2?8?0.4. ??5分
2?8?9?5?12(II)测试结果为优秀等级[0,50)的有50?设为a、b、c、d ???4天，
2?8?9?5?16分
测试结果为重度污染等级[200,250]的有50?
??7分
1?2天，设为x、y
2?8?9?5?1设抽取的两份数据为m、n，则(m,n)共有如下15种情况：
(a,b)、(a,c)、(a,d)、(b,c)、(b,d)、(c,d)、(x,y)、(a,x)、(a,y)、(b,x)、(b,y)、(c,x)、(c,y)、(d,x)、
(d,y)， ??9分
两份数据都是优秀等级的有如下6种情况：(a,b)、(a,c)、(a,d)、(b,c)、(b,d)、(c,d) ??10分
设“两份数据都是优秀等级”为事件A，则P(A)?答：抽出的两份数据都是优秀等级的概率为
62?. 1552 ??12分 517.（Ⅰ）证法一：取PD中点E，连结EA、EF，
∵E、F分别是PD、PC的中点，
1∴EF//DC，又DC//AB，且EF?DC?AB，
2∴EF//AB，且EF?AB
∴四边形EFBA是平行四边形， ??2分 ∴AE//BF ??3分
又∵AE?面PAD，BF?面PAD， ??4分 ∴EF?平面PAD ??5分 证法二：取DC中点M，连结FM、BM
∵F、M分别是PC、DC的中点，∴FM//PD，
PEDFCAB又∵PD?面PAD，FM?面PAD，∴FM?平面PAD ??1分 ∵DM//AB，且DM=AB，∴四边形ABMD是平行四边形，∴BM//AD 又∵AD?面PAD，BM?面PAD，∴BM?平面PAD ??2分 PFFM?BM?M，FM、BM?面BMF，∴面BMF?平面PAD??4
DMCAB分
∵BF?面BMF，∴BF?平面PAD ??5分 （Ⅱ）
证法一：顶点P在底面ABCD的射影落在线段AC上， 设为H，则PH?面ABCD
∵BD?面ABCD，∴PH?BD ??6分 ∵Rt?ABD中，
AD12AB2??，Rt?DAC中，， ?DC2AD22P∴Rt?ABD∽Rt?DAC，∴?DAC??ABD，故?ABD??CAB?90?
即AC?BD ??8分
又∵PH?AC?H，PH、AC?面PAC，∴BD?面PAC ??9分
FBD?面PBD，∴面PBD?面PAC ??10分
证法二：顶点P在底面ABCD的射影落在线段AC上，设为H，
DHCDBD?面ABCD，∴PH?BD 则 PH?面ABC，∵
AB??6分
在平面ABCD上，以A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面
直角坐标系，得A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(2,1)，由2????????2AC?BD?(2,1)?(?,1)?0，
2得AC?BD ??8分 又∵PH?AC?H，PH、AC?面PAC，∴BD?面PAC ??9分
BD?面PBD，∴面PBD?面PAC ??10分
(III) 解法一：∵PA?PC?1，∴顶点P在底面ABCD的射影H落在线段AC的中点上，且由AC?1?2?3知PH?1?(321)? ks5u ??11分 22P∵F分别是PC的中点，∵F到面PDB的距离是C到面PDB的距离的分
1??122DHAOBF2111111 ??14分 VP?DBF?VC?PDB?VP?DBC???(?2?1)??24222322C
解法二：割补法
∵PA?PC?1，∴顶点P在底面ABCD的射影H落在线段AC的中点上，且由
AC?1?2?3知PH?1?(321)? ??11分 22∵F分别是PC的中点，∵F到面PDB的距离是C到面PDB的距离的
1 ??12分 212?1112?112VP?DBF?VP?BCD?VF?BCD??????? ??14分
32232424解法三：∵PA?PC?1，∴顶点P在底面ABCD的射影H落在线段AC的中点上，且由
AC?1?2?3知PH?1?(设AC?BD?O，则 ∴VF?PDB?VD?POF
其中
321)? ??11分 22AO1?由（Ⅱ）知BD?面PAC ??12分 OC2111?VB?POF??SPOF?DH??SPOF?DB??SPOF?DB
3331113112313S?POF?S?PAC?S?PAO?S?FCO??3??????????13分
22232234121322VP?DBF???1?()2? ??14分
31222418.解：（I）设f(x)?ax?bx?c(a?0)，由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y轴对称，
则?2b?0，即b?0，故f(x)?ax2?c. ??1分 2a∵不等式f(x)?4x的解集为x1?x?3，
∴a?0且x1?1,x2?3是方程f(x)?4x?0即ax?4x?c?0的两根.
