（2）如果2分厂的产量从400箱提高到了600箱，那么应如何安排运输方案，使得总运费最小？
（3）如果销地甲的需求从400箱提高到550箱，那么该如何安排运输方案 ，使得总运费最小？
解：（1）这个问题是产销平衡运输问题。 由伏格尔法得初始调运方案为： 销地 甲 乙 产地 1分厂 2分厂 3分厂 销量/箱 400 400 250 250 350 350 丙 50 0 150 200 丁 产量/箱 300 400 500 1200 由位势法判别： 建立方程组
vi+uj=cij（cij为基变量对应运价） vi =0
解得：v2=-6，v 3=-3，u1=16，u 2= 17，u 3=23，u 4=25
由非基变量xij检验数σij=vi+uj-cij，得出σij≤0，∴该方案即为最优。
即：应安排1分厂给乙供货250箱，给丁供货50箱，2分厂给甲供货400箱，3分厂给丙供货350箱，给丁供货150箱，此时总运费最少。 （2）这个问题是产大于销的运输问题。
为了求得产销平衡，在产销平衡表中增加一个虚拟的销地戊，其销量为200箱。 则产销平衡表和单位运价表如下： 销地 产地 1分厂 2分厂 3分厂 销量/箱 甲 21 10 23 400 乙 17 15 21 250 丙 23 30 20 350 丁 25 19 22 200 戊 0 0 0 200 产量/箱 300 600 500 1400
由伏格尔法得初始调运方案为： 销地 甲 乙 产地 1分厂 2分厂 3分厂 400 250 丙 50（-50） ④ 丁 200 戊 （+50） ① 0 ② 产量/箱 300 600 500 ③ 300（+50） 销量/箱 400 250 350 200 200（-50） 200 1400 由位势法判别： 建立方程组 vi+uj=cij vi =0
由非基变量xij检验数σij=vi+uj-cij，得出σ15＞0，∴该方案不是最优方案。 故调整方案，由闭合回路法得出新的调运方案： 销地 甲 乙 丙 丁 产地 1分厂 2分厂 3分厂 销量/箱 400 400 250 250 350 350 200 200 戊 50 0 150 200 产量/箱 300 600 500 1400 由位势法判别： 建立方程组 vi+uj=cij vi =0
由非基变量xij检验数σij=vi+uj-cij，得出σij≤0，∴该方案即为最优。
即：应安排1分厂给乙供货250箱，2分厂给甲供货400箱，给丁供货200箱，3分厂给丙供货350箱，此时总运费最少。
（3）这个问题是销大于产的运输问题。
为了求得产销平衡，在产销平衡表中增加一个虚拟的产地4分厂，其产量为150箱。 则产销平衡表和单位运价表如下： 销地 甲 乙 丙 丁 产量/箱 产地 1分厂 2分厂 3分厂 4分厂 销量/箱 21 10 23 0 550 17 15 21 0 250 23 30 20 0 350 25 19 22 0 200 300 400 500 150 1350 由伏格尔法得初始调运方案为： 销地 甲 产地 1分厂 2分厂 3分厂 50 400 100（-100） 乙 250 丙 200（+100） 丁 200 产量/箱 300 400 500 ② 4分厂 销量/箱 ① （+100） 550 250 ③ ④ 150（-100） 350 200 150 1350 由位势法判别： 建立方程组 vi+uj=cij vi =0
由非基变量xij检验数σij=vi+uj-cij，得出σ41＞0，∴该方案不是最优方案。 故调整方案，由闭合回路法得出新的调运方案： 销地 甲 乙 丙 丁 产地 1分厂 2分厂 3分厂 4分厂 销量/箱 50 400 100 550 250 250 300（+50） ③ ② 50（-50） 350 200（-50） ④ ① （+50） 200 产量/箱 300 400 500 150 1350 由位势法判别： 建立方程组 vi+uj=cij vi =0
由非基变量xij检验数σij=vi+uj-cij，得出σ44＞0，∴该方案不是最优方案。 故调整方案，由闭合回路法得出新的调运方案： 销地 甲 乙 丙 丁 产地 1分厂 2分厂 3分厂 4分厂 销量/箱 50 400 100 550 250 250 350 150 50 产量/箱 300 400 500 150 1350 由位势法判别： 建立方程组 vi+uj=cij vi =0
