二十六、 等比数列前n项和
【典型例题】
1例1 、? 例2、 C
5例3、解：在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.设前n项和为S1，第2个n项和为S2=S1q，
由②式得q+q=6，所以q=2或q=-3.
将q=2代入③式得S=112，将q=-3代入③式得S=-378.
例4、解：在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.设前n项和为S1，第2个n项和为S2=S1q，
2
由②式得q+q=6，所以q=2或q=-3.
将q=2代入③式得S=112，将q=-3代入③式得S=-378.
2
例5 12345n?1?Sn?2?3?4?5???n?1222222
?qSn?a1b1q?a2b2q???anbnq ?(1?q)Sn?a1b1?db2???dbn?anbn?1?Sn?d(b2?b3???bn)?a1b1?anbn?1
1?q ,
【基础训练】 1、解：∵
an?1an?2?q ∴an+2=anq，
anan?1∴
bn?1a2n?1?a2n?2a2n?1q?a2nq???q 且q≠0,b1=1+r≠0 bna2n?1?a2na2n?1?a2n,?q?1?n(1?r)??∴｛bn｝是首项为1+r，公比为q的等比数列，Sn??(1?r)(1?qn)
,?q?1?1?q?2、证明：∵ Sn+1=a1+qSn,Sn+2=a1+qSn+1
∴ S2n+1-SnSn+2 = Sn+1(a1+qSn)-Sn(a1+qSn+1) =a1(Sn+1-Sn)=a1an+1＞0 ∴ SnSn+2＜S2n+1
1
∴ log0.5(SnSn+2)＞log0.5S2n+1. ∴
log0.5Sn?log0.5Sn?2＞log0.5Sn?1.
23、解：经过一年，存鱼量为：2(1?25%)?x，
经过二年，存鱼量为：2(1?25%)2?x(1?25%)?x， 经
过
十
年
，
存
鱼
量
为
：
2(1?25%)10?x(1?25%)9?x(1?25%)8???(1?25%)x?x.
1?1.2510]?4， 根据题意，2?(1.25)?[x?1?1.25101.2510?2?x??0.44(万条). 102?(1.25)?1答：每年可供应市场4400条鱼.
4、解：(1)设某君有人民币a元，若长期储蓄，则x年后人民币总额为
y=a(1+0.06)x，即y=1.06x2a.
若购买股票，则x年后利息和红利总额为
y=［0.24+0.24(1+0.06)+0.24(1+0.06)2+?+0.24(1+0.06)x-1］a
0.24(1?0.06x)a， =
1?0.06即 y?4(1.06x?1)a.
(2)由1.06x2a=4(1.06x-1)a，得1.06x =
lg4?lg34?4.9368. ， 即x?lg1.063即大约经过5年，股票与储蓄拥有的人民币相等.
【能力提高】 一、填空题
1?a111. 32 2. 80 3. 70 4. 2046 5. 5 6. 11或
1?a1?a111?a117. 11或 8. 11或
1?a1?a
二、选择题
9、C 10、D 11、C 12、D 三、解答题 13、解： 当 q＞
5?1时，Bn-An＞0，得Bn＞An ； 22
当 q=
5?12时，Bn-An=0，得Bn=An . 当 0＜q＜
5?12时，Bn-An＜0，得Bn＜An . 14、3n-n-1. 15、解 (1)2n+1 (2)Tn=(n-1)2n+1+2. 16、解：(1)1998年的产量a6=1633(千克)
?448?(3)n?68n?448?(2) S??,?n?6n =?2
?9??20577?16330?(10)n?6,?n?7到2000年底的总产量S8=20577-163302(910)2=7349.7≈7350(千克). 十七、数列求和及数列实际问题
例1、解 ?1a?1(1?1), 1?1???1=1d(1a?1).
iai?1daiai?1a1a2a2a3anan?11an?1例2、(错位相减法)
1、解析：①若a=0时，Sn=0；
②若a=1，则S1n=1+2+3+?+n=2n(n?1)；
③若a≠1，a≠0时，Sn-aSn=a（1+a+?+an-1-nan），
San=
[1?(n?1)an(1?a)2?nan?1]. 2、 解: (1) 由于cos2n?3?sin2n?3?cos2n?3,故 S3k?(a1?a2?a3)?(a4?a5?a6)???(a3k?2?a3k?1?a3k)?(?12?2242?52(3k?2)2?(3k?1)2 2?32)?(?2?62)???(?22?(3k)))?132?312???18k?52?k(9k?4)2, S?Sk(4?9k)3k?13k?a3k?2,
S?S?k(4?9k)(3k?1)213k?213k?23k?1?a3k?12?2?2?k??3?6,
3
n1???,n?3k?2?36??(n?1)(1?3n),n?3k?1 (k?N*) 故 Sn??6??n(3n?4),n?3k?6?113、解：（I）在Sn??an?()n?1?2中，令n=1，可得S1??an?1?2?a1，即a1?
