在Rt△BCE中，BC=，BE=2， ∴CE=， ∴CE=， ∵OA=4，
∴C点的坐标为：（，2）， ∵点C在∴k=5，
的图象上，
（2）设A点的坐标为（m，0）， ∵BD=BC=， ∴AD=，
∴D，C两点的坐标分别为：（m，），（m﹣，2）． ∵点C，D都在
的图象上，
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∴m=2（m﹣）， ∴m=6，
∴C点的坐标为：（，2）， 作CF⊥x轴，垂足为F， ∴OF=，CF=2， 在Rt△OFC中， OC2=OF2+CF2， ∴OC=
．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上的性质，正确得出C点坐标是解题关键． 26．（10分）某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练．机器人从点A出发，在矩形ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知机器人的速度为1个单位长度/s，移动至拐角处调整方向需要1s（即在B、C处拐弯时分别用时1s）．设机器人所用时间为t（s）时，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段 PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示． （1）求AB、BC的长；
（2）如图②，点M、N分别在线段EF、GH上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t1、t2．设机器人用了t1（s）到达点P1处，用了t2（s）到达点P2处（见图①）．若CP1+CP2=7，求t1、t2的值．
【分析】（1）作AT⊥BD，垂足为T，由题意得到AB=8，AT=中，根据勾股定理得到BT=
，在Rt△ABT
，根据三角函数的定义即可得到结论；
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（2）如图，连接P1P2．过P1，P2分别作BD的垂线，垂足为Q1，Q2．则P1Q1∥P2Q2．根据平行线的性质得到d1=d2，得到P1Q1=P2Q2．根据平行线分线段成比例定理得到
．设M，N的横坐标分别为t1，t2，于是得到结论．
，
【解答】解：（1）作AT⊥BD，垂足为T，由题意得，AB=8，AT=在Rt△ABT中，AB2=BT2+AT2， ∴BT=
，
，
∵tan∠ABD=∴AD=6， 即BC=6；
（2）在图①中，连接P1P2．过P1，P2分别作BD的垂线，垂足为Q1，Q2． 则P1Q1∥P2Q2．
∵在图②中，线段MN平行于横轴， ∴d1=d2，即P1Q1=P2Q2．∴ P1P2∥BD． ∴即
． ．
又∵CP1+CP2=7， ∴CP1=3，CP2=4．
设M，N的横坐标分别为t1，t2，
由题意得，CP1=15﹣t1，CP2=t2﹣16， ∴t1=12，t2=20．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理矩形的性质，平行线分线段成比例定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 27．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F． （1）求证：△DOE∽△ABC； （2）求证：∠ODF=∠BDE；
（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若
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=，
求sinA的值．
【分析】（1）根据圆周角定理和垂直求出∠DEO=∠ACB，根据平行得出∠DOE=∠ABC，根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据相似三角形的性质得出∠ODE=∠A，根据圆周角定理得出∠A=∠BDC，推出∠ODE=∠BDC即可；
（3）根据△DOE～△ABC求出S△ABC=4S△DOE=4S1，求出S△BOC=2S1，求出2BE=OE，解直角三角形求出即可． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEO=90°， ∴∠DEO=∠ACB， ∵OD∥BC，
∴∠DOE=∠ABC， ∴△DOE～△ABC；
（2）证明：∵△DOE～△ABC， ∴∠ODE=∠A， ∵∠A和∠BDC是∴∠A=∠BDC， ∴∠ODE=∠BDC， ∴∠ODF=∠BDE；
所对的圆周角，
（3）解：∵△DOE～△ABC，∴
，
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即S△ABC=4S△DOE=4S1， ∵OA=OB， ∴∵∴∴即∴
，
，
．
，
，即S△BOC=2S1，
，
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线的性质，三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 28．（10分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点． （1）求b、c的值；
（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F\'恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b的值；由OB=OC，可用c表示出B点坐标，代入抛物线解析式可求得c的值； （2）可设F（0，m），则可表示出F′的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F′坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；
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（3）设点P坐标为（n，0），可表示出PA、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标， 【解答】解：
（1）∵CD∥x轴，CD=2， ∴抛物线对称轴为x=1． ∴
．
∵OB=OC，C（0，c）， ∴B点的坐标为（﹣c，0），
2
∴0=c+2c+c，解得c=﹣3或c=0（舍去）， ∴c=﹣3；
（2）设点F的坐标为（0，m）． ∵对称轴为直线x=1，
∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．
2
由（1）可知抛物线解析式为y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴E（1，﹣4），
∵直线BE经过点B（3，0），E（1，﹣4），
∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x﹣6． ∵点F在BE上，
∴m=2×2﹣6=﹣2，即点F的坐标为（0，﹣2）；
（3）存在点Q满足题意． 设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3． 作QR⊥PN，垂足为R，
∵S△PQN=S△APM， ∴
