课时作业(二十)
[学业水平层次]
一、选择题
1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为( )
A．30° C．30°或150°
B．150° D．以上均不对
【解析】 l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且π??
??.应选A. 0，异面直线所成角的范围为2??
【答案】 A
2．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为( )
522
A.66 522C.22
522B．－66 522D．－22
→→
【解析】 AB＝(2，－2，－1)，CD＝(－2，－3，－3)， →→
→→AB·CD5522
∴cos〈AB，CD〉＝＝＝66，
→→3×22|AB||CD|522
∴直线AB、CD所成角的余弦值为66. 【答案】 A
3．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则→
A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是AD＝(0,1,0)．
取PD中点为E， 11??
则E?0，2，2?，
??→?11?
??0，∴AE＝2，2，
?
?
→→
易知AD是平面PAB的法向量，AE是平面PCD的法向量，∴→→2cosAD，AE＝2，
∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°. 【答案】 B
4．(2014·陕西师大附中高二检测)如图3-2-29，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD—A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E、F分别为C1D1、A1B的中点，则二面角B1-A1B-E的余弦值为( )
图3-2-29
3333A．－3 B．－2 C.3 D.2 【解析】 设AD＝1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为E、F分别为→→
C1D1、A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以A1E＝(－1,1,0)，A1B→??A1E·m＝0，
＝(0,2，－2)，设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则?
→??A1B·m＝0，
???－x＋y＝0，?y＝x，
所以?所以?取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE
???2y－2z＝0，?y＝z，
→
的一个法向量为m＝(1,1,1)，又DA⊥平面A1B1B，所以DA＝(1,0,0)→
→m·DA13
是平面A1B1B的一个法向量，所以cos〈m，DA〉＝＝＝3，→3|m||DA|3
又二面角B1-A1B-E为锐二面角，所以二面角B1-A1B-E的余弦值为3，故选C.
【答案】 C 二、填空题
5．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________．
【解析】 依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，
1?1???
????1，，11，1，M2?，C(0,1,0)，N?2?， ?
→?1?→?1?
????0，，11，0，∴AM＝，CN＝22，
?
?
?
?
1
→→22
∴cos〈AM，CN〉＝＝，
5552·2
2
故异面直线AM与CN所成角的余弦值为5. 2
【答案】 5 6．(2014·临沂高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，→
－2,0)、B(2,1，6)，则向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．
→
【解析】 设平面xOz的法向量为n＝(0，t,0)(t≠0)，AB＝(1,3，→
→→n·AB3t
6)，所以cos〈n，AB〉＝＝，因为〈n，AB〉∈[0，π]，所
→4|t||n|·|AB|→
以sin〈n，AB〉＝7
【答案】 4
7．已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1
上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．
【解析】 如图，建立空间直角坐标系．
?3t?27??1－4|t|＝4. ??
设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面
AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．
1?2???
所以A(1,0,0)，E?1，1，3?，F?0，1，3?，
????→?1?→?1?
所以AE＝?0，1，3?，EF＝?－1，0，3?，
?
?
?
?
→??n2·AE＝0，则?
→??n2·EF＝0，
1?y＋?3z＝0，
即?1??－x＋3z＝0.
取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)． n1·n2311
所以cos〈n1，n2〉＝|n||n|＝11. 12
所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos α311222
＝11，sin α＝11，所以tan α＝3.
2
【答案】 3 三、解答题
8. 如图3-2-30所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2.
图3-2-30
(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