2当n?2时，S1n?1??an?1?(2)n?2?2，?aS?a1n?n?Sn?1?n?an?1?(2)n?1， ?2a11n?an?1?(2)n?,即2nan?2n?1an?1?1.
?bn?2nan,?bn?bn?1?1,即当n?2时，bn?bn?1?1. . 又b1?2a1?1,?数列?bn?是首项和公差均为1的等差数列.
于是bn?1?(n?1)?1?n?2nann,?an?2n. (II)由（I）得cn?1n?na1n?(n?1)(2)n，所以 T11131n?2?2?3?(2)2?4?(2)?K?(n?1)(2)n
12T?(12)2?3?(111n?22)3?4?(2)4?K?(n?1)(2)n?1 由①-②得1T1111n?1?(2)2?(2)3?K?(2)n?(n?1)(2)n?12
1[1?(1)n?1]?1?42?(n?1)(1)n?13n?31?12?2?2n?12 ?T?3?n?3n2nT5nn?35n(n?3)(2n?2n?1)n?2n?1?3?2n?2n?1?2n(2n?1) 于是确定T5nn与2n?1的大小关系等价于比较2n与2n?1的大小 由2?2?1?1;22?2?2?1;23?2?3?1;24?2?4?1;25?2?5;K 可猜想当n?3时，2n?2n?1.证明如下： 证：（1）当n=3时，由上验算显示成立。
（2）假设n?k?1时
24
2k?1?2g2k?2(2k?1)?4k?2?2(k?1)?1?(2k?1)?2(k?1)?1 所以当n?k?1时猜想也成立
综合（1）（2）可知 ，对一切n?3的正整数，都有2n?2n?1.
012n例3、解析：Sn?02Cn. ① ?3Cn?6Cn???3nCnnn?110 又Sn?3nCn. ② ?3(n?1)Cn???3Cn?02Cn所以Sn?3n22n?1.
例4、解：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，
1.310?1①甲获利：（万元）， 1?(1?30%)?(1?30%)???(1?30%)??42.630.329银行贷款本息：10(1?5%)10?16.29（万元）， 故甲纯利：42.63?16.29?26.34（万元）， ②乙获利：
1?(1?0.5)?(1?2?0.5)???(1?9?0.5)?10?1?10?9?0.5?32.50（万元）； 2银行本息和：1.05?[1?(1?5%)?(1?5%)2???(1?5%)9]
1.0510?1?1.05??13.21（万元）
0.05故乙方案纯利：32.50?13.21?19.29（万元）； 综上可知，甲方案更好. 【基础训练】
1、解析：?ak?12?，
1?2???kk(k?1) ?Sn?2[111????] 1?22?3n(n?1)1??1?2n?1??11??1 ?2[?1??????????? ?21??????2??23??nn?1??n?1?n?12、解析：?an?an,bn?n?anlga，
?Sn?(a?2a2?3a3???nan)lga……①aSn?(a?2a?3a???na)lga……②234n?1
①-②得：(1?a)Sn?(a?a2???an?nan?1)lga，
5
?Salga1?(1?n?na)nn?(1?a)2?a? 3、解：因为S0?a1nn?1?a0Cn1Cn???anCn， SanCn?100C1nn?1?nCn?an?1n???a0Cn?anCn?an?1n???a0Cn， ?2S01nn?1?(a0?an)Cn?(a1?an?1)Cn???(an?a0)Cn ?(aC01n0?an)(n?Cn???Cn)?(an0?an)2
?Sn?1?(a?10?an)?2n.
4、解：和为(1＋3＋??＋3n)＋(1113?32＋??＋3n)
3n?1=?12?1?3?n2=12(3n＋1
－3-n).
