2024中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解(9)

2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答

f x1 f x2 f xn x x2 xn

， f 1

nn

n

即 1

a1 a2 an

n

1 1 1

1 1 1． a1 a2 an

另一方面，由题设及Cauchy不等式，可得

n

n

1 ai

i 1

i 1

1ai ai 1

n

2

n

n

n

ai 1)

n

2

n

n

i

(a

i 1

i

an 1 a1 2

a

i 1

2 nn n n 1 ， nn

2 ai2a i i 1 i 1

n

(1 a

所以

i 1

n

i

)

a

i 1

n

i

n n

n 1 ， n ai 2 ai i1 i1

n

n

故

n

a a a2n 1 (1 a1) (1 a2) (1 an) n

1 2 a a a a a a12n12n

1 1 1

1 1 1 ， a1 a2 an

从而原命题得证．