江苏省响水中学高中数学 第二章《函数性质的综合应用》导学案 苏
教版必修1
1.归纳函数的单调性、奇偶性的性质和判定方法.
2.运用函数的单调性和奇偶性解决有关综合性问题.
3.结合基本函数的性质、函数的单调性和奇偶性归纳一些特殊函数的性质.
前面我们学习了函数的单调性、奇偶性和最值等.对于单调性主要要掌握增函数和减函数的定义及其证明、图象特征、单调性的综合应用等;对于奇偶性要掌握奇偶性的定义、判断方法、图象特征等;最值的求法是本部分的一个重点,要注意通过一些典型的题目掌握一些常用的方法.
对所学性质的综合应用是本部分考查的重点和热点,这一讲我们就来探讨性质的综合应用问题.
问题1:函数单调性的证明或判断方法的归纳:
(1)用定义(点差法); → →定号;
(2)直接运用已知函数(如: 、 、反比例函数等)的单调性;
(3)如果f(x)在区间D上是增(减)函数,那么f(x)在D的任一非空子区间上也是增(减)函数;
(4)图象法:根据图象的上升或下降的趋势判断函数的单调性;
(5)奇函数在对称的单调区间内有 的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有 的单调性.
问题2:判断函数奇偶性的步骤:
(1)判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称,若定义域不关于原点对称,那么函数f(x) ;
(2)在定义域关于原点对称的前提下,研究f(x)与f(-x)或-f(x)间的关系, 若 ,则函数f(x)是偶函数;若 ,则函数f(x)是奇函数.
问题3:求函数f(x)的值域或最值的常用方法有 、 、单调性判断法等.
问题4:两种重要函数的性质:
(1)y=ax+(a>0,b>0)的性质:
该函数定义域为 ,满足f(-x)=-f(x),故该函数是 ,当x>0时,函数可变形为y=(
-)2+2
≥2,当且仅当x=时得到最小值,值域为 ,单调增区
间为[,+∞),单调减区间为(0,),再根据奇函数的对称性可得到x<0时函数的单调性和最值,因为该函数的图象形似两个对勾,故称该函数为双勾函数.
(2)y=(ac≠0)性质:
该函数经过常数分离法变形,可发现其图象可由反比例函数图象经过平移变换得到,从而可以由反比例的函数性质研究该函数的性质,如y=经过常数分离后变形为y=+1,所以
该函数图象是由反比例函数y=图象 平移1个单位,再 平移1个单位得到,再根据图象可以得到该函数的单调性、对称性、定义域、最值和值域等.
1.如果偶函数在[-2,-1]上有最大值,那么该函数在[1,2]上有最 值.
2.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 .
①f(x)+②f(x)-③④是偶函数; 是奇函数;
+g(x)是偶函数; -g(x)是奇函数.
3.函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它是减函数,若实数a,b满足f(a)+f(b)>0,则a+b 0(填“>”“<”或“=”).
4.f(x)是定义在(-∞,-5],[5,+∞)上的奇函数,且f(x)在[5,+∞)上单调递减,试判断f(x)在(-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明.
分段函数的单调性问题 若函数f(x)=是 .
两种重要函数的单调性与最值
(1)判断函数f(x)=x+(x>0)的单调性并求该函数的最小值;
是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围
(2)求函数y=(x≥2)的最值.
单调性和奇偶性的综合应用
设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.
已知函数f(x)=取值范围.
满足对任意的x1,x2∈R,(x1-x2)[(f(x1)-f(x2)]<0,求a的
(1)已知函数y=x+(x>0)的最小值为6,则a= .
(2)函数y=的值域为 .
已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)在[0,+∞)上是减函数.下列关系式中正确的是 .
①f(5)>f(-5); ②f(4)>f(3); ③f(-2)>f(2); ④f(-8)=f(8).
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1.若函数f(x)=x(x∈R),则函数y=-f(x)在其定义域内是 .
①单调递增的偶函数; ②单调递增的奇函数; ③单调递减的偶函数; ④单调递减的奇函数. 2.设函数f(x)=,则有 .
①f(x)是奇函数,f()=-f(x);
②f(x)是奇函数,f()=f(x);
③f(x)是偶函数,f()=-f(x);
④f(x)是偶函数,f()=f(x).
3.函数y=x-(1 4.求函数y=x+4的值域. (2013年·江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为 . 考题变式(我来改编): 第7课时 函数性质的综合应用 知识体系梳理 问题1:(1)作差 变形 (2)一次函数 二次函数 (5)相同 相反 问题2:(1)既不是奇函数也不是偶函数 (2)f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 问题3:图象法 换元法 问题4:(1)(-∞,0)∪(0,+∞) 奇函数 [2 基础学习交流 1.大 偶函数图象关于y轴对称,在[-2,-1]上有最大值,那么该函数在[1,2]上也有最大值. 2.① 由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,得 和 都是偶函数,所以f(x)+与 ,+∞) (2)向右 向上 f(x)-都是偶函数,+g(x)与-g(x)的奇偶性不能确定. 3.< f(a)+f(b)>0,∴f(a)>-f(b). 又f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(a)>f(-b),又∵f(x)为减函数, ∴a<-b,∴a+b<0. 4.解:f(x)在(-∞,-5]上单调递减,任取x1 探究一:【解析】当x≥1时,f(x)=-x+2ax-2a是减函数,得a≤1. 当x<1时,函数f(x)=ax+1是减函数, 得a<0, 分段点1处的值应满足-1+2a×1-2a≤1×a+1, 解得a≥-2, 2 2 ∴-2≤a<0. 【答案】[-2,0) 【小结】在判断分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时,不仅要保证分段函数的 每一段函数是单调的,而且还要比较函数的特殊点——分段点处的值的大小以判断单调性. 探究二:【解析】(1)设0 当0