5、解：前n项中共有1?2???n?n(n?1)2个奇数， n(n?1)1?1?(n(n?1)故Sn?2?1)32n2(n?1)22[2]?4. 【能力提高】 一、填空题 1、5
解 n小时后有2n人得知，总数为1+2+22+?+2n=2n+1－1≥55．即2n+1≥56?n+1≥6?n≥5．2、a158、a9 3、
?1 (n?1)2 4、an=??2n?2 (n?2) 解 由an=an－1+an－2+?+a2+a1=Sn－1（n≥2），又an=Sn－Sn－1=an－1－an
∴an?1a=2（n≥2），由an－2
?1 (n?1)2=a1=1，∴an=2（n≥2），∴an=??2n?2 (n?2)
n5、2 6、
914 7、a1+2a2+3a3+?+nan=n(n+1)(n+2) ??①
a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1 =(n-1)n(n+1) ??② 由①-②得nan=n(n+1)(n+2-n+1)
∴a=3n+3=6+3(n-1), an(n-1)3n1=6，d=3. ∴Sn=6n+223=2(n2+3n).
8、10
二、选择题
9、B 10、C 11、C 12、B
6
三、解答题 13、4 5 32
解 （1）若aa11?m为偶数，则
2为偶, 故amam2?2 a3?22?4 ①当m4仍为偶数时，am8amm4???????6?32 故32?1?m?32
3m②当m?14为奇数时，a34?3a3?1?4m?1??????a6?44
3m?1故44?1得m=4。 （2）若a?m为奇数，则a3a3m?112?1?1?3m?1为偶数，故a3?2必为偶数??????a3m?13m?16?16，所以16=1可得m=5
14、解 设y?f(x)?kx?b，则f(2)=2k+b，f(5)=5k+b，f(4)=4k+b，依题意： ［f(5)］2=f(2)2f(4)． 即（5k+b）2=（2k+b）（4k+b）
化简得k（17k+4b）=0． ∵k≠0，∴b=－174k ① 又∵f(8)=8k+b=15 ② 将①代入②得k=4，b=－17．
∴Sn=f(1)?f(2)???f(n)=（431－17）+（432－17）+?+（4n－17） =4（1+2+?+n）－17n =2n2－15n．
15、解：设选择n年最合算，则年平均费用(单位：万元)为：
S =1n［(0.2+0.4+?+0.2n)+10+0.9n］
=1n［0.2?0.2n22n+10+0.9n］ =1n［n+0.1n2+10］ =n10+10n+1 ≥2n10?10n+1 =3
当且仅当
n10=10n即n=10时取等号。 故汽车使用10年报废最合算，年平均费用为3万元。
7
1n2
16、解：∵an,an+1是方程x-cnx+()=0的两根
31∴anan+1=()n,an+an+1=cn
31又 ∵a1=2 ∴a2=
61同理 an+1,an+2是方程x2-cn+1x+()n+1=0的两根
31∴an+1an+2=()n+1
3取立得
an?21= an311即a1,a3,a5?是公比为的等比数列，a2,a4,a6?是公比为的等比数列。
33n?111当n=2k-1时a1=2 a2k-1=22()k-1,即an=22()2
33111k-111n-1
当n=2k时，a2= a2k=(),即an=()2
66363?1?1n2,n为奇数?2?()??(1) an??3n?2
?1?(1)2,n为偶数??63(2)∵cn=an+an+1 当n为奇数时，n+1为偶数，有
n?1n?1n?1111131-1
cn=22()2+()2 =()2
36363nn?1?1n11151-1
当n为偶数时，n+1为奇数，有cn=()2+2()2=()2-1
633631315∴c1,c3?c2n-1为首项c1=，公比为的等比数列；c2,c4?c2n为首项c2=，
6361公比为的等比数列
3故 S2n=c1+c2+c3+c4+?+c2n-1+c2n=(c1+c3+?+c2n-1)+(c2+c4?+c2n)
5?1n?13?1n?1?()?1?()??6316?3?9?+?=? =［1-()n］
11231?1?33二十八、 数学归纳法、数列的极限
【典型例题】
8
?am(m?t)??b?t例1、D 例2、C 例3、??(m?t)??0??不存在?(m?t)????1??,d例4、（1）?2?d?1,?
?0?0
（2）d?0时，无极限；d?0时，
1 a1d2 (2) 1或－1
3
11x?2 (3) 将式子变形为，若极限值为，则?1， n331?x?2??3????3?n例5、(1)(0,] 解得?1?x?5.
