肇庆市中小学教学质量评估 2013届高中毕业班第一次模拟试题
数 学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题
卡的密封线内.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式：锥体的体积公式V?1Sh其中S为锥体的底面积，h为锥体的高 3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的. 1．设i为虚数单位，复数z1?a?3i，z2?2?bi，其中a、b?R. 若z1?z2，则ab?
A．?1 B．5 C．?6 D．6
2．已知全集U?{?2,?1,0,1,2,3,4,5,6}，集合M={大于?2且小于5的整数}，则CUM?
A．? B．{6} C．{?2,6} D．{?2,5,6} 3．命题“?x∈R，2?1”的否定是
A．?x?R,2x?1 B．?x?R,2x?1 C．?x?R,2x?1 D．?x?R,2x?1
4．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的单位面积平均产量如下（单位：t/hm2），根据这组数据下列
说法正确的是 品种 甲 乙 第1年 9.8 9.4 第2年 9.9 10.3 第3年 10.1 10.8 第4年 10 9.7 第5年 10.2 9.8 xA．甲品种的样本平均数大于乙品种的样本平均数 B．甲品种的样本平均数小于乙品种的样本平均数 C. 甲品种的样本方差大于乙品种的样本方差 D. 甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差
- 1 -
5．已知等差数列{an}，满足a3?a9?8，则此数列的前11项的和S11?
A．44 B．33 C．22 D．11
6．平面上有三个点A（2，2）、M（1，3）、N（7，k），若向量AM与AN垂直，则k=
A．6 B．7 C．8 D．9 7．阅读如图1的程序框，并判断运行结果为
A．55 B．-55 C．5 D．-5
?x?y?2?8．设变量x,y满足?0?x?y?4，则z?3x?2y的最大值为
?0?y?3?A．1 B．9 C．11 D．13 9．△ABC中，AB?3,BC?13,AC?4，则△ABC的面积是
A．
3 2 B．33 C．3 D．33 210．设集合M??A0,A在M上定义运算“?”为：Ai?Aj?Ak，其中k为i?j1,A2,A3,A4,A5?，
被4除的余数，i,j?0,1,2,3,4,5．则满足关系式(a?a)?A2?A0的a(a?M)的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）
11．函数f(x)?1?x?lnx的定义域为__▲__.
12．若圆心在直线y?x上、半径为2的圆M与直线x?y?4相切，
则圆M的方程是__▲__.
13．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图2所示，则其表面积．．．
等于__▲__.
（ ） ▲
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆??2上的点到直线?cos??3sin??6的距离的最小值为__▲__. 15．（几何证明选讲选做题）如图3，D是⊙O的直径AB延长线上一点，PD是
⊙O的切线，P是切点，∠D =30°，AB?4,BD?2，则PA?__▲__.
??- 2 -
三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?sin(2x??3)?cos(2x??6)?2cos2x?1，x∈R．
（1）求函数f(x)的最小正周期； （2）求函数f(x)在区间[???,]上的最大值和最小值．
44 17．（本小题满分13分）
某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n人，回答问题统计结果如下图表所示：
（1）分别求出a，b，x，y的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各抽取多少人?
（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率． 18．（本小题满分13分）
如图4，PA垂直于⊙O所在平面ABC，AB为⊙O的直径，PA=AB=2，BF?1BP，C是弧AB的中点. 4（1）证明：BC?平面PAC； （2）证明：CF?BP；
（3）求四棱锥C—AOFP的体积.
- 3 -
19．（本小题满分14分）
已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1?1，nan?1?2Sn(n?N*). （1）求a2,a3,a4的值； （2）求数列{an}的通项an； （3）设数列{bn}满足bn? 20．（本小题满分14分）
已知圆C的方程为x?y?2x?7?0，圆心C关于原点对称的点为A，P是圆上任一点，线段AP的垂直平分线l交PC于点Q.
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹L方程； （2）过点B（1，
222，求数列{bn}的前n项和Tn.
