数列知识点和常用的解题方法归纳
一、 等差数列的定义与性质
定义：an?1?an?d(d为常数)，an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y
前n项和Sn??a1?an?n?na21?n?n?1?2d
性质：?an?是等差数列
（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；
（2）数列?a2n?1?，?a2n?，?kan?b?仍为等差数列； Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等差数列；
（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d； （4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则amS2m?1?； bmT2m?1 （5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为 0的二次函数）
Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界 项，即：
当a1?0，d?0，解不等式组??an?0可得Sn达到最大值时的n值。
?an?1?0 当a1?0，d?0，由??an?0可得Sn达到最小值时的n值。
a?0?n?1
如：等差数列an，Sn?18，an?an?1?an?2?3，S3?1，则n? （由an?an?1?an?2?3?3an?1?3，∴an?1?1
??又S3??a1?a3?·3?3a22?1，∴a2?1 3?1???1?na1?an?n?a2?an?1?·n?3?????18 ?n?27） ∴Sn?222
1
二、等比数列的定义与性质 定义：an?1?q（q为常数，q?0），an?a?1a1qn n 等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy
?na1(q?1) 前n项和：S?nn??a?（要注意!） ?1?1?q?1?q(q?1) 性质：?an?是等比数列
（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq （2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等比数列 三、求数列通项公式的常用方法
1、公式法
2、由Sn求an；（n?1时，a1?S1，n?2时，an?Sn?Sn?1） 3、求差（商）法
如：?a1n?满足2a111?22a2????2nan?2n?5?1?
解：n?1时，12a1?2?1?5，∴a1?14
n?2时，12a12????11?2a22n?1an?1?2n?1?5?2?
?1???2?得：1n??14(n?1)2nan?2，∴an?21 ，∴an???2n?1(n?2)［练习］
数列?a5n?满足Sn?Sn?1?3an?1，a1?4，求an （注意到an?1?Sn?1?Sn代入得：Sn?1S?4 n 又S1?4，∴?Sn?是等比数列，Sn?4n n?2时，an?1n?Sn?Sn?1????3·4
4、叠乘法
例如：数列?aan?1n?中，a1?3，a?n，求an nn?1
2
解：
a2aa12n?aa·3a??n?·??1，∴n?1 12an?123na1n 又a31?3，∴an?n 5、等差型递推公式
由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法
n?2时，a2?a1?f(2)? a)?3?a2?f(3??????两边相加，得：
?an?an?1?f(n)?? an?a1?f(2)?f(3)????f(n) ∴an?a0?f(2)?f(3)????f(n) ［练习］
数列?a?1n?，a1?1，an?3n?an?1?n?2?，求an （an?12?3n?1?） 6、等比型递推公式
an?can?1?d?c、d为常数，c?0，c?1，d?0? 可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x?
?an?can?1??c?1?x
令(c?1)x?d，∴x?dc?1 ∴??ad??n?c?1??是首项为a1?dc?1，c为公比的等比数列 ∴ac?1????ad?n?1n?d1?c?1??·c ∴a?d?n???a1?c?1??cn?1?dc?1 ［练习］
数列?an?满足a1?9，3an?1?an?4，求an
3
?4? （an?8????3? 7、倒数法
n?1?1）
例如：a1?1，an?1?2ana?2111 ，求an ，由已知得：?n??an?2an?12an2an ∴1an?1??1?1111? ， ???为等差数列，?1，公差为 an2a12?an? ?2111 ?1??n?1?·??n?1? ，∴an?n?1an22三、 求数列前n项和的常用方法
1、公式法：等差、等比前n项和公式
2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：?an?是公差为d的等差数列，求1 ?aak?1kk?1n111?11?解：由??????d?0?
ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?n11?11? ∴??????
ak?1?k?1akak?1k?1d?akn?
?11??11??11?1??????????????????d??a1a2??a2a3??anan?1??1?11????d?a1an?1?
?［练习］ 求和：1?111????? 1?21?2?31?2?3????n1） n?1 （an??????，Sn?2? 3、错位相减法：
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项
和，可由Sn?qSn求Sn，其中q为?bn?的公比。
如：Sn?1?2x?3x?4x????nx23n?1?1?
4
x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?????n?1?xn?1?nxn ?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x2????xn?1?nxn x?1时，Sn?2?
