形如求maxminf1?x1?,f2?x2?,???,fn?xn???．按其变元的个数可分为一??等的问题称为“双重最值问题”
元双重最值问题和多元双重最值问题．在本文中，提供一个常用的结论，取不同的值可得到很多命题．一个结论：设x，y?0，p，q，?为正常数，则
1??11?????（1）min?max?,,px?qy????p?q??1；
?xy???1??11????（2）max?min?,,px?qy????p?q???1． ?xy???证明：设t?max?,???11?1111,px??qy??，则t?，t??x?，y?，
xtty?xy?1pqp?q??1?p?q?t??p?q???1， 所以t?px?qy???????tttt?1?当且仅当x?y????p?q?1??11??11????时取等，即min?max?,,px?qy????p?q???1．
?xy???【题型综述】
一、一元双重最值问题 1．分段函数法：分类讨论，将函数写成分段函数形式，求函数值域即可． 例1：若x?R，求F?x??min?2x?1,x?2,?x?6?的最大值．
解：由2x?1?x?2?x?1，由x?2??x?6?x?2，由2x?1??x?6?x?5，故可得 3?2x?1?x?1??F?x???x?2?1?x?2?，对每一段求值域可知当x?2时，F?x?取得最大值4．
???x?6?x?2?2．数形结合法：分别画出几个函数图象，结合图象直接看出最值点，联立方程组求出最值．
2例2：（2007年浙江数学竞赛）设f?x??min2x?4,x?1,5?3x，求maxf?x?．
??
解：分别画出y?2x?4，y?x2?1，y?5?3x的图象， 得到f?x?的图象如粗体部分所示．
联立y?2x?4，y?x2?1解得???1,2?， 联立y?x2?1，y?5?3x解得??1,2?， 故由图可知当x??1时，f?x?的最大值为2．
二、多元一次函数的双重最值问题 1．利用不等式的性质 例3：设xi?0（i?1，2，3，4，5），最小值．
5?xi?1i?1，??max?x1?x2,x2?x3,x3?x4,x4?x5?，求?的
???x1?x21?解：由???x3?x4?3??x1?x2?x3?2x4?x5?1?x4?1???，
3???x?x45?当x4?0，x3?x5?111，x1?x2?时，?取得最小值． 3332．利用绝对值不等式
2例4：求函数f?x??x?a在区间??1,1?上的最大值??a?的最小值．
解：注意到f??1??f?1?，且2??a??f?0??f?1??a?1?a?a??1?a??1， 所以??a??111，当且仅当a?1?a，即a?时，??a?取得最小值． 2223．利用均值不等式
例5：（2002年北京高中数学竞赛）若a，b?0，求min?max?,,a2?b2??．
???11?ab????
解：设t?max?,,a2?b2?，则t??11?ab??1122，t?，t?a?b， ab11a2?b22ab22??2?t?32， 所以t????a?b??ababab3当且仅当a?b?1??11??，t有最小值32，即min?max?,,a2?b2???32． 32?ab???4．利用柯西不等式
????a2b2c??,,例6：若a，b，c?0且a?b?c?33，求min?max???．
??a?2b?3cb?2c?3ac?2a?3b??????a2b2c2解：设t?max?,,?，
a?2b?3cb?2c?3ac?2a?3b??a2b2c2则t?，t?，t?，由柯西不等式得
a?2b?3cb?2c?3ac?2a?3b?a?b?c??a?b?c?3?t?3a2b2c23t????，
a?2b?3cb?2c?3ac?2a?3b6?a?b?c?626????a2b2c23??,,?当且仅当a?b?c?3取等，即min?max?． ????a?2b?3cb?2c?3ac?2a?3b????65．分类讨论
例7：若a，b?0，求min?max?a,b,2????14?????的值． ab??解：设t?max?a,b,①当a?b时，t???1414???，则t?a，t?b，t??，
abab?141455????，2t?a??25，当且仅当a?b?5时取等； abaaaa141455②当b?a时，t?????，2t?b??25，当且仅当a?b?5时取等．
abbbbb综上，t?5，当且仅当a?b?5时取等，即min?max?a,b,????14??????5． ab??6．待定系数法
例8：若a，b?0，求min?max?a,b,????14?????的值． ab??