由非基变量xij检验数σij=vi+uj-cij，得出σij≤0，∴该方案即为最优。
即：应安排1分厂给甲供货50箱，给乙供货250箱，2分厂给甲供货400箱，3分厂给丙供货350箱，给丁供货150箱，此时总运费最少。
2． 用表上作业法求下表7-36所列运输问题
表7-36 各个运输点之间的运量与收量
发 收 点 点 B1 B2 B3 B4 发量 A1 A2 A3 收量 8 3 5 5 7 4 6 5 1 6 10 3 4 2 6 7 9 9 2 解：这个问题是产销平衡运输问题。 由伏格尔法得初始调运方案为： B1 B2 发点 收点 A1 A2 A3 收量/件 5（-2） ② ① （+2） 5 3（+2） ③ ④ 2（-2） 5 B3 3 3 B4 6 1 7 发量/件 9 9 2 20 由位势法判别： 建立方程组
vi+uj=cij（cij为基变量对应运费） vi =0
由非基变量xij检验数σij=vi+uj-cij，得出σ31=0，其余检验数均小于0。 ∴该方案是最优方案，且不是唯一最优的，该问题存在另一最优解。 故进行方案调整，调整后得另一最优解为： B1 B2 B3 B4 发点 发量/件 收点 A1 A2 A3 收量/件 3 2 5 5 5 3 3 6 1 7 9 9 2 20 即要想使运费最少，应作如下安排： B1 →A2（5），B2→ A2（3）、A3（2），B3→ A1（3），B4 →A1（6）、A2（1） 或者，B1→ A2（3）、A3（2），B2→A2（5），B3→ A1（3），B4 →A1（6）、A2（1）
3．某种产品今后四周的需求量分别是300、700、900、600件，必须得到满足。已知每
件产品的成本在起初两周是10元，以后两周是15元。工厂每周能生产这种产品700件，且在第二、三周能加班生产，加班后，每周可增产200件，但成本每件增加5元。产品如不能在本周交货，则每件每周存储费为3元，问如何安排生产时总费用最少。（要求建立运输问题模型但不求解）
xxx解：设ij为第i周运往第j周的产品数量，i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,5j,6j分别表示第2、3周加
班生产运往第j周的产品数量
minZ?10x11?13x12?16x13?19x14?10x22?13x23?16x24?15x33?18x34?15x44?15x32?18x53?21x54?15x63?18x64?x11?300??x12?x22?x52?700?x13?x23?x33?x53?x63?900??x14?x24?x34?x54?x64?600?x?x?x?x?70011121314??st.?x22?x23?16x24?700?x?x?70034?33?x44?700?x?x?x?2005354?52?x63?x64?200??x?0,i?1,2,3,4,5,6,j?5,6,7,8 ?ij
4．求解下列模型
minz?3x11?2x12?4x13?2x21?4x22?5x23 ?8x31?2x32?x33?5x41?5x42?2x43?x11?x12?x13?100?x?x?x?50?212223st.??x31?x32?x33?60??x41?x42?x43?40x11?x21?x31?x41?85x12?x22?x32?x42?90x13?x23?x33?x43?75xij?0,i?1,2,3,4;j?1,2,3
解：设Ai为第i（i=1，2，3，4）行，Bj为第j（j=1，2，3）列，则
由已知得该线性规划模型的约束条件和系数表为： Bj B1 B2 B3 ∑Ai Ai A1 A2 A3 3 2 8 2 4 2 4 5 1 100 50 60
第二章
1．用图解法求解两个变量线性规划问题的最优解和最优值。
maxz?2x1?3x2?x1?2x2?6?st.?5x1?3x2?15?x,x?0?12
x2最优解：（12/7，15/7）最优值：69/7x1
2．用图解法求解以下线性规划问题，并指出哪个问题有惟一解、无穷多最优解、无界解或无可行解
minz?6x1?4x2?2x1?x2?1?st.?3x1?4x2?3?x,x?0?12
x2最优解：（1/5,3/5）最优值： 3.613/4 01/21x1
maxz?4x1?8x2?2x1?2x2?10?st.??x1?x2?8?x,x?012 ?