1?x?nx???nn?1?x?21?x
x?1时，Sn?1?2?3????n?n?n?1?2
4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
Sn?a1?a2????an?1?an?? ?相加
Sn?an?an?1????a2?a1?? 2Sn??a1?an???a2?an?1??????a1?an??? ［练习］
x2?1??1??1?已知f(x)?，则f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f???????2?????4?231?x?1????x?2
x?1? （由f(x)?f?????x?1?x22x21???1 2221?x1?x?1?1????x??1???3???1??4? ∴原式?f(1)??f(2)?f?????f(3)?f?????f(4)?f???
?????????1???2?? ?11?1?1?1?3）22
例1设{an}是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列{an}前8项的和为（ ）
A．128 B．80 C．64 D．56 （福建卷第3题）
略解：∵ a2 +a7= a1+a8=16，∴{an}前8项的和为64，故应选C．
例2 已知等比数列{an}满足a1?a2?3，a2?a3?6，则a7?（ ） A．64
答案：A．
B．81
C．128
D．243 （全国Ⅰ卷第7题）
例3 已知等差数列?an?中，a2?6，a5?15，若bn?a2n，则数列?bn?的前5项和等于（ ）
A．30
B．45
C．90
D．186 （北京卷第7题）
略解：∵a5-a2=3d=9，∴ d=3，b1=a2?6，b5=a10=30，?bn?的前5项和等于90，
5
故答案是C．
例4 记等差数列的前n项和为Sn，若S2?4,S4?20，则该数列的公差d?（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7 （错误！未找到引用源。第4题） 略解：∵S4?S2?S2?4d?12,d?3,故选B. 例5在数列{an}中，an?4n?5*，a1?a2???an?an2?bn，n?N,其中a,b为2常数，则ab? ．（安徽卷第15题）
答案：－1．
例6 在数列{an}中，a1?2， an?1?an?ln(1?)，则an?（ ）
A．2?lnn B．2?(n?1)lnn
C．2?nlnn D．1?n?lnn（江西卷第5题） 答案：A．
例7 设数列?an?中，a1?2,an?1?an?n?1，则通项an? ___________．（四川卷第16题）
此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住an?1?an?n?1中an?1,an系数相同是找到方法的突破口．
略解：∵a1?2,an?1?an?n?1 ∴an?an?1??n?1??1，an?1?an?2??n?2??1，
1nan?2?an?3??n?3??1，?，a3?a2?2?1，a2?a1?1?1，a1?2?1?1．将以上各式相
加，得an????n?1???n?2???n?3????2?1???n?1?应填
?n?1?n?n?1?n?n?1??1，故
22n(n?1)+1． 21n4
例8 若(x+)的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x项的系数为
2x( )
A．6 B．7 C．8 D．9 (重庆卷第10题) 答案：B．
使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题．例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第1题，浙江卷第4题，陕西卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国Ⅱ卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习．
例9 已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（an,an?1）（n?N*）在函数y=x2+1
6
的图象上. (Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式； (Ⅱ)若数列｛bn｝满足b1=1，bn+1=bn+2n，求证：bn·bn+2＜b2n+1. （福建卷第20题）
略解：（Ⅰ）由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列．故an=1+(n-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，an=n，从而bn+1-bn=2n，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+?+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+?
