维纳滤波器的设计与分析

课程（论文）题目：维纳滤波器的设计与分析 内容： 1 背景 在许多实际应用中，人们往往无法直接获得所需要的有用信号，能够观测到的是退化了或失真了的有用信号。为了从信号中提取或恢复原始信号，需要设计一种滤波器对其进行滤波，使它的输出尽可能逼近原始信号，成为最佳估计。所谓“最佳”，是以一定的准则来衡量的，包括：最大后验准则；最大似然准则；均方准则；线性均方准则。维纳滤波器就是最佳滤波器的典型代表之一，采用的是线性均方准则。滤波理论的发展对于信息科学的发展有着很大的贡献，几十年来滤波理论已经发展成了一个广阔的研究领域，本文主要讲述的就是维纳滤波器在信号处理方面的去噪功能。 2 算法原理 维纳滤波器是一个线性时不变系统，设其冲激响应为h(n)，输入为x(n)?s(n)?v(n)，则输出错误！未找到引用源。y(n)??h(m)x(n?m)，我们希望x(n)通过这个系统后得到的y(n)尽量接近于s(n)，因此称y(n)为s(n)的估值。按照最小均方误差准则，h(n)应满足正交方程：Rxs(m)??h(i)Rxx(m?i),?m。式中，Rxs(m)是s(n)与x(n)的互相关函数，Rxx(m)是x(n)的自相关函数，这就是著名的的维纳-霍夫方程。 本文采用最佳维纳滤波方法实现随机信号的维纳滤波。设h(n)为一因果序列，长度为N，同样利用最小均方误差准则，h(n)应满足：rxs?Rxxh，其中imh?[h(0),h(1),...,h(N?1)]T，rxs?E[s(n)x(n)]，Rxx?E[x(n)xT(n)]。当Rxx为满秩矩阵时，h?Rxxrxs。由此可见，利用有限长的h(n)实现维纳滤波器，只要已知Rxx和rxs，就可以按上式解得满足因果性的h。只要选择的N足够大，它就可以很好地逼近理想无限长的维纳滤波器。 ?13 算法实现 本文设计的FIR滤波器阶数为N，输入样本个数为L。利用生成的L个s(n)与x(n)估计Rxx和rxs，并检测生成的x(n)自相关函数和互相关函数，使用MATLAB软件绘制维纳滤波前后对比图，估计h(n)与理想h(n)对比图，理想维纳滤波与FIR维纳滤对比图，改变N和L观察滤波效果。程序流程图如下所示： ? N开始输入L,N估计Rxx和Rxs检测x(n)的自相关函数和互相关函数绘制各种比较图计算最小均方差结束图1 程序流程图 部分程序段如下所示： %得到一个符合要求的x(n)序列 while(1) wn = sqrt(sigma_a2)*( randn(L,1)); sn = filter(1, a_, wn); vn = randn(L,1); xn = sn + vn; r_xx = xcorr(xn,'unbiased'); r_xx_t = a.^abs([-K:K]);%r_xx_t 为自相关函数的理论值 r_xx_t(K+1)=r_xx_t(K+1)+1;%r_xx(L-K:L+K)为自相关函数的实际值 p = xcorr(sn,xn,'unbiased'); r_xs = p(L : L+K);%r_xs为互相关函数的实际值 rou_xx = sum((r_xx(L-K:L+K)-r_xx_t').^2)/sum(r_xx_t.^2); rou_xs = sum((r_xs-a.^[0:K]').^2)/sum(a.^[0:K].^2); if rou_xx < 0.03 && rou_xs < 0.01 break; end end %构造x(n)的N阶自相关矩阵R_xx n=0:N-1; for i=1:N for j=1:N R_xx(i,j)=r_xx(i-j+L); end end hopt=inv(R_xx)*r_xs(1:N);%利用维纳—霍夫方程求h hopt_t=0.2379*(0.7239).^n; %理想h 4 仿真结果 （1）图2和图3所示的是当N?11,L?1000时，维纳滤波前后x(n)和s(n)的比较图。显然，与s(n)相比，x(n)在维纳滤波前与s(n)相差很大，维纳滤波后较接近s(n)，可见滤波效果较好。图4为估计h(n)与理想h(n)的对比，二者近似程度很高。图5为FIR维纳滤波器的效果图，很难从图3和图5中比较出差异，只能通过二者最小均方差来比较，理想维纳滤波ei?0.2425,FIR维纳滤波ef?0.2423。可见，理想维纳滤波效果要好过FIR维纳滤波。 ?（2）固 （3） （4） （5） 图2 维纳滤波前x(n)和s(n) 图3 理想维纳滤波后x(n)和s(n) （6） （7） （8） （9） （10） 图4 估计h(n)与理想h(n) 图5 FIR维纳滤波后x(n)和s(n) ?21，观察N的大小对h(n)的估计和滤波效果的影响。 (3)固定L?5000，分别取N?4、当N?4时，ef?0.2386；当N?21时，ef?0.2465。显然，N越大，滤波效果越好。 ? 图6 N?4估计h(n)与理想h(n) 图7 N?4FIR维纳滤波后s(n)与x(n)? 图8 N?21估计h(n)与理想h(n) 图9 N?21FIR维纳滤波后s(n)与x(n)?? 50000，观察L的大小对h(n)的估计和滤波效果的影响。(3)固定N?11，分别取L?10000、当L?10000时，ef?0.2395；当L?50000时，ef?0.2465。从仿真结果可知，L越大，h(n)与h(n)越接近，精度越高，滤波效果越好。 ? 图10 L?10000估计h(n)与理想h(n) 图11 L?10000FIR维纳滤波后s(n)与x(n)? 图12 L?50000估计h(n)与理想h(n) 图13 L?50000FIR维纳滤波后s(n)与x(n)? 5 总结 从仿真结果可以看出，样本个数越大，参数精度越高。影响维纳滤波效果的因素包括样本个数L、FIR滤波阶数，且均成正比关系，L越大或者FIR滤波器的阶数越大则维纳滤波的效果越好。维纳滤波器的优点是适应面较广，无论平稳随机过程是连续的还是离散的，是标量的还是向量的，都可应用。对某些问题，还可求出滤波器传递函数的显式解，并进而采用由简单的物理元件组成的网络构成维纳滤波器。维纳滤波器的缺点是，要求得到半无限时间区间内的全部观察数据的条件很难满足，同时它也不能用于噪声为非平稳的随机过程的情况，对于向量情况应用也不方便。由于实现维纳滤波需要输入过程是广义平稳，而且输入过程的统计特性是已知的。然而，由于输入过程取决于外界的信号、干扰环境，这种环境的统计特性常常是未知的、变化的，因而难以满足上述两个要求，这就导致人们朝着自适应滤波器的方向研究。