解：设t?max?a,b,??1414???，则t?a，t?b??t??a，?t??b，且t??，
abab???t??t??t???a??b????t2?14?4?a?b?????4??????4??24?? ba?ab???4??24??4?a?b?，当且仅当a?b?t且时取等， ba???2即??4?，a?b?5时，t?5?t?5，即min?max?a,b,????14??????5． ab??7．构造函数
32例9：设a，b，c?R，f?x??x?ax?bx?c（?1?x?1），求minmaxf?x?．
??解：注意到f?x?为3次函数且x???1,1?，联想到三倍角公式cos3??4cos??3cos?，
33x，x???1,1?，若设x?cos?，?????,??， 41113则f?x???4cos??3cos???cos3?，从而maxf?x??，
44411当且仅当3??0，??，?2?，?3?，即x??1或x??时取等，故猜测minmaxf?x??．
24因此先构造特殊函数f?x??x?3????设t?maxf?x?，注意到f?1??f??1??2f???2f?????1??2??1??2?3（可用待定系数法求得）， 2?1??2??1??2?3， 2故6t?f?1??f??1??2f???2f????f?1??f??1??2f???2f????即t??1??2??1??2?13113，考虑到f?x??x?x，x???1,1?时，t?，故minmaxf?x??． 4444??8．利用韦达定理
例10：若a，b，c?0且a?b?c?12，ab?bc?ca?45，求minmax?a,b,c?．
解：注意到a，b，c的对称性，故可设a?max?a,b,c?，又b?c?12?a，bc?45?a?12?a?， 所以方程x??a?12?x?45?a?12?a??0有两个不大于a的实根，故
2???f?a??0??12?a?a?5?a?6，当a?b?5，c?2时，min?max?a,b,c???5． ?2???0??9．数形结合
2例11：（2014浙江竞赛）若a?0，b?R且maxmin2x?4,ax?b,5?3x?????2，求a?b．
解：我们在同一坐标系中画出f1?x??2x?4，f2?x??ax2?b，f3?x??5?3x的图象， 则由图可知当且仅当f2?x?过???1,2?，??1,2?时， 才有maxmin2x?4,ax?b,5?3x所以a?b?2．
??2???2，
【同步训练】
1、（2013浙江预赛）设a，b?0，求min?max?a,b,????11???2??． 2ab??【详细解析】
2、（2006浙江预赛）若a，b，c?0，求max?min?,???11123??,,a?b?c??． 23?abc??【详细解析】 设t?min?,111?11123?t?t?t?，则，，， ,,a?b?c?2323abcabc??1113?a?，b2?，c3?，故t?a?b2?c3??t?3，
tttt当且仅当a?b?c?233??11123??时，t?3，即max?min?,2,3,a?b?c???3．
3?abc???
3、（2003北京竞赛）若x，y?0，求max?min?x,???11??,y???的值．
x???y【详细解析】
24、（2015浙江高考）设f?x??x?ax?b，f?x?在??1,1?上的最大值为??a,b?，
求证：当a?2时，??a,b??2． 【详细解析】
2??a,b??f?1??f??1??1?a?b?1?a?b??1?a?b???1?a?b??2a?4，
所以??a,b??2．
5、设f?x??x2??a?4?x?3?a，若对任意的a??0,4?，存在x0??0,2?使得
f?x0??t，求t的最大值．
【详细解析】
由题意minmaxf?x?即为t的最大值．
??f?x???x?1???a?2??x?1???x?1???a?2??x?1??1?a?2，
等号当且仅当x?0或x?2时成立，又1?a?222??min?1，所以t?1，t的最大值为1．
6、若a，b，c?0，求min?max???1a???1?b,?bc,?c??的值．
ab???ac【详细解析】 设t?max?11a1a??1?b，t??bc，t??c， ?b,?bc,?c?，则t?acabab??ac1a?1??a?2t???b????c??44?b??c?4?t?2，
acb?ac??b?当且仅当
1a?1a???1?b??c时取等，即a?b?c?1时，min?max??b,?bc,?c???2． acbab???ac?
???1a2?b2???7、若a，b?0，求min?max?,??．
b????a??【详细解析】
?1a2?b2?1a2?b21a2?b22ab2?t????2， 设t?max?,?，则t?，t?abababb??a??1a2?b2??2??即t?2，当且仅当a?b?时取等，即min?max?,???2．
ab2????????2??25????8、若x?y?0，求min?max?x,??．
yx?y??????????【详细解析】
??2??1????29、若x，y，z?0，求min?max?x?y,xy?z,??．
322xyz????????【详细解析】
?1??2?2设t?max?x?y,xy?z,?，则有
322xyz???????t?x2?y2?2xy?t?2xy??1??26t?xy?z?2xyz?t?4xyz?t?2xy?4xyz??8?t?2， ??22xyz??11?t??t3?22322xyz???xyz?当且仅当x?y且xy?z，2xy?2，即x?y?42，z?2时，t取得最小值2． 210、设a，b?R，求minmax1?a?2b,1?a?2b,2?b【详细解析】
????的值．
