所以f(x2)-f(x1)<0,所以f(x)=x+(x>0)在(0,]上是减函数.
当x2>x1>时,恒有x2-x1>0,x1x2-3>0,x1x2>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,所以f(x)=x+(x>0)在(,+∞)上是增函数.
所以函数f(x)的最小值为f()=+=2.
(2)因为y===1-,又x≥2,故0<≤,所以-≤-<0,≤1-<1,故函数
y=的最小值为,无最大值.
【小结】(1)探究y=ax+(a>0,b>0)的单调性和最值也可以通过配方法先求出最小值,再
确定单调区间;(2)研究形如y=(ac≠0)的函数的性质时,首先通过常数分离法去掉分子
中的变量x,再依据反比例函数的性质探究该函数的性质.
探究三:【解析】由f(m)+f(m-1)>0,
得f(m)>-f(m-1),即f(m)>f(-m+1).
又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[-2,2]上为奇函数,∴f(x)在[-2,2]上为减函数.
∴即
得-1≤m<.
【小结】此类问题的解答思路:先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含有“f”的式子,然后根据函数的单调性列出不等式(组),同时要注意函数的定义域也是一个限定条件. 思维拓展应用
应用一:由对任意的x1,x2∈R,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0知函数f(x)在R上为减函数,当
x<0时,函数f(x)=-x+3-3a为一次函数,且为减函数,则此时f(x)>f(0)=3-3a;当x≥0时,函
数f(x)=-x+a为二次函数,也为减函数,且有f(x)≤f(0)=a,要使函数f(x)在R上为减函数,则有a≤3-3a,解得a≤.
应用二:(1)9 (2){y∈R|y≠3} (1)若a≤0,则函数为单调增函数,显然该函数在(0,+∞)上无最小值,故a>0,此时y=x+=(
2
-)+2
2
≥2,当x=时取得最小值
2,∴2=6,解得a=9.
=3+,
(2)利用常数分离法,得y=∵≠0,∴3+≠3,
∴函数y=的值域为{y∈R|y≠3}.
应用三:③ 因为f(x)在[0,+∞)上是减函数,且是奇函数,所以当x>0时,f(x)
1.④ y=-f(x)=-x,易证此函数在其定义域内是单调递减的奇函数.
2.③ 由1-x≠0,所以x≠±1,故定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x),即函数为偶函数.f()=2
3
=-=-f(x).
3.(0,) y=x-(1 故其值域为(0,). 4.解:设t=≥0,则x=1-t, 2 ∴原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t≥0), ∴y≤5, ∴该函数的值域为(-∞,5]. 全新视角拓展 (-5,0)∪(5,+∞) 令x<0,则-x>0,f(-x)=(-x)-4(-x),又函数f(x)为奇函数,则 2 -f(x)=x2+4x,即f(x)=-x2-4x,所以 或 即或 解得-5 所以原不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).