(n?2)an1）能否作出直线l2，使l2与轨迹L交于M、N两点，且点B是线段MN的2中点，若这样的直线l2存在，请求出它的方程和M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分14分） ?x2?a(lnx?1)(0?x?e)?若f(x)??2，其中a?R． ??x?a(lnx?1)(x?e)2（1）当a??2时，求函数f(x)在区间[e,e]上的最大值； （2）当a?0时，若x??1,???，f(x)? 3a恒成立，求a的取值范围． 2- 4 -
肇庆市中小学教学质量评估 2013届高中毕业班第一次模拟试题
数 学（文科）参考答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 D 5 A 6 B 7 D 8 C 9 D 10 B 10B解析：设a?Ai，则(a?a)?A2?A0等价于2i?2被4除的余0，等价于i是奇数.故a可取
A1,A3,A5
二、填空题
11．(0,1] 12．(x?1)2?(y?1)2?2或(x?3)2?(y?3)2?2（对1个得3分，对2个得5分） 13．24?83 14．1 15．23 三、解答题
16．（本小题满分12分） 解：（1）f(x)?sin2xcos?336?sin2x?cos2x （4分） ?2sin(2x??cos2xsin??cos2xcos??sin2xsin?6?cos2x （3分）
?4) （5分） 2???. （6分） 2所以函数f(x)的最小正周期T?（2）因为f(x)在区间[?又f(???,]上是增函数，在区间[,]上是减函数， （8分） 4884???)??1，f()?2，f()?1， （11分）
484??故函数f(x)在区间[???,]上的最大值为2，最小值为-1. （12分）
44 17．（本小题满分13分）
解：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为再结合频率分布直方图可知n?5?10， 0.510?100. （1分）
0.01?10∴a=100×0.020×10×0.9=18， （2分） b=100×0.025×10×0.36=9， （3分）
- 5 -
27?0.9, （4分）
100?0.33y??0.2 （5分）
100?0.15x?（2）第2，3，4组中回答正确的共有54人．
∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：
18?6?2人, （6分） 5427?6?3人, （7分） 第3组：549?6?1人． （8分） 第4组：54第2组：
（3）设第2组的2人为A1、A2，第3组的3人为B1、B2、B2，第4组的1人为C1，则从6人中抽2人所有可能的结果有：?A?A1,B1?，?A1,B2?，?A1,B3?，?A1,C1?，?A2,B1?，?A2,B2?，1,A2?，
?A2,B3?，?A2,C1?，?B1,B2?，?B1,B3?，?B1,C1?，?B2,B3?，?B2,C1?，?B3,C1?，共15个基
本事件， （10分）
其中第2组至少有1人被抽中的有?A1,A2?，?A1,B2?，?A1,B3?，?A2,B1?，1,B1?，?A1,C1?，?A?A2,B2?，?A2,B3?，?A2,C1?这9个基本事件． （12分）
∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为 18．（本小题满分13分）
（1）证明：∵PA?平面ABC，BC?平面ABC， ∴BC?PA. （1分） ∵?ACB是直径所对的圆周角，
∴?ACB?90o，即BC?AC. （2分） 又∵PA?AC?A，∴BC?平面PAC. （3分） （2）证明：∵PA?平面ABC，OC?平面ABC， ∴OC?PA. （4分） ∵C是弧AB的中点， ∴?ABC是等腰三角形，AC=BC， 又O是AB的中点，∴OC?AB. （5分） 又∵PA?AB?A，∴OC?平面PAB，又PB?平面PAB， ∴BP?OC. （6分） 设BP的中点为E，连结AE，则OF//AE，AE?BP
- 6 -
93? （13分） 155∴BP?OF. （7分）
∵OC?OF?O，∴BP?平面CFO. 又CF?平面CFO，∴CF?BP. （8分）
（3）解：由（2）知OC?平面PAB，∴CO是三棱锥C?BFO的高，且CO?1. （9分） 111221112又∵BF?BP?，FO?AE??PB? （10分） PA2?AB2?2?22?44422222∴VC?BFO?SBOF?CO??BF?FO?1??13113216221?? （11分） 2212111112又∵VP?ABC?S?ABC?AP??AB?CO?AP???2?1?2? （12分）