x2x1
无可行解
3．某公司从中心制造地点向分别位于城区北、东、南、西方向的分配点运送材料。该公司有26辆卡车，用于从制造地点向分配点运送材料。其中有9辆，每辆能装5吨的大型卡车，12辆每辆能装2吨的中型卡车和5辆每辆能装1吨的小型卡车。北、东、南、西四个点分别需要材料14吨、10吨、20吨、8吨。每辆卡车向各分配点送材料一次的费用如表2-7所示。建立运送材料总费用最小的线性规划模型。
表2-7 车辆运送一次的费用
大 中 小 北 80 50 20 东 63 60 15 南 92 55 38 西 75 42 22
解 设大、中、小型车分别用i表示，则i?1,2,3；东、南、西、北四个分点分别用j表
x示，则j?1,2,3,4；向j方向发出的i型车数量为ij。
minZ?80x11?63x12?92x13?75x14?50x21?60x22?55x23?42x24?20x31?15x32?38x33?22x34
?5x11?2x21?x31?14?5x?2x?x?102232?12?5x13?2x23?x33?20??5x14?2x24?x34?8st.??x11?x12?x13?x14?9?x21?x22?x23?x24?12??x31?x32?x33?x34?5?x?0,i,j?1,2,3,4?ij
4．某工厂生产A、B、C三种产品，现根据合同及生产状况制定5月份的生产计划。已知合同甲为：A产品1000件，每件价格为500元，违约金为100元/每件；合同乙：B产品500件，每件价格为400元，违约金为120元/每件；合同丙为：B产品600件，每件价格为420元，违约金为130元/每件；C产品600件，价格400元/每件，违约金为90元/每件。有关各产品生产过程所需工时以及原材料的情况如表2-8所示。试以利润为目标建立该工厂生产计划的线性规划模型。
表2-8 产品使用的原材料、加工工序、资源限制、成本
工序1 工序2 工序3 原料1 原料2 其他成本 产品A 2 3 2 3 4 10 产品B 1 1 3 2 3 10 产品C 2 1 2 4 2 10 资源限制 4600 4000 6000 10000 8000 工时或原材料成本 15 10 10 20 40 解 设工厂5月份为完成合同甲生产x1件A产品；为完成合同乙生产x2件B产品；为完成合同丙生产x3件 B产品，x4件C产品。
maxZ?500x1?(1000?x1)?400x2?(500?x2)?120?420x3?(600?x3)?130?400x4?(600?x4)?90?(2?15?3?10?2?10?3?20?4?40?10)x1?(15?10?3?10?20?2?3?40?10)?(x2?x3)?(2?15?10?2?20?4?20?2?40?10)x4?290x1?295x2?325x3?260x4?292000
?2x1?x2?x3?2x4?4600?3x?x?x?2x?4000234?1?2x1?3x2?3x3?2x4?6000??3x1?2(x2?x3)?4x4?10000?st.?4x1?3(x2?x3)?2x4?8000?0?x?1000,1??0?x2?500,?0?x?600,3???0?x4?600,
5．某公司从事某种商品的经营，现欲制定本年度10至12月的进货及销售计划。已知该种商品的初始库存量为2000件，公司仓库最多可存放10000件，公司拥有的经营资金80万元，据预测，10至12月的进货及销售价格如表2-9所示。若每个月仅在1号进货1次，且要求年底时商品存量达到3000件，在以上条件下，建立该问题的线性规划模型，使公司获得最大利润？（注：不考虑库存费用）
表2-9 进货和销售价格 月份 进货价格/（元/件） 10 90 11 95 12 98 销售价格/（元/件） 100 100 115 解
xi,i?10,11,12，为每月购进的货物，yi,i?10,11,12为每月销售的货物。
maxZ?100y10?100y11?115y12?90x10?95x11?98x12????????st.?????x12????90x10?95x11?98x12?80000 资金限制2000?x10?10000 库容限制x11?2000?x10?y10?10000 库容限制x12?x11?2000?x10?y10?y11?10000 库容限制y10?2000?x10 销量限制y11?x11?2000?x10?y10 销量限制y12?x12?x11?2000?x10?y10?y11 销量限制?x11?2000?x10?y10?y11?y12?3000 年底存量限制xi?0,i?10,11,12yi?0,i?10,11,12
