?3(22n?1?22n?3??22(n?1)?1。
?2)?2
而 a1?2,
所以数列{an}的通项公式为an?22n?1。 （Ⅱ）由bn?nan?n?22n?1知
Sn?1?2?2?23?3?25?从而
?n?22n?1 ①
22?Sn?1?23?2?25?3?27?①-②得
(1?22)?Sn?2?23?25??n?22n?1 ②
?22n?1?n?22n?1 。
1即 Sn?[(3n?1)22n?1?2]
9 17．（本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an（n∈N+） （1）证明：数列{an+1-an }是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式
（1）证明：an?2?3an?1?2an,
?an?2?an?1?2(an?1?an),a1?1,a2?3,?an?2?an?1?2(n?N*).an?1?an
??an?1?an?是以a2?a1?2为首项，2为公比的等比数列。 （2）解：由（1）得an?1?an?2n(n?N*),
[来源:学科网]?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?...?(a2?a1)?a1
?2n?1?2n?2?...?2?1?2?1(n?N).n*
17．（本小题满分12分）
在数列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，n?N*．
（1）证明数列?an?n?是等比数列；
（2）设数列?an?的前n项和Sn，求Sn?1?4Sn的最大值。
17.证明：（Ⅰ）由题设an?1?4an?3n?1，得an?1?(n?1)?4(an?n)，n?N*． 又a1?1?1，所以数列?an?n?是首项为1，且公比为4的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an?n?4n?1，于是数列?an?的通项公式为an?4n?1?n．所以
4n?1n(n?1)?数列?an?的前n项和Sn?． 32?4n?1n(n?1)?4n?1?1(n?1)(n?2)Sn?1?4Sn???4???
3232??1= ?(3n2?n?4) 故n=1，最大0.
2.(2011·东莞期末)(本小题满分14分)
已知数列?an?的各项满足：a1?1?3k(k?R)，an?4n?1?3an?1.
4n(1) 判断数列{an?}是否成等比数列；
7（2）求数列?an?的通项公式；
4n?14n?13n?4?3an???3an??4n 解：（1）an?1?7774n ??3(an?)，
7443 a1??1?3k???3k．
777144n 当k?时，a1??0，则数列{an?}不是等比数列；
777144n当k?时，a1??0，则数列{an?}是公比为?3的等比数列．
77714n3?(?3k)?(?3)n?1， （2）由（1）可知当k?时，an?77734nn?1 an?(?3k)?(?3)?．
7714n 当k?时，an?，也符合上式，
7734nn?1 所以，数列?an?的通项公式为an?(?3k)?(?3)?．
77(2011·佛山一检)（本题满分14分）
已知正项等差数列?an?的前n项和为Sn，若S3?12，且2a1,a2,a3?1成等比
数列.
（Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）记bn?an的前n项和为Tn，求Tn. 3n解：（Ⅰ）∵S3?12，即a1?a2?a?，所以a2?4，312，∴3a2?12--------------------------------2
又∵2a1，a2，a3?1成等比数列， ∴
2a2?2a1?(a3?1)，即
2a2?2(a2?d)?2，( a?d?1--------------------------------4分
解得，d?3或d??4（舍去）， ∴
a1?a2?d?1，故
an?3n?2；
---------------------------------------7分
an3n?21??(3n?2)?（Ⅱ）法1：bn?n， nn3331111∴Tn?1??4?2?7?3??(3n?2)?n， ①
33331111111①?得，Tn?1?2?4?3?7?4??(3n?5)?n?(3n?2)?n?1 ②
33333332111111①?②得，Tn??3?2?3?3?3?4??3?n?(3n?2)?n?1
333333311(1?)2n?111511133??3??(3n?2)?n?1???n?1?(3n?2)?n?1
13362331?3∴
5113n?2156n?51Tn???n?2??n???n． -----------------44323443----------------------14分
an3n?211??n??2?法2：bn?n， 33n3n?13n1111设An?1?2??3?2?4?3??n?n?1， ①
3333111111则An??2?2?3?3?4?4??n?n， ② 333333211111①?②得，An?1??2?3??n?1?n?n
33333313n?n?1?3?(3?n)?1 ?nn132231?39931∴An??(?n)?n，
442311?(1?n)3?9?(9?3n)?1?(1?1)?5?6n?5?1． ∴Tn?An?2?3nnn1442334431?31?9.（2011·三明三校一月联考）（本小题满分12分）已知等差数列?an?和正项等比数列?bn?，a1?b1?1，a3?a7?10， b3＝a4 （1）求数列?an?、?bn?的通项公式
（2）若cn?an?bn，求数列?cn?的前n项和Tn.
解（1）依题意， ?an?为等差数列，设其公差为d； ?bn?为正项等比数列，设其公比为q，则可知q?0
∵ a3?a7?10 ∴可知2a5?10,即a5?5 又a1?1 ∴ a5?a1?4d?4，解得d?1 故
an?a1?(n?1)d?n…………………………………………………………………3分
由已知b3＝a4＝4, ∴ q2?∴ bn?b1qn?1?2n?1 所
以
b3?4，即q?2 b1an?n，
bn?2n?1………………………………………………………………6分 （2）∵ cn?an?bn＝n?2n?1
∴ Tn＝1?20?2?21?3?22???n?2n?1
∴ 2Tn ＝ 1?21?2?22?3?23???(n?1)?2n?1?n?2n
以上两式相减，得－Tn＝20?21?22???2n?1?n?2n………………………9分
1?(1?2n)?n?2n＝(1?n)?2n?1 ＝
1?2∴
Tn＝
(n?1)?2n?1………………………………………………………………12分 10.(2011·杭州一检)（本题满分14分）设数列?an?的前n项和为Sn,且
Sn?4an?3(n?1,2,， )（1）证明:数列?an?是等比数列；
（2）若数列?bn?满足bn?1?an?bn(n?1,2,)，b1?2，求数列?bn?的通项公式．
解：（1）证：因为Sn?4an?3(n?1,2,)，则Sn?1?4an?1?3(n?2,3,)，
所以当n?2时，an?Sn?Sn?1?4an?4an?1， 整理得an?4an?1． 5分 3由Sn?4an?3，令n?1，得a1?4a1?3，解得a1?1． 所以?an?是首项为1，公比为分
4（2）解：因为an?()n?1，
34的等比数列． 73
4由bn?1?an?bn(n?1,2,)，得bn?1?bn?()n?1． 9分
3由累加得bn?b1?(b2?b`1)?(b3?b2)???(bn?bn?1)
41?()n?143 ＝2?（n?2）， ?3()n?1?1，
431?34 当n=1时也满足，所以bn?3()n?1?1．
3（2011·泰安高三期末）（本小题满分12分）
在数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1,2,3…）,且a1, a2,a3,成公比不为1的等比数列.