例6、B 例7、2
例8、0.212??0.2?0.012210212?27??? 1990990331?100a1a2?amb1b2?bn?a1a2?am
99?900?0??????n个m个【基础训练】 111??1、2、15 2k?22k?1k
1?2?a(1?q?q)?24q?2q????3、解：(1)设公比为q，则q?1,?2?或2(舍去) ??2??a2?4?a?16?2(a2q?2)?a2?a2q?2所以an?2n (2)bn?11111??(?)log22nlog22n?2n(n?2)2nn?2,
11113?)所以Sn?(1??故limSn?
22n?1n?2 n???44、解：设存在a,b,c符合条件，则 令n=1，有a1=a+b+c=1
令n=2，有3(a1+a2)=(2+2)a2 得a2=3 有a2=4a+2b+c=3
令n=3，有3(a1+a2+a3)=(3+2)a3 得a3=6 有a3=9a+3b+c=6
11解得a=,b=,c=0
22 9
∴对n=1,2,3存在a,b,c使得an=∈N时，存在a,b,c使得an=
1n(n+1)且满足a1=1,3Sn=(n+2)an成立，推测n21n(n+1)且满足a1=1,3Sn=(n+2)an成立. 2证明：①当n=1时，由上述推测成立
1②假设n=k时，推测成立，即ak=k(k+1)且满足a1=1,3Sk=(k+2)ak，
2那么 ak+1=Sk+1-Sk
1111=［(k+1)+2］ak+1-(k+2)ak =(k+3)ak+1-(k+2)k(k+1) 33361则6ak+1=2(k+3)ak+1-(k+2)k(k+1)，所以ak+1=(k+1)(k+2)，即n=k+1时，推测也
2成立，由①②知n∈N时，推测都成立. 【能力提高】 一、填空题
11511、0 2、2 3、0； 4、． 5、-6、7、3 8、??4?a?2
3 32 3
二、选择题
9、D 10、A 11、D 12、C 三、解答题
13、解：如图，连结?ABC的各边中点得到一个新的?A1B1C1,又连结?A1B1C1的各边中点得到?A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：?ABC，?A1B1C1，
?A2B2C2，...，这一系列三角形趋向于一个点M。已知A(0,0),B(3,0),C(2,2),则点
52M的坐标是?ABC的重心，∴ M=(,)
33114、解 函数f?x??，点A0表示坐标原点，
x?1点An?n,f?n??n?N*，若向量
1??????????????????????????????1an?A0A1?A1A2???An?1An=A0An，?n是an与i的夹角，tan?n?n?1?nn(n?1)??设Sn?tan?1?tan?2???tan?n1111?????1?，则limSn=1．
n??1?22?3n(n?1)n?1n(n?1)?2?n(n?2) 215、解：由已知a1?3，d?2， ?Sn?n?3? 10
111?11??????Snn(n?2)2?nn?2?An?1??1??11??11?1??11??11??11?????????????????????????2?32435n?2nn?1n?1nn?2?????????????1?111?3n2?5n??1?????2?2n?1n?2?4(n?1)(n?2)3（2）limAn=
n??416、解：(1)A(T1)=
1321212sin60°= 24A(T2)=32
111433222sin60°++A(T1)== 233123111103 222sin60°+A(T2)=
299274(2)由分析知 an=an-1
3A(T3)=122
(Tn的边数是Tn-1边数的4倍且每边是原来的1/4)，故 an=32(
14411111∵=2()n-1 ∴lim(++?+)=3=
n??333an3a1a2an1?4二十九、无穷等比数列各项和
【典型例题】
24?x?5 例4、2 例1、④ 例2、A 例3、54n-1
) 3例5、（1）解 设这个等比数列的首项为a1，公比为q，且q?1，则各项平方也组成等比数列，其首项是a12，公比是q2（q2?1）
?a1?1?q?9???2??a1?27.
