?2?当t??0, ?时，S'?t??0，S?t?单调递增，
?3??2?当t??, 2?时，S'?t??0， S?t?单调递减，
?3?21284时，S?t?有最大值，改挖后的水渠的底宽为m时， 3327可使填土的土方量最少. ……………………8分
（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，如图2， ?1?设切点M?t, t2??t?0?，
?2?1则函数在点M处的切线方程为y?t2?t?x?t?，……………10分 2??t2??t分别令y?0,y?2得A?, 0?,B??, 2?，
?2??2t?1?2?2所以梯形OABC的面积S?t???t???2?t?≥22，………12分 2?t?t所以当t?当且仅当t?2时，等号成立， 此时OA?yCPBMOAx(图2) 2.所以设计改挖后的水渠的底宽为2m时，可使挖土的土方量最少. …………14分 2c318．（1）由题意，离心率e??，所以2c?3a，所以a2?4b2，
a23 故椭圆的方程为x2?4y2?4b2，将点(1,)代入，求得b2?1，
2x2 所以椭圆的标准方程为?y2?1； ……………4分
4 （2）①设直线BQ的方程为y?kx?1，则由题意直线AP的方程为y??k(x?2)，
?y?kx?1?22(1?4k)x?8kx?0， 由?x2 ，得2?y?1??48k1?4k2 所以点Q的坐标为(?,)，……………………6分
1?4k21?4k28k2?24k 同理可求得点P的坐标为(,)． ……………………8分
1?4k21?4k21?4k24k?221?4k2?4k11?4k1?4k?? 所以直线l的斜率为． ……………………………10分 8k8k2?2?8k?8k2?22??1?4k21?4k2 ②设P，Q两点到直线AB的距离分别为d1,d2， 因为点P在第一象限，则点Q必在第三象限， 所以k?1，且点P、Q分别在直线AB:x?2y?2?0的上、下两侧， 2 所以xP?2yP?2?0，xQ?2yQ?2?0，
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8k2?28k??2xP?2yP?21?4k21?4k2 从而d1?， ?558k2?8k2xQ?2yQ?21?4k2?1?4k2?2 d2??， ?558k2?28k??222S1d11?4k8k2?2?8k?2(1?4k2)2k?11?4k???所以?，……………14分 8k2?8k2S2d28k?(2?8k2)?2(1?4k2)4k2?2k??21?4k21?4k2 令2k?1?t(t?0)， 则
S12k?1tt11?2?????3?22， S24k?2k(t?1)2?t?1t2?3t?2t?2?322?3t当且仅当t?S2?12，即t?2，即k?时，1有最大值为3?22．……………16分
S22t 19．（1）函数f(x)?mx?(m?2)lnx?2的定义域为(0,??)． xm?22(mx?2)(x?1) f?(x)?m?， ?2?xxx2
① 为m?0，则当0?x?1时，f?(x)?0；当x?1时，f?(x)?0；
所以f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为[1,??)．……………2分 ②若存在x1,x2?[1,2]，使得f(x1)?g(x2)?1，
等价于x?[1,2]时，f(x)max?g(x)min?1成立． 由①得，当m?0时，f(x)在[1,??)上单调递减，
所以当x?[1,2]时，f(x)max?f(1)?m?2．……………………4分 m2m2 而g(x)?x?mx?1?(x?)?1?．
24m（ⅰ）当0???1，即?2?m?0时，g(x)min?g(1)?2?m，
2 于是m?2?3?m，矛盾! ……………………6分
2m2m(ⅱ) 1???2，即?4?m??2时，g(x)min?1?，
42m2 于是m?2?2?，矛盾! ……………………………8分
4m（ⅲ）当??2，即m??4时，g(x)min?g(2)?5?2m，
2 于是m?2?6?2m，所以m??8．
综上，m的取值范围是m??8．……………………10分
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1?lnx?1lnx?1x（2）因为h(x)?，所以h?(x)?，
exex1(x2?x)(?lnx?1)(x?1)(1?xlnx?x)x? 所以[g(x)?1]h?(x)?，
exexex 要证[g(x)?1]h?(x)?1?e，由x?0，即证(1?e?2)?1?xlnx?x．
x?1?2ex 设?(x)?1?xlnx?x，m(x)?，
x?1 所以??(x)??lnx?2，当0?x?e?2时，??(x)?0；当x?e?2时，??(x)?0． 所以当x?e?2时，?(x)?1?xlnx?x取得最大值为1?e?2． xex?0， 由m?(x)?2(x?1)所以m(x)在(0,??)单调增，所以m(x)?m(0)?1，
所以[g(x)?1]h?(x)?1?e?2． ……………………16分
20． （1）a8?a2?3(a4?a2)?0?3?(3?0)?9
a9?a1?4?(a3?a1)?2?4?2?10,?a8?a9?19 …………………………2分
（2）{an}是3级等差数列，an?3?an?3?2an，
2(2n?sin?n)?2(n?3)?sin(?n?3?)?2(n?3)?sin(?n?3?)（n?N*） ?2sin?n?sin(?n?3?)?sin(?n?3?)?2sin?ncos3?（n?N*）
所以sin?n?0，或cos3??1，sin?n?0对n?N*恒成立时， ??kπ(k?Z)
2kπcos3??1时，3??2kπ(k?Z),???(k?Z),
32kπ???{?|??(k?Z)}{?|??kπ(k??)}