6．某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量单价如表2-10所示。
表2-10 饲料所含的营养成分及价格
饲料 蛋白质/g 矿物质/g 维生素/g ?1kg价格/（元·） 1 3 1 0.5 0.2 2 3 4 5 2 1 6 18 0.5 0.2 2 0.5 1.0 0.2 2 0.8 0.7 0.4 0.3 0.8 求这个问题的规划模型，使既满足动物生长的需要，又使费用最小的选用饲料的方案。 解 设各送这5钟饲料x1，x2，x3，x4，x5kg。
minZ?0.2x1?0.7x2?0.4x3?0.3x4?0.8x5?3x1?2x2?x3?6x4?18x5?700?x?0.5x?0.2x?2x?0.5x?30?12345st.??0.5x1?x2?0.2x3?2x4?0.8x5?100??xi,i?1,2,3,4,5
7．某一企业家需要找人清理5间会议室、12张桌子和18个货架。今有两个临时工A和B可供该企业家雇佣。A一天可清理1间会议室、3张桌子与3个货架；而B一天可清理1间会议室、2张桌子与6个货架。A的工资每天25元，B每天22元。为了使成本最低，应雇佣A和B各多少天？（用线性规划图解法求解）
解：设雇佣A和B分别为x,y天
minZ?25x?22yx?y?5??3x?2y?12?st.?3x?6y?18???x;y?0且x,y为整数
Xb -5x1 -1 16 0 5x2 1 0 0 13x3 3 -2 -2 0x4 1 -4 -5 0x5 0 1 0 b 20 10 由表可得，最优解为（0，20，0），
x2 x5 ?i B=
?1???1p（p2，5），B= ??40??1??。
（1）设b1波动为-20??1，由B?1?1?b1=???40??1???20??1????90???=?20??1???10?4???1??0,得??1?2.25，即0?b1?22.5时最优解不变。所以当b1从20变为30时，最优解已经改变
0??1??为（0，0，9）。
?1???1?（2）设b2波动为2，由Bb2=??4?20??20??????90????10???1??0,得?2?10，即2?=??b2?80时最优解不变。所以当b2从90变为70时，最优解已经改变为（0，5，5）。
（3）由B=（p2，p5）知c3为非基变量系数，其变化幅度??-?3=2时，最优解不变。所以当c3从13变为8时，?=8-13=-5?2，最优解不变。
??1??0?????????125x???1（4）当系数列向量由变为?时，最优单纯形表为
由
-5x1 0 1 -5 5x2 1 0 0 13x3 3 -2 -2 0x4 1 -4 -5 0x5 0 1 0 b 20 10 Xb 表可知，最优解仍为（0，20，0）。
（5）增加约
x2 x5 ?i 束条件2x1?3x2?5x3?50后，模型变为
maxz??5x1?5x2?13x3??x1?x2?3x3?20??12x1?4x2?10x3?90st.??2x1?3x2?5x3?50?x1,x2,x3?0 ?最优单纯形表为
b 5/2 40/3 25/2
Xb x3 x5 -5x1 -5/4 27/2 33/12 -5/2 5x2 0 0 1 0 13x3 1 0 0 0 0x4 3/4 -5/4 -5/4 -7/2 0x5 0 1 0 0 0x6 -1/4 27/6 3/4 -23/6 x2 ? 由表得最优解为（0,25/2,5/2）. (6)条件改变后模型变为
maxz??5x1?5x2?13x3??x1?x2?3x3?20?st.?10x1?5x2?10x3?100?x1,x2,x3?0 ?最优单纯形表为
最
-5x1 -1 15 0 5x2 1 0 0 13x3 3 -5 -2 0x4 1 -5 -5 0x5 0 0 0 b 20 0
Xb 优解为（0，0，0）。
9．求最大化线性
x4 x2 ?i 规划的模型的最初始单纯形表及最优单纯形表如表5-16及5-17所示。
（1）填写最优表5-17中空白处的数字。 （2）写出原线性规划问题。
（3）写出其对偶线性规划模型及其最优值。
?（4）当b变为b?λb其中b?(1?10)，问?在什么范围内变化，原最优基不
?T变？
（5）目标函数x2的系数c2从-1变为-2，原最优基是否会改变？求出c2??2时最优值。
表5-16 最初单纯形表