332323217∴四棱锥C?AOFP的体积V?VP?ABC?VC?BFO??? （13分）
31212 19．（本小题满分14分）
解：（1）由a1?1,nan?1?2Sn(n?N?)得 a2?2a1?2 ， （1分）
a3?S2?a1?a2?3， （2分）
由3a4?2S3?2(a1?a2?a3)得a4?4 （3分） （2）当n?1时，由nan?1?2Sn ① ，得(n?1)an?2Sn?1 ② （4分） ①－②得nan?1?(n?1)an?2(Sn?Sn?1)，化简得nan?1?(n?1)an， （5分）
∴
an?1n?1（n?1）. （6 分） ?anna33an （7 分） ?，……，n?a22an?1n?13n????n（n?1） （8 分） 2n?1∴a2?2，
以上（n?1）个式子相乘得an?2?又a1?1，∴an?n(n?N?) （9 分）
（3）∵bn?∴Tn??2211 （11分） ???(n?2)an(n?2)nnn?2111111111111???????????? （12分） 132435n?2nn?1n?1nn?2- 7 -
?1?11132n?3???? （14分） 2n?1n?22(n?1)(n?2) 20．（本小题满分14分）
解：（1）如图，由已知可得圆心C(?1,0)，半径r?22，点A（1，0） （1分） ∵点Q是线段AP的垂直平分线l与CP的交点，∴ |QP|?QA| （2分） 又∵|PQ|?|QC|?22，∴|QA|?|QC|?22?AC?2 （3分） ∴点Q的轨迹是以O为中心，C,A为焦点的椭圆， ∵c?1,a?2，∴b?a2?c2?1， （4分）
x2?y2?1. （5分） ∴点Q的轨迹L的方程2x2?y2?1得 （2）假设直线l2存在，设M(x1,y1),N(x2,y2)，分别代入2?x12?y12?1??2， （6分） ?2?x2?y2?12??2两式相减得
(x1?x2)(x1?x2)y?y1x?x??(y1?y2)(y1?y2)，即12???12 （7分）
2x1?x22y1?y2 由题意，得x1?x2?2,y1?y2?1， （8分） ∴
y1?y2??1，即kMN??1 （9分）
x1?x23 （10分） 2∴直线l2的方程为y??x??x2?y2?1??22由?得6x?12x?5?0 （11分） ?y??x?3??2∵点B在椭圆L内， ∴直线l2的方程为y??x?3，它与轨迹L存在两个交点， 2- 8 -
解方程6x?12x?5?0得x?1?26 （12分） 6当x?1?161666时，y??；当x?1?时，y?? （13分）
262666???616??616?,?1?,?和 （14分） ??????626??626?所以，两交点坐标分别为?1? 21．（本小题满分14分） 解：（1）当a??2，x?[e,e2]时，f(x)?x2?2lnx?2， （1分） ∵f?(x)?2x?2，∴当x?[e,e2]时，f?(x)?0， （2分） x22∴函数f(x)?x?2lnx?2在[e,e]上单调递增， （3分） 故f(x)max?f(e2)?(e2)2?2lne2?2?e?2 （4分） （2）①当x?e时，f(x)?x2?alnx?a，f?(x)?2x?4a， x?a?0，f?(x)?0，∴f（x）在[e,??)上增函数， （5分） 故当x?e时，f(x)min?f(e)?e； （6分） 2②当1?x?e时，f(x)?x?alnx?a，f?(x)?2x?2a2aa（7分） ?(x?)(x?)，xx22（i）当a?1,即0?a?2时，f(x)在区间[1,e)上为增函数， 22当x?1时，f(x)min?f(1)?1?a，且此时f(1)?f(e)?e； （8分） （ii）当1???a?a?a1,,e?上为增?e，即2?a?2e2时，f(x)在区间?上为减函数，在区间????222????函数， （9分） 故当x?aaa3aaa时，f(x)min?f(（10分） )??ln，且此时f()?f(e)?e2；222222a?e，即a?2e2时，f(x)?x2?alnx?a在区间[1，e]上为减函数， 22（iii）当故当x?e时，f(x)min?f(e)?e. （11分） - 9 -
综上所述，函数y?f(x)的在?1,???上的最小值为f(x)min?1?a,0?a?2?3aaa????ln,2?a?2e2（12分） ?22222??e,a?2e?2?a?2e2,?a?2e2,?0?a?2,???由?3得0?a?2；由?3aaa3a得无解；由?23a得无解； （13分） 1?a?a,,,??ln???e?2?2?2222?故所求a的取值范围是?0,2?． - 10 -
14分） （