2??1?q91得?a1?，q?22k的等比数列；若k?0，则k满足已知； k?1
(2) B
（3）解 若k?0，则{an}是公比为
11
1k11?1?k??1，即 k?.
k2k?11?k?1【基础训练】
11、(?,??)2、D
2 3、 B 解：由
S10311可得，q?? ∴limSn??n??2S5322?? 131?(?)2?14、18
Sna1pn?1b1qn?1a1(q?1)pn?1?b1(p?1)qn?15、解：Sn? ?,??n?1n?1p?1q?1Sn?1a1(q?1)p?1?b1(p?1)q?1????????????分两种情况讨论：
0?（1）p?1， ?p?q?0，?q?1? p?limSnn??Sn?1??qn?1?1?????p?a1(q?1)?1??b(p?1)?1n?nn????p?p??a(q?1)??p??lim?p21?pn?1n??a1(q?1)??q?1?1??n?1????p?a1(q?1)?1?n?1??b1(p?1)?n?1?n?1??p?p????p?n(2) p?1, ?0?q?p?1
Sna1(q?1)(pn?1)?b1(p?1)(qn?1)?a1(q?1)?b1(p?1)?lim?lim??1. n??Sn??a(q?1)(pn?1?1)?b(p?1)(qn?1?1)?a1(q?1)?b1(p?1)n?111【能力提高】 一、填空题
a129271（0，1] 4、1 5、91、2D、3、6、7、16 8、.4 1?q2 28 4 2 二、选择题
9、D 10、C 11、A 12、A 三、解答题
13、(1) q?1?a12 ??2?a1?2?,?a1??1,a?1?0
a1,???k?0,?k?2 (2)an?k?n?1?q?1?k1?q
12
14、（1）an?
2kn?11() （2）k? 1?kk?1 2?a1?a1?3?1?q?9????15、解: (1)依题意可知,?22
q?a811???3?2?51?q??2?(2)由(1)知,an?3????3?n?1,所以数列T(2)的的首项为t1?a2?2,公差
d?2a2?1?3,
S10?10?2?1?10?9?3?155,即数列T(2)的前10项之和为155. 2i?1?2?(3) bi=ai??i?1??2ai?1?=?2i?1?ai??i?1?=3?2i?1????3?n??i?1?，
nSn4518n?27?2?n?n?1??2?n?n?1?，limm=limm? Sn?45??18n?27???????mmn??n??n2nn2n?3??3?当m=2时，limSnSn1lim=－，当m>2时，=0，所以m=2
n??nmn??nm2an1??1且an?0,n?N* 2an16、数列?an?中，前n项和sn?解 ： ?1?n?1时a1?s1?a11??1 2a1?a12?2a1?2?0,又a1?0,则a1?3?1 同理得，a2?5?3 猜想an?2n?1?2n?1 证明：n=1时，a1?3?1
假设n=k 时，猜想正确，即ak?2k?1?2k?1 又ak?1?sk?1?sk?ak?1a11??k? 2ak?12ak?ak?1?2k?3?2k?1?2?k?1??1?2?k?1??1 即n=k+1时也成立
13
?对n?N*都有an?2n?1?2n?1
（2）（2）单调递减得an?22n?1?2n?1?23?1?3?1?t?3?1
（3）lim11?lim?0?p?0 n??Sn??2n?1?1n三十、平面向量的概念及运算
【典型例题】
例1、解 (1)不正确；a?b?a?b?a?b，若a、b有相同的起点，则终点共圆； ????????????????????????(2)正确；∵ AB?DC，∴ |AB|?|DC|且AB//DC，又 A，B，C，D是不共线的四点，
2222????????AB//DC∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，????????????????且|AB|?|DC|，因此，AB?DC；
??????(3)不正确；当a//b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故??????|a|=|b|且a//b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件； ?? (4)不正确； b=0时不成立； (5)不正确；0?a为零向量；
(6)正确；∵点P在直线AB上，∴AP??AB ?OP?OA?=?OB-?OA， 即OP=(1??)OA??OB，?????1；
(7)正确
????????(8)不正确；若a?b且a?c，a?0时也有a?b?a?c成立；
(9)正确；［（b2c）a－（c2a）b］2c=（b2c）a2c－（c2a）b2c=0，即垂直；
(10)正确；（3a+2b）（3a－2b）=92a2a－4b2b=9|a|2－4|b|2 成立；
