数列高考大题专题（理科）
(2012江苏)已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：
an?1?an?bnan2?bn2，n?N?．
2???bbn?n???1.设bn?1?1?，n?N，求证：数列????是等差数列；
aan???n???2.设bn?1?2?解：
（1）
bn，n?N?，且{an}是等比数列，求a1和b1的值． an?bn1???bn?1??bn??an??∵?????an?1??an??an?bn??a2?b2n?n（2）
22?2??a2?b2??bn??n??n????an??an????2??b?2???n??1?n?N*? ??an??2∵an?0，bn?0
?a?b?∴nn2∴1?an?1?2?an2?bn2??an?bn?
an?bnan?bn222?2
∵{an}是各项都为正数的等比数列 ∴设其公比为q，则q?0 ①当q?1时， ∵an?0
∴数列?an?是单调递增的数列，必定存在一个自然数，使得an?1?2 ②当0?q?1时 ∵an?0
∴数列?an?是单调递减的数列，必定存在一个自然数，使得an?1?1
由①②得：q?1 ∴an?a1?n?N*? ∵1?an?1?an?bnan?bna1?bna?bn21222?2
得：a1?，且1?a1?2 a1?a122?a12∴bn? 2a1?1∵bn?1?2?bn2?bn，n?N* ana1∴数列?bn?是公比为∵1?a1?2 ∴2的等比数列 a12?1 a12?1时 a1① 当a1?a122?a12数列?bn?是单调递增的数列，这与bn?矛盾
a12?1② 当
2?1时 a1数列?bn?是常数数列，符合题意 ∴a1?2 ∴bn?2 ∴b1?2
（2010江苏）19.（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，已知2a2?a1?a3，数列为d的等差数列.
（1）求数列?an?的通项公式（用n,d表示）
?S?是公差
n（2）设c为实数，对满足m?n?3k且m?n的任意正整数m,n,k，不等式
9Sm?Sn?cSk都成立，求证：c 的最大值为.
2
（2011高考）（本小题满分12分）
等比数列?an?的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a32?9a2a6. 1.求数列?an?的通项公式.
?1?2.设 bn?log3a1?log3a2?......?log3an,求数列??的前项和.
?bn?解：
232（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a3所以q2??9a2a6得a3?9a41。有条件91可知a>0,故q?。
311由2a1?3a2?1得2a1?3a2q?1，所以a1?。故数列{an}的通项式为an=n。
33（Ⅱ ）bn?log1a1?log1a1?...?log1a1
??(1?2?...?n)??n(n?1)2
故
1211????2(?) bnn(n?1)nn?1111111112n??...???2((1?)?(?)?...?(?))?? b1b2bn223nn?1n?12n1所以数列{}的前n项和为?
n?1bn（辽宁理17）
已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列{an}的通项公式；
?an??n?1?（II）求数列?2?的前n项和．
解：（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得
?a1?d?0,??2a1?12d??10,
??a1?1,解得?d??1.
故数列{an}的通项公式为an?2?n. ………………5分 {an2n?1}的前n项和为Sa2n，即
Sn?a1?2??an2n?1,故S1?1，
Sn2?a1a22?4??an2n.
所以，当n?1时，
Sn?a?a2?a1a?an?1a12??n2n?1?n22n?1?(1112?n2?4??2n?1?2n)?1?(1?12?n2n?1)?2n
n 2n.
n所以
Sn?2n?1.
an综上，数列{2n?1}的前n项和Snn?2n?1. ………………12分
（天津理20）
已知数列{aa0,b3?(?1)nn}与{bn}满足：
bnn?an?1?bn?1an?2?n?2，a1?2,a2?4．
（Ⅰ）求a3,a4,a5的值；
（Ⅱ）设cn?a2n?1?a*2n?1,n?N，证明：?cn?是等比数列；
II）设数列
n?N*，且
（ 3?(?1)nbn?,n?N*,2（I）解：由
?1,n为奇数bn???2,n为偶数 可得
又bnan?an?1?bn?1an?2?0,
当n=1时,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3??3;当n=2时,2a2+a3+a4=0,可得a4??5;当n=3时,a3+a4+2a5=0,可得a4?4.*n?N, （II）证明：对任意
a2n?1?a2n?2a2n?1?0, ① 2a2n?a2n?1?a2n?2?0, ② a2n?1?a2n?2?2a2n?3?0, ③ ②—③，得 a2n?a2n?3. ④
将④代入①，可得a2n?1?a2n?3??(a2n?1?a2n?1)
*c??c(n?N) n即n?1又c1?a1?a3??1,故cn?0,
cn?1??1,所以{cn}因此cn是等比数列.
3.（17）（本小题满分12分） 设数列?an?满足a1?2,an?1?an?322n?1 （1） 求数列?an?的通项公式； （2） 令bn?nan，求数列的前n项和Sn （17）解：
（Ⅰ）由已知，当n≥1时，
an?1?[(an?1?an)?(an?an?1)??(a2?a1)]?a1