2??4?1?3???a由韦达定理，得?，解得：a?1,c?3. ??5分
?1?3?c?a?∴f(x)?x?3. ??6分ks5u
2b2b2b（II）由（I）知，F(x)?x?bx?3?(x?)?3?，对称轴x??. ??7分
2422下面分类讨论：
① 当?b?2，即b??4时，F(x)在[?1,2]上为减函数， 2∴ F(x)min?F(2)?2b?7?1，得b??3(舍去). ??9分
bb2b② 当??(?1,2)，即?4?b?2时，F(x)min?F(?)???3?1，
242∴b??22或b?22(舍去). ??11分 ③ 当?b??1，即b?2时，F(x)在[?1,2]上为增函数， 2 ∴F(x)min?F(?1)?4?b?1，得b?3. ??13分 综上所述，b??22或b?3为所求. ??14分 19.解：(I)设数列 {an}的公比为q，由2(S4?a4)?S2?a2?S3?a3， ??1分
2得(S4?S2)?(S4?S3)?2a4?a2?a3，即4a4?a2，所以q?1， ??3分 4∵{an}是单调数列，∴q?1， ??4分 21an?()n?1 ??5分
2(II) b1?2，∵bn?1bn?bn?1?bn?0，∴1?1111??0，即??1，??6分 bnbn?1bn?1bn 即{11}是以为首项，1为公差的等差数列， ??7分 bn2故
112n?12??(n?1)?, 即bn? ??9分 bn222n?1ancos(n?)2n?12n?11nn?cos(n?)?(?1)?(2n?1)?(?) ??10分 nnbn222(III) cn?1111Tn?1?(?)?3?(?)2?5?(?)3???(2n?1)?(?)n
2222111111?Tn?1?(?)2?3?(?)3?5?(?)4???(2n?3)?(?)n?(2n?1)?(?)n?1222222?11分
两式相减，得
311111Tn?1?(?)?2?(?)2?2?(?)3???2?(?)n?(2n?1)?(?)n?1?12分 222222
11??[1?(?)n]12?(2n?1)?(?1)n?1 ??2?21221?2
? 即
1211111??[1?(?)n]?(2n?1)?(?)n?1???(n?)(?)n ??232266213分
111Tn???(6n?1)(?)n ??14分
992c1c2120．解：（I）由e??，得2?，即a2?4c2?4(a2?b2)，
a2a4即3a2?4b2．（1）， ??1分 由椭圆过点(3,?333??1．知，（2） )22a4b2??2分
联立（1）、（2）式解得a2?4,b2?3． ??3分
x2y2故椭圆的方程是??1； ??4分
43（II）
Y117? ??5分 为定值|AB||CD|12CQFOPAXD1,0)，分两种情况． 法一：证明 椭圆的右焦点为F(`1°当直线AB的斜率不存在时，AB:x?1，则 CD:y?0．此时|AB|?3，|CD|?4,
B117??； ??6分 |AB||CD|122°当直线AB的斜率存在时，设AB : y?k(x?1)(k?0)，则 CD：y??又设点A(x1,y1),B(x2,y2)．
1(x?1)． k?y?k(x?1),2222联立方程组?2消去y并化简得(4k?3)x?8kx?4k?12?0， 2?3x?4y?12,8k24k2?12 ??7分 所以x1?x2?，x1?x2?224k?34k?3
2015届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考
数 学（理科）
命题学校：广东广雅中学 命题：高二理数备组
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡
的密封线内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。 参考公式：V棱锥?1Sh （S是锥体的底面积，h是锥体的高） 3第一部分选择题（共40分）
一．选择题（本大题共8道小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的） 1.集合A为函数y?1的值域，集合B?{x|0?x?2}，则A?B等于( ) x2A．(0,2) B．(1,2) C．(0,1) D．(0,1]
x2y22.双曲线?2?1的两渐近线方程为( ) ks5u 24mm A．y??11x B．y??2x C．y??x D．y??4x 247，那么向量a与b的夹角为( )