??(11)不正确；b=0时不成立； (12)不正确 0 14 综上所述，正确命题的序号是(2)(6)(7)(9)(10). 例2 D ??????????????????????????例3、解 BA?BC?BA?AO?BO，BO=a＋b， ??????????OE= BO=a+b， ????????由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以BF=BOaBbAFOE?????????????????＋OF=BO+BA=a+b+a=2a+b， CD????????????????????????同样在平行四边形 BCDO中，BD＝BC?CD＝BC?BO＝b＋(a＋b)＝a???????????????＋2b，FD＝BC?BA＝b－a。 ?????1?例4、解：原方程可化为：(2x ? 3x) + (?5a+a) + (4b?3b) = 0， 2??9?∴x =?a+ b。 2例5、B 【基础训练】 27AD?(b?a) 2、? 1、?333、解、设∠AOB的平分线与边BC的交点为E，∵ OBOA?BEEA?5， ∴ BE1313，即OE?（?,）， ?5，则点E的坐标是（?,）2222EA∵点C在∠AOB的平分线上且|OC|=2 , 又 21010310,). OE, 即OC?(?555OCOE?210 ， 5∴OC?34、解：由题设：BM=3MA ∴BM=BA 421又：SAMNC?S?ABC ∴S?BMN?S?ABC 33111即：|BM||BN|sin?ABC =?|BA||BC|sin?ABC 23234又 |BM| =|BA| ∴ |BN| = |BC| 49 BMANC例 7 15 4 ∴BN=NC 即N分BC的比为4:5, 设N(x, y) 54??1??2?15??x?43?1??175(,) ∴点N的坐标是?439?3??(?2)75?y???491??5?【能力提高】 一、填空题 11、(5,0)或(8,-3) 2、3 3、m? 4 、?1 5、（2，4） 26、x2?2y2?2 7、3 8、① 二、选择题 9、C 10、B 11、B 12、A 三、解答题 13、解 已知得|b|?1，|a|?m2?n2?4， 因此a?b?mcos??nsin??m2?n2sin(???)?4sin(???)?4， 由于a?b??2恒成立，所以?2?4，解得??2或???2. 14、设M(x,y)，则OM?(x,y)，又OA?(2,?1),OB?(?1,1)，所以由 ??????????????x?2m?nOM?mO?AnO得，由2m2?n2?2(x,y)?(2m,?m)?(?n,n)，于是??y??m?n消去m, n得M的轨迹方程为：x2?2y2?2. ABACBDDC15、解 由AD是△ABC的一条角平分线，得 ??? 在?ABD中，AD=a?BD=a??DC?a?abDC，（1） 在?ACD中，AD=b?CD=b?DC，（2） （1）?b +（2）?a 得 AD?ab?baa?b . 16 16、解析：（1）若a与b平行，则有 1?1?sinx?0，?cos2x??2，因为x?(0,]， sinxsinx2所以得cos2x??2，这与|cos2x|?1相矛盾，故a与b不能平行. 2?cos2x2?cos2x1?2sin2x1（2）由于f(x)?a?b?，又因????2sinx?sinxsinxsinxsinxsinx?3为x?(0,]，所以sinx?(0,]， 32于是2sinx?1112inx?当2s，即s时?22sinx??22，inx?sinx2sinxsinx取等号.故函数f(x)的最小值等于22. 三十一、平面向量的性质及应用 【典型例题】 例1、解 ∵OA?(?2,m)，OB?(n,1)，OC?(5,?1)， ∴ = － =（7，－1－m），= － // =（n+2，1－m）． ． ∵A，B，C三点在一条直线上， ∴向量 于是，7(1?m)?(?1?m)(n?2)，即mn?5m?n?9?0 ①． 又 ⊥ ， ∴ 2 =0，即 ?2n?m?0 ② 3 . 2n?①②联立解得m?6,?n?3或m?3,?(2) 解：BD=CD?CB=(2e1?e2)?(e1+3e2)=e1?4e2 ∵A, B, D共线 ∴AB,BD共线 ∴存在λ使AB=λBD ?2??即2e1+ke2=λ(e1?4e2) ∴? ∴k=?8 k??4??5?m????m?4n?39. 例2、解析：（1）由题意得?3,2??m??1,2??n?4,1?，所以?，得?8?2m?n?2?n?9?????（2）a?kc??3?4k,2?k?,2b?a???5,2?， ?2??3?4k????5??2?k??0,?k??16； 13 17 ????（3）法一 d?c??x?4,y?1?,a?b??2,4??a?b?25 1d?c??(a?b)??(1,2)，?d?(5,3)或(3,?1). ??2?4?x?4??2?y?1??0?x?3?x?5法二 由题意得?，得或 ??22????x?4?y?1?5y??1y?3???????例3、解：（1）因为a?(1,0),b?(2,1). 所以a?3b?(7,3) ??则 |a?3b|?72?32?58 ????（2）ka?b?(k?2,?1)，a?3b?(7,3) ?1???