2016-2017学年四川省雅安中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一．选择题（共12小题，每小题3分）
1．如图，圆桌正上方的灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形），已知桌
面的直径为1.2米，桌面距地面1米，若灯泡距离地面3米，则地上的阴影部分的面积为（ ）平方米．
A．0.36π B．0.81π C．2π D．3.24π
2．如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB=6，AD=8，则四边形ABPE的周长为（ ）
A．14 B．16 C．17 D．18
3．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
4．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ） A． x（x+1）=28
B． x（x﹣1）=28 C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=28
5．一元二次方程x2﹣3x﹣1=0与x2﹣x+3=0的所有实数根的和等于（ ） A．2 B．﹣4 C．4 D．3
2
6．设a、b是方程x+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ） A．2014 B．2015 C．2012 D．2013
7．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A．
B．
且k≠1 C．
D．
且k≠1
8．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
9．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6．同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
10．如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
11．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（ ）
A．（2，2），（3，2） B．（2，4），（3，1） C．（2，2），（3，1） D．（3，1），（2，2）
12．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论不正确的是（ ）
A．DF⊥AB B．CG=2GA
C．CG=DF+GE D．S四边形BFGC=﹣1
二．填空题（共5小题，每小题4分）
13．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件 ．
14．已知m、n是方程x2+2016x+7=0的两个根，则（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）= ．
15．如图所示，有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通路的概率是 ．
16．BC=14cm， 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，则楼高CD为 m．
17．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么= ．
三．解答题（共6小题）
18．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连结BF，CE． （1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由．
19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 20．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？
21．甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．
（1）求取出的3个小球的标号全是奇数的概率是多少？
（2）以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率．
22．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．
23．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB?AF=CB?CD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是线段DE上的动点．设DP=x cm，梯形BCDP的面积为ycm2． ①求y关于x的函数关系式．
②y是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由．
2016-2017学年四川省雅安中学九年级（上）月考数学试卷（10月
份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，每小题3分）
1．如图，圆桌正上方的灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形），已知桌
面的直径为1.2米，桌面距地面1米，若灯泡距离地面3米，则地上的阴影部分的面积为（ ）平方米．
A．0.36π B．0.81π C．2π D．3.24π
【考点】相似三角形的应用．
【分析】欲求投影圆的面积，可先求出其直径，而直径可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出． 【解答】解：构造几何模型如图：
依题意知DE=1.2米，FG=1米，AG=3米， 由△DAE∽△BAC得得BC=1.8， ∴S圆=（故选B．
）2?π=（
）2?π=0.81π， ，即
，
2．如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB=6，AD=8，则四边形ABPE的周长为（ ）
A．14 B．16 C．17 D．18
【考点】矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【分析】由矩形的性质得出∠ABC=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，由勾股定理求出AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出BP，证明PE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出PE=CD=3，四边形ABPE的周长=AB+BP+PE+AE，即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，
==10， ∴AC=
∴BP=AC=5，
∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点，
∴AE=AD=4，PE是△ACD的中位线， ∴PE=CD=3，
∴四边形ABPE的周长=AB+BP+PE+AE=6+5+3+4=18； 故选：D．
3．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．60° C．54° D．67.5° 【考点】正方形的性质．
AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，【分析】连接BD，根据BD，所以∠AMD=AMB，
要求∠AMD，求∠AMB即可． 【解答】解：如图，连接BD，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC， ∴∠EBC=∠BEC==15° ∵∠BCM=∠BCD=45°，
∴∠BMC=180°﹣（∠BCM+∠EBC）=120°， ∴∠AMB=180°﹣∠BMC=60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上， ∴∠AMD=∠AMB=60° 故选B．
4．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ） A． x（x+1）=28
B． x（x﹣1）=28 C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=28
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可． 【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为： x（x﹣1）=4×7．
故选：B．
5．一元二次方程x2﹣3x﹣1=0与x2﹣x+3=0的所有实数根的和等于（ ） A．2 B．﹣4 C．4 D．3
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】此题不能只利用两根之和公式进行简单的求和计算，还要考虑一下△与0的关系，判断方程是否有解．
【解答】解：方程x2﹣3x﹣1=0中△=（﹣3）2﹣4×（﹣1）=13＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根， 根据两根之和公式求出两根之和为3．
方程x2﹣x+3=0中△=（﹣1）2﹣4×3=﹣11＜0，所以该方程无解． ∴方程x2﹣3x﹣1=0与x2﹣x+3=0一共只有两个实数根， 即所有实数根的和3． 故本题选D．
6．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ） A．2014 B．2015 C．2012 D．2013
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【分析】首先根据根与系数的关系，求出a+b=﹣1；然后根据a是方程x2+x﹣2014=0的实数根，可得a2+a﹣2014=0，据此求出a2+2a+b的值为多少即可．
【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根， ∴a+b=﹣1；
又∵a2+a﹣2014=0， ∴a2+a=2014， ∴a2+2a+b
=（a2+a）+（a+b） =2014+（﹣1） =2013
即a2+2a+b的值为2013． 故选：D．
7．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A．
B．
且k≠1 C．
D．
且k≠1
【考点】根的判别式．
【分析】根据已知得出k﹣1≠0且（﹣2k）2﹣4×（k﹣1）×（k﹣3）＞0，求出即可． 【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0有两个不相等的实数根， ∴k﹣1≠0，
（﹣2k）2﹣4×（k﹣1）×（k﹣3）＞0， 解得：k＞且k≠1．
故选B．
8．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 【考点】利用频率估计概率；折线统计图．
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．
【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，故A选项错误； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是：误；
C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故C选项错误；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为≈0.17，故D选项正确．
故选：D．
9．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6．同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
=；故B选项错
【考点】列表法与树状图法．
【分析】根据题意可以通过列表的方法写出所有的可能性，从而可以得到所得结果之和为9的概率． 【解答】解：由题意可得，
同时投掷这两枚骰子，所得的所有结果是： （1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、 （2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、 （3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、 （4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、 （5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、 （6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6）， 则所有结果之和是： 2、3、4、5、6、7、 3、4、5、6、7、8、 4、5、6、7、8、9、 5、6、7、8、9、10、 6、7、8、9、10、11、 7、8、9、10、11、12， ∴所得结果之和为9的概率是：
，
故选C．
10．如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，推出△ABC≌△CDA，即可推出△ABC∽△CDA，根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似即可推出其它各对三角形相似．
【解答】解：图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA共5对，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，
∴△ABC≌△CDA，即△ABC∽△CDA， ∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ABC∽△CDA， ∵GE∥BC，AD∥BC， ∴GE∥AD，