3.已知a、b均为单位向量，且|a+2b|=A．
5?2??? B． C． D．
63631?1 D．y?x?1 x4.下列函数既有零点，又是单调函数的是( ) A．y?ex?1 B．y?ln|x| C．y?5.将函数f(x)?cos2x的图象向右平移则( ) A．g(x)?cos(2x??个单位，得到函数y?g(x)的图象, 4?) B．g(x)?cos(2x?) 44?C．g(x)?sin2x D．g(x)??sin2x
6.三棱锥P?ABC的主视图和俯视图为如图所示的两个全等的等腰三角形，其中底边长为4，腰长为3，则该三棱锥左视图的面积为( ) A．
5 B．25 C．5 D．5 22主视图7.A为y轴上异于原点O的定点，过动点P作x轴的垂线交x轴于点B，动点P22????????????满足|PA?PO|?2|PB|，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
2A((xxy),BB((xx2,,yy2))定义它们之间的一种8. 对于平面直角坐标系内的任意两点A，“距离”： 1,,y1),
俯视图AB?x2?x1?y2?y1. 给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则AC?CB?AB； ②在?ABC中，AC?CB?AB；
?③在?ABC中，若?A?90，则AB2?AC2?BC．
2其中错误的个数为（ ） ．．
A．0 B．1 C．2 D．3
第二部分非选择题（110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。
9.用系统抽样的方法从容量为42的总体中抽取容量为10的样本，则总体中每个个体被抽到的概率为
10.如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果 是 .
(注:“n?6”也可写成“n:?6”或“n?6”，均表示赋值语句) 11.在?ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知
3(b2?c2)?3a2?2bc，则sinA? ks5u ?|x?y|?1y12.设a,b满足?，则的取值范围是 .
4?x?2yx?1?13.已知{an}等比数列是正项数列，且a2?1，其前3项的和为S3，??S3恒成立，则?的最大值为 .
14.已知A为圆O:x?y?8上的任意一点，若A到直线l:y?x?m的距离小于2的概率为
221，则m= . 4
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分12分） 已知f(x)?23cossinx2xxx?sin2?cos2. 222（Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间；
（Ⅱ）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若f(A)?1，2a?3b，求sinC的值．
ks5u
16.（本题满分12分）
荔湾西村在11月至12月的空气质量监测中获得一组样本数据，现根据国家的PM2.5空气污染指数等级将监测结果分成如下五组：第一组“优秀[0,50)”、第二组“良好[50,100)”、第三组“轻度污染[100,150)”、第四组“中度污染[150,200)”和第五组“重度污染[200,250]”，已知第一组至第五组数据的频率之比为2:8:9:5:1，第一组数据的频数是4.
(I) 求出样本容量，并估计西村11月至12月空气质量为优良等级（优秀或良好）的概率； (II)从空气质量等级是优秀等级或重度污染等级的数据中抽取2份数据，求抽出的两份数据都是优秀等级的概率. ks5u
17.（本题满分14分）
2,DC?2,AD?1，如图，四棱锥P?ABCD的底面是直角梯形，其中AB?2PAD?AB，顶点P在底面ABCD的射影落在线段AC上，F是PC的中点. （Ⅰ）求证：BF?平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面PAC?平面PDB；
(III)若PA?PC?1，求三棱锥P?DBF的体积.
FDCAB
18.（本题满分14分）
已知二次函数f(x)是定义在R上的偶函数，且关于x的不等式f(x)?4x的解集为
?x1?x?3?.