nn+2
+2+1=2n-1．∵. bn?bn+2-b2-1)-(2n+1-1)2= -2n＜0, ∴ bn·bn+2＜b2n?1=(2-1)(2n?1．
a
对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明：
2nn+1n+1nnn+1nn+1
∵ b2=1,bn·bn+2- b2=(b-2)(b+2)- b=2·b-2·b-2·2＝2（b-2）n+1n+1n+1n+1n+1n?1n?1=2n（bn+2n -2n+1）=2n（bn-2n）=?=2n（b1-2）=-2n<0，∴ bn-bn+2 例10 在数列?an?中，a1?1，an?1?2an?2n．（Ⅰ）设bn?an．证明：数列?bn?2n?1是等差数列；（Ⅱ）求数列?an?的前n项和Sn．（全国Ⅰ卷第19题） an?1anan?1?2an2n略解：（Ⅰ）bn?1?bn=n?n?1==n=1，则?bn?为等差数列，b1?1， 222n2bn?n，an?n2n?1． （ Ⅱ ） Sn?1?20?2?21???(n?1)?2n?2?n?2n?1． 两 式 相 减 ， ，得 2Sn?1?21?2?22???(n?1)?2n?1?n?2nSn?n?2n?1?20?21???2n?1?n?2n?2n?1=(n?1)2n?1． 对于例10第（Ⅰ）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数．可以用迭代法，但不可由b2-b1=1，b3-b2=1等有限个的验证归纳得到?bn?为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误．第（Ⅱ）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很 高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示． 例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第18题，江苏卷第19题，辽宁卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主． 例11 等差数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，a1?3，{bn}为等比数列, b1?1，且b2S2?64,b3S3?960．(Ⅰ)求an与bn； (Ⅱ)求和： 111????．（江西卷第19S1S2Sn7 题） 略解：(Ⅰ)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，依题意有??S2b2?(6?d)q?64,2?S3b3?(9?3d)q?960.6?d??,?d?2,??5解之，得?或?(舍去，为什么？)故an?3?2(n?1)?2n?1,bn?8n?1． ?q?8;?q?40.?3?（ Ⅱ ） Sn?3??5?n?(?n，?n∴ ?1111111??????????S1S2Sn1?32?43?5n(n?2)??111111(1??????23243511111132n?3?)?(1???)??． nn?222n?1n?242(n?1)(n?2)“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法． 使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度．数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用． 例12 设数列?an?的前n项和为Sn?2an?2n，（Ⅰ）求a1,a4；（Ⅱ）证明： ?an?1?2an?是等比数列；（Ⅲ）求?an?的通项公式．（四川卷第21题） 略解：（Ⅰ）∵a1?S1,2a1?S1?2，所以a1?2,S1?2．由2an?Sn?2n知， 2an?1?Sn?1?2n?1∴ ?an?1?Sn?2n?1， 得， an?1?Sn?2n?1 ①， a2?S1?22?2?22?6,S2?8a3?S2?23?8?23?16,S3?24a4?S3?24?40． n?1?Sn?2n?2n?1?2n?2n，∴ （Ⅱ）由题设和①式知，an?1?2an?Sn?2?????an?1?2an?是首项为2，公比为2的等比数列． （Ⅲ） an??an?2an?1??2?an?1?2an?2????2n?2?a2?2a1??2n?1a1??n?1??2n?1 此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等．推移脚标，两式相减是解决含有Sn的递推公式的重要手段，使其转化为不含Sn的递推公式，从而有针 8 对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向． 例13 数列?an?满足a1?0,a2?2,an?2?(1?cos2n?n?)an?4sin2,n?1,2,3,?,22k2?（I）求a3,a4，并求数列?an?的通项公式；（II）设Sk?a1?a3???a Wk?Tk?a2?a4???a2k，南卷第20题） 略解：（I） ，12Sk求使Wk?1的所有k的值，并说明理由．（湖(k?N?)， 2?Tka3?(1?cos2?2)a1?4sin2?2?a1?4?4,a4?(1?cos2?)a2?4sin2??2a2?4,一般地, 当n=2k?1(k?N?)时， a2k?1?[1?cos2(2k?1)?(2k?1)?]a2k?1?4sin2?a2k?1?4,即a2k?1?a2k?1?4. 22所以数列?a2k?1?是首项为0、公差为4的等差数列，因此a2k?1?4(k?1).当 n=2k(k?N?)时，a2k?2?(1?cos22k?2k?)a2k?4sin2?2a2k,所以数列?a2k?是首项22为2、公比为2的等比数列，因此a2k?2k.故数列?an?的通项公式为 ??2(n?1)n,?k2?k1?(N?an??n ?2?k(k?N).?2,n?2),（II）由（I）知， Sk?a1?a3???a2k?1= 0?4???4(k?1)?2k(k?1),Tk?a2?a4???a2k2?22??2k?2k?1?2,Wk?于是，W1?0,W2?1,W3?下面证明: 当 2Skk(k?1)?. 2?Tk2k?133515,W4?,W5?,W6?. 22416k?6时，Wk?1.事实上, 当k?6时， Wk?1?Wk?(k?1)kk(k?1)k(3?k)???0,即Wk?1?Wk.又W6?1,所以当k?6时，kk?1k222Wk?1.故满足Wk?1的所有k的值为3,4,5. 9
