅱ）令?6≤g(a)≤?2． 若a?0，无解；
，a≤0，0?a?6 ，a≥6
若0?a?6，解得3?a?6； 若a?6，解得6?a?2?32 所以，a的取值范围为3?a?2?32
2010全国Ⅱ文科 已知函数
f(x)?x3?3ax2?3x?1
f(x)的单调区间；
(Ⅰ)设a?2，求(Ⅱ)设
f(x)在区间?2,3?中至少有一个极值点，求a的取值范围
解析：根的存在不确定 (Ⅰ)当a?2时，
f(x)?x3?6x2?3x?1，f?(x)?3(x?2?3)(x?2?3)
x f'(x) ???,2?3? + ↗ 2?3 0 极大值 ?2?3,2?3— ↘ ? 2?3 0 极小值 ?2?3,??+ ↗ ? f(x) 所以，(Ⅱ)
f(x)在??,2?3??，?2?3,???内单调递增；在?2?3,2?3?内单调递减
22f?(x)?3??(x?a)?1?a??，
2（1）当1?a（2）当1?a因为
?0时，f?(x)?0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；
?0时，令f?(x)?0，解得x1?a?a2?1；x2?a?a2?1
2f(x)在区间?2,3?中至少有一个极值点，
所以2?a?a2?1?3，或2?a?a2?1?3
解得
5555??a?，所以a的取值范围是??，? 43?43?
2010天津理科 已知函数
f(x)?xe?x
f(x)的单调区间和极值
(Ⅰ)求函数
(Ⅱ)已知函数(Ⅲ)如果x1y?g(x)的图象与函数y?f(x)的图象关于直线x?1对称，证明：当x?1时，f(x)?g(x)
?x2，且f(x1)?f(x2)，证明：x1?x2?2
解析：不等式恒成立；利用结论证明不等式 (Ⅰ)
f'(x)??1?x?e?x
x f'(x) 1? ???，+ ↗ 1 0 极大值 ??? ?1，— ↘ f(x) 所以，
???内单调递减 1?内单调递增；在?1，f(x)在???，1为极大值 ef(1)?(Ⅱ)证明：由题意可知g令F?x??f?2?x???2?x?ex?2
?x??f?x??g?x??xe?x??2?x?ex?2
F'(x)??x?1??ex?2?e?x?
因为x?1时，x?1?0；e即Fx?2?e?x?0，所以F'(x)?0
?x?在?1,???单调递增
所以x?1时，F(Ⅲ)因为 所以
?x??F?1??0，即f(x)?g(x)
x1?x2，不妨设x1?x2由(Ⅰ)可知x1?1，x2?1
f?x1??f?x2??g?x2??f?2?x2?
因为x2
?1，2?x2?1，根据单调性x1?2?x2，即x1?x2?2
2011天津理科 已知a?0，函数(Ⅰ)求
f(x)?lnx?ax2 ，x?0（f(x)的图像连续不断）
f(x)的单调区间
(Ⅱ)当a?31时，证明：存在x0?(2,??)，使f(x0)?f()
28
(Ⅲ)若存在均属于区间
?1,3?的?,?，若????1，使f(?)?f(?)，证明：
ln3?ln2ln2 ?a?53解析：利用结论证明不等式
(Ⅰ)
11?2ax2f'(x)??2ax?x2?2a? ??0,2a????+ ↗ ，a?0，x?0
x f'(x) 2a2a0 ?2a? ??2a,??????— ↘ f(x) 极大值 ?2a??2a?上单调递增；在上单调递减 f(x)在?0,,?????2a??2a??????(Ⅱ)证明：当a由(Ⅰ)知
?112时，f(x)?lnx?x 88f?x?在?0,2?上单调递增；在?2,???上单调递减
3?? ?2?令g?x??f?x??f??因为
?3?f(x)在?0,2?上单调递增，所以f?2??f??，即g?2??0
?2?341?9e2取x'?e?2，则g?x'???0
322所以存在x0??2,x'???2,??，使g?x0??0
?3?f?? ?2?2a?? 2a即存在x0??2,???，使f?x0??(Ⅲ)证明：因为?又由?因为
??，由(Ⅰ)可知?????1，?,??[1,3]，知1???2???3
?ln2?4a??a?f(2)?f(?)?f(1)，即? f(?)?f(?)，所以??ln2?4a?ln3?9a?f(2)?f(?)?f(3)解得：
ln3?ln2ln2 ?a?53
2011全国课标-21 已知函数
f(x)?alnxb?，曲线y?f(x)在点?1,f?1??处的切线方程为x?2y?3?0 x?1x(Ⅰ)求a，b的值
(Ⅱ)如果当x?0，且x?1时，
f(x)?lnxk?，求k的取值范围 x?1x解析：不等式恒成立
?((Ⅰ)
f'(x)?x?1?lnx)bx?(x?1)2x2
由于直线x?2y?3?0的斜率为?1，且过点(1,1) 2?b?1?f(1)?1????1 1，即?a?b??f'(1)?????22?2解得a?1，b?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
f?x??lnx1? x?1xf(x)?lnxklnxk?，?x?0? ，等价于f(x)?(?)?0 x?1xx?1x?2xlnx?x2?1即?k，?x?0? 2x?1设g?x??h?x?2，其中hx??2xlnx?x?1??2 x?1则h'?x???2?lnx?x?1?
?0,1? ? 1 x ?1,??? ? h'?x? 0
h?x? ↗ 0 ↗ （1）0?x?1时，h?x??h?1??0，且x2?1?0
?g?x??h?x??0x2?1
（2）x?1时，h?x??h?1??0，且x2?1?0
?g?x??h?x??0x2?1
综上，当x?0时，g?x??0
?k????,0?