32π2nπ?最小正值等于，此时an?2n?sin.……………………6分
332(3n?2)π2(3n?1)π2(3n)π由于sin?sin?sin?0（n?N*）
333*?a3n?2?a3n?1?a3n?6(3n?1)（n?N）
n[12?6(3n?1)]?9n2?3n（n?N*）…10分 S3n?(a1?a2?a3)?(a4?a5?a6)??(a3n?2?a3n?1?a3n)?2（3）若{an}为2级等差数列，an?2?an?2?2an，则{a2n?1},{a2n}均成等差数列，
设等差数列{a2n?1},{a2n}的公差分别为d1,d2，
{an}为3级等差数列，an?3?an?3?2an，则{a3n?2}成等差数列，设公差为D
a1,a7既是中{a2n?1}的项，也是{a3n?2}中的项，a7?a1?3d1?2D a4,a10既是中{a2n}的项，也是{a3n?2}中的项，a10?a4?3d2?2D ?3d1?3d2?2D
设d1?d2?2d，则D?3d
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所以a2n?1?a1?(n?1)d1?a1?(2n?2)d（n?N*）， （n?N*） a2n?a2?(n?1)d2?a2?(2n?2)d，
又a4?a1?D?a1?3d，a4?a2?d2?a2?2d，所以a2?a1?d， ?a2n?a1?(2n?1)d（n?N*）
综合得 ?an?a1?(n?1)d，显然{an}为等差数列．……………………………………16分
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21A．连结OT.
因为AT是切线,所以OT?AP. ……………………………………2分
又因为?PAQ是直角,即AQ?AP,……………4分 所以AB//OT,
所以?TBA??BTO. ……………………6分 又OT?OB,所以?OTB??OBT,…………8分 所以?OBT??TBA,
即BT平分?OBA. ……………………………10分 B．
?10??12??12?B=BAA?1????34???34? ……………………5分 01????????21???B?1??31????22? ……………………………10分
C．（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y?2ax(a?0)；直线l的普通方程为x?y?2?0．
2（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t?2(4?a)2t?8(4?a)?0 （*）
2??8a(4?a)?0．
设点M,N分别对应参数t1,t2恰为上述方程的根．则PM?t1,PN?t2，MN?t1?t2．由题设得
?t1?t2?2?t1t2，即?t1?t2??4t1t2?t1t2．由（*）得t1?t2?22(4?a),t1t2?8(4?a)?0，则有
2(4?a)2?4(4?a)?0，得a?1，或a??4．因为a?0，所以a?1．
D．因为x?0,y?0,x?y?0，2x?11…………4分 ?2y?2(x?y)?222x?2xy?y(x?y)?(x?y)?(x?y)?11?33(x?y)2?3，…………8分 2(x?y)(x?y)2所以2x?1?2y?3．…………………10分
x2?2xy?y222． （1）如图，以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A?xyz．
111则P(?,0,1)，N(,,0)，M(0,1,)，
222第 9页，共 11页
111111从而PN?(??,,?1)，AM?(0,1,)，PN?AM?(??)?0??1?1??0，
222222所以异面直线PN，AM所成的角为90.……………5分
（2）平面ABC的一个法向量为n?AA1?(0,0,1)．
设平面PMN的一个法向量为m?(x,y,z)，
1由（1）得MP?(?,?1,)．
211?(??)x?y?z?0,????m?NP?0,22由? 得?
1???x?y?z?0.?m?MP?0,??22??1?y?x,??3解得?令x?3,得m?(3,2??1,2(1??))．
2(1??)?z?x.?3?平面PMN与平面ABC所成的二面角为45， ?|cos?m,n?|?|m?n|2(1??)|2|??，
2|m|?|n|9?(2??1)2?4(1??)21解得???．
2故点P在B1A1的延长线上，且A1P?1．…………………10分 224?8，S2?32…………2分； 23．（1）S2（2）设集合P?{0}，Q?{?1,1}． 若|x1|?|x2|??|xn|?1，即x1,x2,x3，,xn中有n?1个取自集合P，1个取自集合Q，
n?11112种可能，即为Cn2，…………4分 故共有Cn同理，|x1|?|x2|??|xn|?2，即x1,x2,x3，,xn中有n?2个取自集合P，2个取自集合Q，
n?22222种可能，即为Cn2， 故共有Cn…… 若|x1|?|x2|??|xn|?m，即x1,x2,x3，,xn中有n?m个取自集合P，m个取自集合Q，
n?mm2种可能，即为Cnm2m， 故共有Cnn1122mm?Cn2?Cn2?????Cn2，…………………6分 所以Smkk?1，故Cn?1?0, 因为当0?k?n时，Cn第 10页，共 11页
n1122?Cn2?Cn2?所以Smmm?Cn2
001122?Cn2?(Cn2?Cn2?mmm?1?Cn2)?(Cn?1)2m?1?n?(Cn?1)2n
001122?(Cn2?Cn2?Cn2?mmm?1m?1?Cn2?Cn2?nn?Cn2)?(2m?1?2m?2?2n)
?(1?2)n?(2n?1?2m?1)?3n?2n?1?2m?1． …………………10分
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