（I）求f(x)的解析式； （II）设F(x)?f(x)b?x
19.（本题满分14分）
已知n?N，设Sn是单调递减的等比数列{an}的前n项和，a1?1，且S2?a2、S4?a4、
?，且当x?[?1,2]时，函数F(x)的最小值为1，求实数b的值.
S3?a3成等差数列.
(I)求数列{an}的通项公式；
(II)数列?bn?满足b1?2a1，bn?1bn?bn?1?bn?0，求数列?bn?的通项公式； (III)在满足(II)的条件下，若cn?
ks5u
20.（本题满分14分）
ancos(n?)，求数列{cn}的前n项和Tn.
bn1x2y23已知椭圆2?2?1(a?b?0)经过点(3,?)，且椭圆的离心率e?，过椭圆的右
2ab2焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A、B及C、D.
（I）求椭圆的方程； （II）求证：
11?为定值； |AB||CD|(Ⅲ) 求|AB|?
9|CD|的最小值. 16
2015届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考理科数学
答案
一、选择题
1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.A 7.D 8.C 二．填空题 9.
2215 10.3 11. 12．[,1] 13. 3 14．?42
3321三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解：（Ⅰ）
xxxx?f(x)?23cossin?sin2?cos2?3sinx?cosx?2sin(x?)??3分
22226????2?∴由??2k??x???2k?（k?Z）, 得??2k??x? ???2k?，
262335分
即
函
数
f(x)的单调递增区间为
[??3?2k?,2??2k?]3（k?Z） ??6分 （Ⅱ）由f(A)?1得sin(A??6)?1???，?0?A??, ∴A??，即A?， 2663
??8分
根据正弦定理，由2a?3b，得2sinA3?sin9分
∵a?b，∴cosB?∵A?B?C??， ∴
故sinB?B，
3， ??36， ks5u ??10分 3sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?12分
16.解：(I)设样本容量为n，则
?2分
空
气
质
量
为
优
秀
或
361332?3 ??????2323642，解得n?50，?n2?8?9?5?1?
良
好
等
级
的
频
率
为
|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2?1?k2|x1?x2|?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2 64k4?16(k2?3)(4k2?3)12(k2?1) ??8?1?k??222(4k?3)4k?32分
112(1?k2) ??9分 由题知，直线CD的斜率为?，同理可得|CD|?2k4?3k117k2?77???所以为定值. ??102|AB||CD|12(k?1)12分
1,0)，法二：证明 椭圆的右焦点为F(`分两
种情况．
1°当直线AB的斜率不存在时，AB:x?1，则 CD:y?0．此时|AB|?3，|CD|?4,
CYQFOPAXD117??； ??6分 |AB||CD|122°当直线AB的斜率存在时，设AB :
y?k(x?1)(k?0)，则 CD：
B1y??(x?1)．
k又设点A(x1,y1),B(x2,y2)． 联立方程组
?y?k(x?1),消去y并化简得(4k2?3)x2?8k2x?4k2?12?0， ?22?3x?4y?12,8k2所以x1?x2?， ??7分
4k2?3x12由|AF|?(x1?c)?y??x1?c??(1?2)?b2a22121?a?ex1?2?x1，同理
21|BF?|?222 x ?? 8分
112(k2?1) 故|AB|?|AF|?|BF|?4?(x1?x2)?24k2?3112(1?k2) ??9分 由题知，直线CD的斜率为?，同理可得|CD|?2k4?3k117k2?77???所以为定值. ??10分 |AB||CD|12(k2?1)12
(Ⅲ)解：由（II）知
117??， |AB||CD|12所以 |AB|?912911|CD|?(|AB|?|CD|)(?) ??11分 16716|AB||CD|99|CD||CD|122516|AB|1225|AB|21， ??12分
?(??)?(?216?)?716|AB||CD|716|AB||CD|49|CD|3|AB|，即|AB|?|CD|，即|AB|?3,|CD|?4时取等号 ??13当且仅当16?4|AB||CD|分
所以|AB|?
921|CD|的最小值为. ??14分 164