∴△BGE∽△BAF， ∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE． 故选B．
11．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（ ）
A．（2，2），（3，2） B．（2，4），（3，1） C．（2，2），（3，1） D．（3，1），（2，2） 【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以得出即可． 【解答】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）． 故选：C．
12．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论不正确的是（ ）
A．DF⊥AB B．CG=2GA
C．CG=DF+GE D．S四边形BFGC=﹣1 【考点】菱形的性质．
【分析】A、由四边形ABCD是菱形，得出对角线平分对角，求得∠GAD=∠2，得出AG=GD，AE=ED，由SAS证得△AFG≌△AEG，得出∠AFG=∠AEG=90°，即可得出A正确；
B、由DF⊥AB，F为边AB的中点，证得AD=BD，证出△ABD为等边三角形，得出∠BAC=∠1=∠2=30°，由AC=2AB?cos∠BAC，AG=C、由勾股定理求出DF=
，求出AC，AG，即可得出B正确；
，由GE=tan∠2?ED求出GE，即可得出C正确；
D、由S四边形BFGC=S△ABC﹣S△AGF求出数值，即可得出D不正确． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠FAG=∠EAG，∠1=∠GAD，AB=AD， ∵∠1=∠2， ∴∠GAD=∠2， ∴AG=GD， ∵GE⊥AD，
∴GE垂直平分AD， ∴AE=ED，
∵F为边AB的中点， ∴AF=AE，
在△AFG和△AEG中，
∴△AFG≌△AEG（SAS）， ∴∠AFG=∠AEG=90°， ∴DF⊥AB， ∴A正确；
∵DF⊥AB，F为边AB的中点， ∴AF=AB=1，AD=BD， ∵AB=AD， ∴AD=BD=AB，
∴△ABD为等边三角形， ∴∠BAD=∠BCD=60°， ∴∠BAC=∠1=∠2=30°， ∴AC=2AB?cos∠BAC=2×2×AG=
=
=﹣
， =
， =2
， ，
∴CG=AC﹣AG=2
∴CG=2GA， ∴B正确；
∵GE垂直平分AD， ∴ED=AD=1， 由勾股定理得：DF=GE=tan∠2?ED=tan30°×1=∴DF+GE=
+
=
， =
=
，
=CG，
∴C正确；
∵∠BAC=∠1=30°，
∴△ABC的边AC上的高等于AB的一半，即为1， FG=AG=
，
×1﹣×1×
=
﹣
=
，
S四边形BFGC=S△ABC﹣S△AGF=×2∴D不正确； 故选：D．
二．填空题（共5小题，每小题4分）
13．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件 AC=BD ．
【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
【分析】添加的条件应为：AC=BD，把AC=BD作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四边形EFGH为菱形． 【解答】解：添加的条件应为：AC=BD．
证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=AC；同理EF∥AC且EF=AC，同理可得EH=BD，
则HG∥EF且HG=EF，
∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH， ∴四边形EFGH为菱形． 故答案为：AC=BD
14．已知m、n是方程x2+2016x+7=0的两个根，则（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）= 2008 ． 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【分析】先根据根与系数的关系求得x1+x2及x1?x2的值；然后化简（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）；最后将其代入求值即可．
【解答】解：∵m、n是方程x2+2016x+7=0的两个根， ∴m+n=﹣2016，mn=7； ∴m2+2016m+7=0， n2+2016n+7=0， （m2+2015m+6）（n2+2017n+8），
22
=（m+2016m+7﹣m﹣1）（n+2016n+7+n+1）， =﹣（m+1）（n+1）， =﹣（mn+m+n+1）， =﹣（7﹣2016+1）， =2008．
故答案是：2008．
15．如图所示，有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通路的概率是
．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】只有闭合两条线路里的两个才能形成通路．列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：列表得： （a，e） （b，e） （c，e） （d，e） ﹣ （a，d） （b，d） （c，d） ﹣ （a，c） （b，c） （d，c） ﹣ （a，b） （c，b） （d，b） ﹣ （b，a） （c，a） （d，a） ﹣ （e，d） （e，c） （e，b） （e，a） =．
∴一共有20种情况，使电路形成通路的有12种情况，∴使电路形成通路的概率是
16．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 12 m．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值． 【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD， ∴
=
，
∵BE=1.5，AB=2，BC=14， ∴AC=16， ∴
=
，
∴CD=12．
故答案为：12．
17．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么
= ．
【考点】平行线分线段成比例；三角形的重心． 【分析】由三角形的重心定理得出
=，
=，由平行线分线段成比例定理得出
=，即可得
出结果．
【解答】解：∵线段AD、BE是△ABC的中线， ∴
=，
=，
=，
∵EF∥BC，∴
=．
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
18．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连结BF，CE．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由．
【考点】菱形的判定；平行四边形的判定． 【分析】（1）由已知各件，据AAS很容易证得：△BDE≌△CDF；