因为ka?b与a?3b平行，所以3(k?2)?7?0即得k??. 3????7????此时ka?b?(k?2,?1)?(?,?1)，a?3b?(7,3)，则a?3b??3(ka?b)， 3????即此时向量a?3b与ka?b方向相反. 例4、解：（1）如图延长AG交BC与F，?G为△ABC的中心 11?F为BC的中点，则有AF?AB?AC 222?AD?mAB，AE?nAC，AG?AF 331111AD?AE 即AG?AD?AE ?AG?22m2n3m3n?D、G、E三点共线 1111??1 故?＝3 ?3m3nmn（2）?△ABC是边长为1的正三角形 ?AD?m，AE?n ?S?ADE＝ 3mn 411?=3，0＜m?1,0 3m?1m2由 33m2mn＝ ?S?ADE＝443m?11112设t=m-则m=t+（?t?） 3363?S?ADE= 1233mn=（t++） 9t341218 易知f?t??t?1?11??12?在?,?为减函数，在?,?为增函数. 9t?63??33?123 ?t=时，f?t?取得最小值，即S?ADE取得最小值 33953?1??2?5又f???f???，?f?t?取得最大值是，则S?ADE取得最大值 68636????【基础训练】 1、解（1）f(x)=2cos2x+3sin2x=1+2sin(2x+由 1+2sin(2x+ ∵- ?). 6??3)=1-3，得 sin(2x+)=-. 662???????5?≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-， 即 x=-. 33266346（2）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象. ???由（1）得 f(x)=2sin2(x+)+1. ∵|m|<，∴m=-，n=1. 212122、证：由sinA、sinB、sinC成公差为正的等差数列，得 a+c=2b，且a>b>c． 因a+b+c=12，故a+c=8，即|BC|+|BA|=8为定值．又8>|AC|=4，且|BC|>|BA|， 故B的轨迹是以A、C为焦点，8为长轴长，在y轴左侧且除去顶点的椭圆的一部分． 并且存在定点E、F，它们分别为A、C，从而它们的坐标分别为（-2，0），（2，0）． 3、解 (1)由题意c2?5，设|PF1|?|PF2|?2a（a?5），由余弦定理, 得 |PF1|2?|PF2|2?|F1F2|22a2?10cos?F1PF2???1． 2|PF1|?|PF2||PF1|?|PF2| 又|PF1|2|PF2|?(|PF1|?|PF2|2)?a2， 2当且仅当|PF1|?|PF2|时，|PF1|2|PF2| 取最大值， 2a2?102a2?101?1???1此时cos?F1PF2取最小值，令， 229aa解得a2?9，?c?5，∴b2?4， x2y2??1. 故所求P的轨迹方程为94 19 （2）设N(s,t)，M(x,y)，则由DM??DN，可得(x,y?3)??(s,t?3)， 故x??s,y?3??(t?3). s2t2(?s)2(?t?3?3?)2??1， ∵M、N在动点P的轨迹上，故??1且9494(?t?3?3?)2??2t213??5?1??2，解得t?消去s可得， 6?413??51|?2，解得???5， 6?51故实数?的取值范围是[,5]． 5【能力提高】 一、填空题 又|t|?2，∴|1、?2 2、x?2y?5?0 3、重心 4、a=(?1，?2) ； 165、??? 6、4b 7、|3a?b|?23 8、 25二、选择题 9、（理）A （文）A 10、C 11、D 12 D 三、解答题 13、解：(1)若a?b，则sin??cos??0，得tan???1 (－ (2)由a?(sin?,1)，b?(1,cos?) 得｜a?b｜＝(sinθ＋1)2＋(1＋cosθ)2 ＝3＋2(sinθ＋cosθ)＝当sin(?＋ πππ ＜?＜)，?＝－； 224 3＋22sin(θ＋ π )， 4 ππ )＝1时，即当?＝时，｜a?b｜取得最大值，最大值为2＋1． 44 14、解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量， 无风时此人感到风速为?a，设实际风速为v，那么此时人 感到的风速为v ?a， 设OA= ?a，OB= ?2a ∵PO+OA=PA ∴PA= v ? a，这就是感到由正北方向吹来的风速， ∵PO+OB=PB ∴PB= v ?2a，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB，由题意：?PBO = 45?, PA?BO, BA = AO 从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO = PB =2a, 即：|v | =2a 20 ???(?2k)2?8(1?k2)?0,??k22?0,令f(x)?(1?k)x?2kx?2，则? 解得1?k?2， 2?1?k??