CB XB 2x1 ?1x2 1x3 0x4 0x5 0x6 0 0 0 b b1 x4 x5 x6 3 1 1 2 1 -1 1 -1 1 2 -1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 b2 b3 ?j 表5-17 最优单纯形表 CB XB 2x1 ?1x2 1x3 0x4 0x5 0x6 0 2 -1 b 15 10 5 x4 -1 12-2 1212x1 x2 ?12 ?j
解：（1）填入数字后，单纯形表为
CB XB 2x1 ?1x2 1x3 0x4 0x5 0x6 0 2 -1 b 15 10 5 x4 x1 x2 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1/2 -3/2 -3/2 1 0 0 0 -1 12-2 1212 ?12 -3/2 ?j
(2)原线性规划模型为
-1/2 maxz?2x1?x2?x3?3x1?x2?x3?50?x?x?2x?5?3st.?12?x1?x2?x3?15? ?xi?0,i?1,2,3,4
（2）其对偶模型为
max??50y1?5y2?15y3?3y1?y2?y3?2?y?y?y??1?123st.??y1?2y2?y3?1? ?yi?0,i?1,2,3(4)要使最优基不变，
对偶模型的最优解为最优单纯形表的检验数相反数，即（0，3/2,1/2）。
?1??0?0*?1则B(b??b)=?解得5??2??1/21/2??1/21/2???1?15????2??5?????10??15/2??/2?????5???/2?5/2???=???0
??15。
?1（5）x2为基变量，c2从-1变为-2后，?2=c2-cBBp2=-2?0，原最优基不变。
c2=-2时最优值为10。
10．A投资公司为很多公司和个人管理资金，公司的投资策略应该符合客户的需求，有一位新客户委任A投资公司对120万元进行两方面投资，股票和货币市场，每单位股票市场投资资金是50元，年资金收益率为10%；每单位货币市场投资资金是100元，年资金收益率4%。
客户希望在满足年投资收入至少是6万元的前提下，尽量降低风险。通过A投资公司风险测量系统可以知道，投资在股票市场的单位数量风险指数是8，投资在货币市场的单位货币数量风险指数是3。A投资公司的客户要求在货币市场上的投资至少是30万元。
（1）试建立风险指数最低的投资方案模型，并用单纯形法求解这个问题；
（2）最优值是衡量投资风险程度的尺度，增加每年收入的要求会对投资组合的风险尺度产生什么影响？
（3）求b2的影响范围；
（4）如果对每年收入的要求从6万元增加到6.5万元，那么最优解和最优值会如何变化？
（5）如果对股票基金的风险评定从8增加到9，那么最优解和最优值如何变化？ 解：（1）设股票市场投资x1单位，货币市场投资x2单位，建立的模型为
minz?8x1?3x2?50x1?100x2?1200000?5x?4x?60000?12st.??100x2?300000?x1,x2?0 ?单纯刑法求得的最优单纯形表为
b 700,000 4,000 10,000
Xb x5 8x1 0 1 0 0 3x2 0 0 1 0 0x3 1.6667 -0.0133 0.0167 -0.0567 62000。 0x4 16.667 -0.333 0.1667 -2.1667 0x5 1 0 0 0 x1 x2 ? ，最优值为 最优解为（4000，10000）（2）在一定的范围内增加每年年收入的要求风险尺度不变，超出一定的范围后，风险尺度将变高。
（3）由Bb?0可知在48000?b2?102000时，最优基不变，在此范围内变动无影响。
?1（4）当年收入由60000变为65000时，最优解变为（5666，9166），最优值变为72833。 （5）股票风险评定有8变为9时，最优解不变，仍为（4000，10000），最优值变为66000.
第七章
1．某公司在三个地方有三个分厂，生产同一种产品，其产量分别为300箱、400箱、500箱。需要供应四个地方的销售，这四个地方的产品需求分别为400箱、250箱、350箱、200箱。三个分厂到四个销地的单位运价如下表7-35所示：
表7-35 单位运价表
运 产 输 销 地 单 价 地 甲 乙 丙 丁 1分厂 2分厂 3分厂 21 10 23 17 15 21 23 30 20 25 19 22 （1）应如何安排运输方案，使得总运费最小？
车间产品甲产品乙车间能力（每天加工工时数）1234利润/每个产品（元）2021．25000321400300540440300
假设每天甲、乙产品的生产产量分别为：x1,x2，则线性规划模型为
maxz?500x1?400x22x1?300??3x2?540??st.?2x1?2x2?440?1.2x?1.5x?30012??x1,x2?0?