（2）连接BF、CE，由AB=AC，D是BC边的中点，可知AD⊥BC，易证得△BFD≌△CFD，可得BF=CF；
BC互相垂直平分，又因为（1）中△BDE≌△CDF得ED=FD，所以EF、根据菱形的性质，可得四边形BECF
是菱形． 【解答】（1）证明：∵在△ABC中，D是BC边的中点， ∴BD=CD， ∵CF∥BE，
∴∠CFD=∠BED， 在△CFD和△BED中，
，
∴△CFD≌△BED（AAS）， ∴CF=BE，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）解：当AB=AC时，四边形BECF是菱形；理由如下： ∵AB=AC，D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴EF⊥BC，
∴四边形BECF是菱形．
19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法． 【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值． 【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m =m2﹣4m+4 =（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0， ∴△≥0，
∴方程总有实数根； （2）解：解方程得，x=x1=，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根， ∴m=1或2，m=2不合题意， ∴m=1．
，
20．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】根据可以砌60m长的墙的材料，即总长度是60m，BC=xm，则AB=（60﹣x+2）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
【解答】解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得： （60﹣x+2）x=300， x2﹣62x+600=0，
解这个方程得：x1=12，x2=50， ∵28＜50，
∴x2=50（不合题意，舍去）， ∴x=12．
（60﹣x+2）x=480，
x2﹣62x+960=0，
解这个方程得：x1=32，x2=30， ∵28＜30＜32，
∴x1=32，x2=30（不合题意，舍去），
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；不能围成480平方米的矩形花园．
21．甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．
（1）求取出的3个小球的标号全是奇数的概率是多少？
（2）以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率． 【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系． 【分析】（1）因为此题需要三步完成，所以采用树状图法最简单，所以先画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与取出的3个小球的标号全是奇数的情况，然后利用概率公式即可求得答案； （2）根据（1）中的树状图求得这些线段能构成三角形的情况，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）画树状图得： ∴一共有12种等可能的结果，
取出的3个小球的标号全是奇数的有2种情况， ∴取出的3个小球的标号全是奇数的概率是：
=．
（2）∵这些线段能构成三角形的有2、4、3，7、4、8，7、4、9，7、5、3，7、5、8，7、5、9共6种情况，
∴这些线段能构成三角形的概率为
=．
22．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可． 【解答】解：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA ∴MA∥CD∥BN ∴EC=CD=x
∴△ABN∽△ACD， ∴即
解得：x=6.125≈6.1．
经检验，x=6.125是原方程的解， ∴路灯高CD约为6.1米．
23．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB?AF=CB?CD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是线段DE上的动点．设DP=x cm，梯形BCDP的面积为ycm2． ①求y关于x的函数关系式．
②y是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质；一次函数的性质；勾股定理． 【分析】（1）先根据AD=CD，DE⊥AC判断出DE垂直平分AC，再由线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质可得出∠DCF=∠DAF=∠B，在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B可知△DCF∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案；
（2）①先根据勾股定理求出AC的长，再由梯形的面积公式即可得出x、y之间的函数关系式；
②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例可求出AB、EF的长，进而可得出△AEF∽△DEA及DF的长，根据DE=DF+FE可求出DE的长，由①中的函数关系式即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵AD=CD，DE⊥AC， ∴DE垂直平分AC，
∴AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF． ∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°， ∴∠DCF=∠DAF=∠B．
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B， ∴△DCF∽△ABC． ∴
=
，即
=
，
∴AB?AF=CB?CD；
（2）解：连接PB，
①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°， ∴AC=
∴CF=AF=6．
=
=12，
∴y=（x+9）×6=3x+27； ②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC． AE=BE=AB=
，EF=．
由∠EAD=∠AFE=90°，∠AEF=∠DEA，得△AEF∽△DEA． Rt△ADF中，AD=CD=∴DF=8．
∴DE=DF+FE=8+=∵y=3x+27（0≤x≤∴当x=
．
），函数值y随着x的增大而增大，
．
=10，AF=6，
时，y有最大值，此时y=
2016年11月9日