(1?k2)?f(?1)?0,xx?x22?k1?k2，y0?kx0?1?10?21?k2． ∴直线l的方程是y?ox?21? 1?k2?0k1?k2?2令x?0，得b?y?21?2k2?k?2??(k?1)217． 4?16∵1?k?2， ∴b?2?2或b?2． 【基础训练】 1、ab?0 2、11；(-5,0) (5,0)；(4,0) (-4,0) y??3244x；arctan7. (反三角表示) x2y23、 (1) 9?7?1(x??3) (2)x2y2 9?7?1 (3) y?0?x??4或x?4? (4) 无. (5) 2或22. 4、3x?4y?5?0 5、（1）解：（1）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组 ??x2?2?y2?1, 得（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ① ?a?x?y?1.所以???1?a2?0.?4a4?8a2(1?a2)?0.解得0?a?2且a?1. ?（2）（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),P1(0,1) ?PA?512PB,?(x1,y1?1)?512(x2,y2?1).由此得x1?512x2. 由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0， 41 172a2所以x2??,121?a217由a?0,所以a?.13522a22a2289x2??.消去,x,得??2121?a21?a260 【能力提高】 一、填空题 x2y2?1(x??3) 1、?9162、y??15(x?2) 5210 4、90° y2x2??1 5、 328913 17、 38、若m=0，则点P的轨迹是线段M、N的中垂线； 6、 若 m?1，则点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线； 若 m??1，则点P的轨迹是以M为端点，x轴负方向的射线和以N为端点x轴正方向的双射线. 二、选择题 9、C 10. C 11、C 12、A 三、解答题 13、设P（x,y）, A(0,4) ,B(0,-4),原式可为 PA?PB?2a （1）若a?0，AB?8 ①当 8?2a，即 0 (2) 若 a = 0 表示线段AB的垂直平分线，即为x轴； (3) 若 a?0，原式可为 PB?PA??2a 42 ① 当8??2a，即 -4 14、解：设圆心C(x,y),半径为r， 由圆C过定点A（-5，0）得 CA = r ， 由点A在圆B上，知当圆C与圆B外切时， CB?8?CA，即 CB?CA?8 又 AB?8，所以点C的轨迹是以A为顶点x轴负方向的射线； 当圆C与圆B内切时， CB?8?r 或 CB?r?8 ， 即 CB?CA?8 或 CA?CB?8， 又 AB?8，所以点C的轨迹是以A、B为端点的线段或是以B为顶点x轴正方向的射线； 综上，点C的轨迹是直线y?0,即为x轴. 15、解：设圆心C(x,y),半径为r， 由圆C过定点A（-5，0）得 CA = r ， 由点A在圆B内，且圆C与圆B 相切，得 CB?8?r，即 CB?CA?8，又 AB?6?8 所以动点C的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，其中2c = 6 , 2a = 8,且 b2?a2?c2?16?9?7. x2y2?1 . 所以圆心C的轨迹方程是 ?167?3x2?y2?12216、(1) 解：（1）联立方程?，消去y得：(3?a)x?2ax?2?0. ?y?ax?12??3?a?0因为直线与曲线有两个交点，所以 ? 22????(2a)?8(3?a)?0即a?(?6,?3)?(?3,3)?(3,6). 43 2a?x?x?12?3?a2?2?x1x2??(2)? 设A(x1,y1),B(x2,y2)由于以AB线段为直径的圆经23?a?2???(2a)?8(3?a2)?0??????????过原点，那么：OA?OB，即x1x2?y1y2?0。 (a2?1)?所以 x1x2?(ax1?1)(ax2?1)?0，得到： ?22a2?a??1?0 a?6，223?a3?a解得a=?1. (3)假定存在这样的a，使A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y?1x对称。 222?3x?y?1y?y23(x1?x2)?22那么：?1212，两式相减得：3(x12?x2，即1 ?)?y12?y2x1?x2y1?y2??3x2?y2?1?y1?y21x1?x2???221?2因为A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y?x对称，所以? y?y22?1??2??x1?x2代入（*）式得到：-2=6，矛盾。即不存在这样的a，使A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y? 1x对称. 2 44