使用QM软件求解并回答下面问题。
（1）最优解是什么，最大利润是多少？
（2）哪个车间的加工工时已用完？那个车间的加工工时还没用完？其松弛变量即没用完的加工工时各为多少？
（3）四个车间的加工工时的对偶价格各为多少？请对此对偶的含义予以说明。 （4）如果请你在这四个车间中选择一个车间进行加班生产，你会选择哪一个？为什么？ （5）目标函数中x1的系数在什么范围内变化时，最优解不变。
（6）目标函数中x2的系数从400提高到490时，最优解变了没有，为什么？ （7）请解释右端常数项各值的上限和下限。
（8）车间1的加工工时数从300增加到400时，总利润能增加多少，这时最优解变化了没有？
（9） 车间3的加工工时数从440增加到480时，能否求得总利润增加的数量？为什么？ 解：(1)将原模型变换成标准形
maxz?500x1?400x2?0x3?0x4?0x5?0x62x1?x3?300??3x2?x4?540??st.?2x1?2x2?x5?440?1.2x?1.5x?x?300126???xi?0,i?1,2,3,4,5,6
0?2?3?0?A??22??1.21.5?取B??p3p41000??300????0100?540??，b??440?，C??5004000000?0010???????0001??300?p5p6?为可行基，则CB??0000?，CBB?1b?0，B?1A?A，
C?CBB?1A?C，得到最初单纯形表为：CB XB 500x1 2?400x2 0 3 2 1.5 400 0 3 0x3 1 0 0 0 0 0.5 0 -1 -0.6 -250 0.5 1.5 -0.5 0.15 -50 0x4 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0x5 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 -1.5 0.5 -0.75 -200 0x6 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 b 0 0 0 0 x3 300 540 440 300 150 540 140 120 150 330 70 15 x4 x5 x6 cj?zj 0 2 1.2 500 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 500 0 0 0 x1 x4 x5 x6 cj?zj 2? 1.5 400 0 0 1 0 0 500 0 400 0 x1 x4 x2 x6 cj?zj ?最优解为：x1?150，x2?70
最大利润：maxZ?500x1?400x2?500?150?400?70?10300 (2)由最终单纯形表知：x3?x5?0，x4?330，x6?15，因此，一车间和三车间的加工工时已用完，二车间和四车间没有用完，分别剩余330和15个加工工时。
(3)由最终单纯形表知：第一车间的影子价格为-(-50)，即50，第二车间的影子价格为-(-200)，即200。这表示在一定范围内，第一车间每增加一个设备台时，目标函数增加50；第二车间每增加一个设备台时，目标函数增加200。
(4)选择第三车间，因为第三车间的影子价格高，每增加一工时带来的利润大。 (5)由最优单纯形表知：C??5004000000?，CB?(500??04000)，
00??01.51?1.50?1?0.500.50??00.150?0.751??。
0.500?1??0?0??0?1BA=?x1的系数为基变量系数，因此，设：c1的波动为?，令c1=500+?，要使优解不变，则：
C?CBB?1A?0，即：
?1??0?500??4000000??(500??04000)?0??0?解得：???100，?c1=500+??c1?400
00??01.51?1.50??01?0.500.50??00.150?0.751??0.500（6）设c2的波动为?，令c2=400+?，若使最优解不变，则：C?CBBA?0，即：
?1?500?1??0400??0000??(5000400??0)?0??0?00??01.51?1.50??01?0.500.50??00.150?0.751??
0.500解得：?400???100，????100?0?c2?500。
?1(7)常数项波动变化，当bi变化时，只要Bb?0，则B仍是最优基。令b1?300??1，则：
?0.5??1.5??0.5???1Bb?0，即：?0.150??300??????1?1.50??540?00.50??440??????0?0.751??300???0 00解得：?100???140,?b1?300??1,?200?b1?440 同理：分别令b2?300??2，b3?300??3，b4?300??4；
???，300?b3?460，b4??285，???。 解得：b2??210，(8)400在常数项变化范围（200，440）之间，因此，总利润变化量：50?(400-300)=5000； 最优解变化为：
(9)不能，因为常数项变化超出其变化范围（300，460）。
2．已知线性规划问题:
maxz?x1?2x2??2x1?x2?2??x?2x?7?2st.?1x1?3???x1,x2?0
的最终单纯形表如表5-11所示。
表5-11 最优单纯形表
cB210cj?zj（1）写出其对偶模型；
XBx2x1x3x101002x210000x300100x4120x512b533
0?12?1132?2（2）求出对偶模型的最优解； （3）写出最优基B及其逆矩阵B；
（4）若右端项变为b??(2,12,2)，最优基是否变化？求出变化后的最优解及其最优值。 解：
(1)其对偶模型为：
T?1min??2y1?7y2?y3??2y1?y2?y3?1?st.?y1?2y2?2?y,y,y?0?123
*T*Y??3，5，3，0，0(2)原模型最优解为：，设对偶模型最优解为XS?0,知Y1?0；
3Y4?5Y5?0,由于剩余变量均为设对偶模型的剩余变量为Y4，Y5，由YSX?0知：非负，故Y4=0，Y5=0，此时对偶模型的约束条件为：
??2Y1*?Y2*?Y3*?1?Y1*?0?*?**Y?2Y?2 ?解得对偶模型的最优解为：?1?Y2?22?*?*Y?01?Y3?1?
?1?21??01/21/2??????1B?(P2，P1，P3)??2?10?，即：B??001??010??1?1/23/2????? (3)最优基为
?1(4) 常数项波动变化，当bi变化时，只要Bb?0，则B仍是最优基。令b1?2??1，
b2?7??2，b3?3??3则：B?1b?0 ，???，?2??3，13?，?1?1，??? 解得：?1???1T'??b?(2，12，2)2，6，0，2，0当常数项在其变化范围中变化，故最优基不变；最优解为,最优值
为14。
3．给出了下列线形规划：
maxz?6x1?2x2?12x35?4x1?x2?3x3?24?st.?2x1?6x2?3x3?30?x1,x2,x3?0?
的最优单纯形表如表5-12所示。
表5-12 最优单纯形表
cb120cj?zjXbx3s26x1432x212x3130s1130s2010b86
100?2?105?2?1?4（1）求出最优基不变的b2的变化范围； （2）求出最优解不变的c3的变化范围；
（3）在原线性规划的约束条件上，增加下面的约束条件：x1?2x2?2x3?12其最优解是否变化，如变化，求出最优解。
?1/30??B?1?????11??，只要B?1b?0，解：(1)设b2的变化为b2??，则b仍为最优基
?1/30??24??8?B?1b????11????30???????6?????0??????
????6，即：
b2???24 ，即b2在?24，???上变化是最优基不变。
?1(2)设C3的变化为C3??，要是最优基不变，则C?CBBA?0，即：
?6????6
?4/31/311/30??212??00???12??0????2?50?11?????10?4?/3?2??/30?4??/30??0
?C3???6即当C3在?6，???上变化时，最优解不变
（3）其最优解变化为?0066120?。
T4．有一标准型的线性规划问题：
maxz?CX?AX?bs.t??X?0
其最优单纯形表如表5-13所示：
表5-13 最优单纯形表
cbc1c2Xbx1x2c1x1100c1x2010c3x3?12?3c4x43?1?3c5x5?11?1b12z?8
其中：x4,x5是对用于初始单位矩阵的松弛变量。试求： （1）利用最优单纯形表求c1,c2,c3,c4,c5。
?1?Δb????1????，???????，要使现行最优基B保（2）假定用b?λΔb代替b，其中
持不变，?的变化范围？当
??12时，求最优解。
（3）求约束影响价格。
解：（1）从最优单纯形表中得出：
?3??1B=??1?1??1? 由于x4，x5是松弛变量所以c4，c5均为0。
?1?CCBA知： jjB根据=-
0?1?1(C1,C2,C3,C4,C5)?(C1,C2)?12?0 得出：c1,c2,c3,c4,c5分别为2，3，1，0，0。
3?1?1???(0,0,?3,?3,?1)1??3??1xB（2）要使最优基不变，则=Bb≥0，即 ??1
?1??1??1??????2???≥0 得出：
?111?????42。当2，在区间内，最优基不变，最优解为：
33(x1,x2,x3,x4,x5)??(,,0,0,0)?22
（3）根据影子价格与松弛变量之间的关系知： y1?3， y2?1 5．有最大问题的最优单纯形表如下，其中x4,x5为松弛变量。
表5-14 最优单纯形表
XBx3x1x1010x2?1?1?3x3100x43?1x510b24
?j⑴写出该问题的最优解。
?3?1⑵当?c3为何值时，其对偶问题无解？并说明理由。
解：（1）由以上的最优单纯表得出最优解为：(x1,x2,x3,x4,x5)??(4,0,2,0,0)? （2）若原模型有可行解但目标函数值无界，则对偶模型无解。 设C=(c1,c2,c3,c4,c5),因为c4，c5为松弛变量，所以c4，c5均为0 。
?0??1c，c，cc，cCBA?123，1） ??C-B=（10，0）-（3解得：c1=0， c2=-4， c3=1
?1?1103?11??0?
?1?1设c3=c3+?c3，当C-CBBA≤0时，最优基不变，即C-CBBA=（0，-4，1+?c3，
?0??c?130，0）（-1+，0）
?1?1103?11??0?≤0 解得：-1≤?c3≤3 即当-1≤?c3≤3
??1????1?c?cc?CBp22B233时，最优基不变。此时==-4-（+，0）??1?=-3+?c3
当?2≥0 且 -1≤?c3≤3 时，原模型有无界解，即?c3=3时，对偶模型无可行解。 6．考虑下列线性规划：
maxz??5x1?5x2?13x3??x1?x2?3x3?20?st.?12x1?4x2?10x3?90?xi?0,i?1,2,3?
最优单纯形表如表5-15所示：
表5-15 最优单纯形表
XBx2x5x1?1160x2100x33x41x5010b2010100?1?2?4?2?5?j
(1) 写出此线性规划的最优解、最优基B和它的逆B； (2) 求此线性规划的对偶问题的最优解；
(3) 试求c2在什么范围内，此线性规划的最优解不变； (4) 若 b1 = 20 变为 45，最优解及最优值是什么？
解：（1）由最优单纯形表知：最优解为(x1,x2,x3,x4,x5)??(0,20,0,0,10)?
?1? B= ?40??1? B?1=
?1???40??1?
（2）因为对偶模型的最优解是原模型松弛变量检验数值的相反数，所以，对偶模型的最优解为： y1?5， y2?0 。
（3）设c2=c2+?，c2是基变量对应的系数，要使原模型的最优解不变，则
?1CBC-BA≥0，即
?-1（-5，5+?，13，0，0）-（5+?，0）??16103-21-40??1?≤0
213???0?c2?5c解得：3，所以 3，2在此范围内变化时，此线性规划模型最优
?解不变。
?1??1bb?Bb?0 （4）设1=1+，当时最优基不变，即??40??20??????1??90?≥0，解得：
?20???5450?b1?2 即 2 。若 b1 = 20 变为 45，最优基发生变化，将45代入b1，
（0，0，9）?，最优值为117 。 重新用单纯形表解得最优解为
7．分析线性规划问题中?变化时最优解变化情况：
maxz?????3?2??x1??5???x2x1?4??2x?12?2st.??3x1?2x2?18? ?x1,x2?0解：化为标准型：
???0?
maxz?????3?2??x1??5???x2?0x3?0x4?0x5x1?x3?4??2x?x?12?24st.??3x1?2x2?x5?18??xj?0,j?1,2,...,501?1?A??020?320?单纯形表如下： ???0?
0100??4????0?b??12??18?1?? ?? C=(3?2?,5??,0,0,0)
0x4 0 1 0 0 0x5 0 0 1 0 4 12 18 b cB 0 0 0 xB x3 x4 x5 （3?2?）x1 （5??）x2 0x3 1? 0 3 0 2 2 1 0 0 0 ?
3?2? 5?? 以1?为轴心项，换基迭代得： cB xB x1 x4 （3?2?）x1 （5??）x2 0x3 1 0 0 2 1 0 0x4 0 1 0x5 0 0 4 b 3?2? 0 12 0 x5 0 0 2? -3 0 1 0 6 ? 当
5?? ?3?2? 0 ?12?8? ?>5时, ?<0,此线性规划模型有唯一解，最优解为
(x1,x2,x3,x4,x5)??(4,0,0,12,6)? 。
当?=5时, ?2=0且对应的列存在正数,有无穷个解。 当?<5时，?2>0, 以2?为轴心项，进一步换基迭代，得： b cB xB （3?2?）（5??）x2 0x3 0x4 0x5 x1 3?2? 0 x1 x4 x2 1 0 0 0 0 0 1 0 1 3 -3/2 0 1 0 0 -1 1/2 4 6 3 5?? ? 由于
0 211???22 51?27?5? ???22 ?<5，则?<0，此线性规划模型有唯一解，最优解为：
8．现有线性规划问题
(x1,x2,x3,x4,x5)??(4,3,0,6,0)?
maxz??5x1?5x2?13x3??x1?x2?3x3?20?st.?12x1?4x2?10x3?90?x1,x2,x3?0?（1）第一个约束条件的右端常数由常数20变为30； （2）第二个约束条件的右端常数由常数90变为70； （3）目标函数中x3的系数由13变为8；
先用单纯形法求出最优解，然后分析在下列各种条件下，最优解分别有什么变化？
??1??0????12???5??x???（4）1的系数列向量由变为?；
（5）增加一个约束条件 2x1?3x2?5x3?50；
（6）将原来第二个约束条件改变为 10x1?5x2?10x3?100
解：单纯形法求得最优单纯形表为
