2016年高考模拟试卷(5)
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．设集合A??2,5?，B??x1?x?3?，则AB? ▲ ．
8589012246a?2i（i是虚数单位）是纯虚数，则a的值为 ▲ ． 1?2i3．如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的平均分 为 ▲ ．
4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果的集合为 ▲ ．
5．甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8， 乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．
?x2?4x?6 ,x≥0,6．设函数f(x)??则不等式f(x)?f(1)的解集是 ▲ ．
x?6, x?0,?2．设a?R，复数
（第3题） Ｓ?１For I From 1 To 5 Step 2 S?S+I Print S End For (第4题) 117．已知圆柱的底面半径为r，高为h，体积为2，表面积为12，则?= ▲ ．
rh228．在平面直角坐标系xOy中，已知点A为双曲线x?y?4的左顶点，点B和 点C在双曲线的右支上，?ABC是等边三角形，则?ABC的面积为 ▲ ．
9．若tan(??)?2，则sin2?的值为 ▲ ．
410．已知定义在集合A上的函数f(x)?log2(x?1)?log2(2x?1)，其值域为???,1?，则A? ▲ ． 11．数列{an}中a1?0，a4??7，对?n?N?，当n?2时，(1?an)2?(1?an?1)(1?an?1)，则数列{an}的前n项的和为 ▲ ．
12．设实数a?1,b?1，则“a?b”是“lna?lnb?a?b”成立的 ▲ 条件.
（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空） 13．在?ABC中，B?45，M,N分别为边AC,AB的中点，且BM?AC?2CN?AB，则 ▲ ．
14．在平面直角坐标xoy中，设圆M的半径为1，圆心在直线2x?y?4?0上,若圆M上不存在点N，使
?BABC的值为 ?BCBANO?1，则圆心M横坐标的取值范围 ▲ . NA,其中A（0，3）
2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过．．．．．．．
程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）?ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，面积为S． （1）若AB?AC?23S，求A的值；
（2）若tanA∶tanB∶tanC＝1∶2∶3，且c?1，求b．
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16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，PA?平面ABCD，M是AD中点，N是PC中点．
（1）求证：MN//面PAB；
（2）若平面PMC?平面PAD，求证：CM?AD．
P N A B M D
C （第16题） 17．（本小题满分14分）为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m． （1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？
（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．
4 2 （第17题图）
x2y218．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2?2?1(a?b?0)的右顶点与上顶点分别
ab33，且过点(1,)． 22（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，若直线l与该椭圆交于P,Q两点，直线BQ,AP的斜率互为相反数．
①求证：直线l的斜率为定值；
S②若点P在第一象限，设?ABP与?ABQ的面积分别为S1,S2，求1的最大值．
S2y B
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O为A,B，椭圆的离心率为PAxlQ
19．（本小题满分16分）已知函数f(x)?mx?(m?2)lnx?2，g(x)?x2?mx?1，m?R． x（1）当m?0时，
①求f(x)的单调区间；
②若存在x1,x2?[1,2]，使得f(x1)?g(x2)?1成立，求m的取值范围；
lnx?1（2）设h(x)?的导函数h?(x)，当m?1时，求证：[g(x)?1]h?(x)?1?e?2（其中e是自然对数的底xe数）．
20．（本小题满分16分）若数列{an}满足条件：存在正整数k，使得an?k?an?k?2an对一切n?N*,n?k都成立，则称数列{an}为k级等差数列．
（1）已知数列{an}为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求a8?a9的值；
（2）若an?2n?sin?n(?为常数），且{an}是3级等差数列，求?所有可能值的集合，并求?取最小正
值时数列{an}的前3n项和S3n；
（3）若{an}既是2级等差数列，{an}也是3级等差数列，证明：{an}是等差数列．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D共4小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，∠PAQ是直角,圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点B、C.求证:BT平分?OBA.
（第21题A） ?12??10??1BA?B．，（选修４－２：矩阵与变换）设二阶矩阵A，B满足A????01?，求B?1． 34????C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，已知曲线错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，过点错误！未找到引用源。的直线错误！未找到引用源。的参数方程为错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为参数），错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。分别交于错误！未找到引用源。．
（Ⅰ）写出错误！未找到引用源。的平面直角坐标系方程和错误！未找到引用源。的普通方程；
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（Ⅱ）若错误！未找到引用源。成等比数列，求错误！未找到引用源。的值． D．（选修４－５：不等式选讲） 设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x?1≥2y?3．
x?2xy?y22【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分10分)如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足A1P??A1B1（??R）． （1）求异面直线PN，AM所成的角；
（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．
（第22题）
23．（本小题满分10分）设集合M?{?1,0,1}，集合An?{(x1,x2,x3，，xn)|xi?M,i?1,2,合An中满足条件 “1?|x1|?|x2|?（1）求S2和S2的值；
（2）当m?n时，求证：Sm?3n?1?2m?1?2n?1．
n24,n}，集
n?|xn|?m”的元素个数记为Sm．
2016年高考模拟试卷(5) 参考答案 南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题
1 1．?2?．2．?4．3．91．4．?2,5,10?．5．．6．(?3,1)211．n?2n?1．12．充要．13．22．14．(??,0)33 (3,??)．7．3．8.123 ．9．．10．(1,]．25121（x,y)，由NO?NA得：【解析】．设N(,??)．
524(x2?y2)?x2?(y?3)2,化简得：x2?(y?1)2?4，表示为以B(0,?1)为圆心，2为半径的圆，由题意
得圆B与圆M(a,2a?4)无交点，即a?(2a?4?1)?(2?1)或a?(2a?4?1)?(2?1)，解得圆心M横坐标的取值范围为：(??,0)22222212(,??)． 5第 4页，共 11页
二、解答题
115．（1）由题意知，AB?AC?bccosA,S?bcsinA,
2所以bccosA?3bcsinA， ……………………………………2分 即cosA?3sinA，?tanA?3， 3因为A为三角形内角，所以A??6；……………………6分
（2）设tanA?m，tanB?2m，tanC?3m，由题意知，m?0． 因为tanC??tan(A?B)??则3m?? tanA?tanB ，………………………8分
1?tanA?tanB3m，
1?2m225310，sinC?，………………12分 510解得m?1，则tanB?2，tanC?3，从而sinB?所以
ACsinB2222，则AC?……………………14分 ??ABsinC 3 3 16．（1）取PB中点E，连EA，EN，在?PBC中，EN//BC且EN?又AM?1BC， 21//AM，……………………………………2分 AD，AD//BC，AD?BC得EN?2四边形ENMA是平行四边形，
得MN//AE，MN?面PAB，AE?面PAB，?MN//面PAB ……………………6分
（2）过点A作PM的垂线，垂足为H，
面PMC?面PAD，面PMC面PAD?PM，AH?PM，AH?面PAD
?AH?面PMC，……………………8分 CM?面PMC，?AH?CM,
PA?平面ABCD，……………………………10分 CM?平面ABCD，?PA?CM,
PAAH?A，PA、AH?面PAD，CM?面PAD，……………………12分 AD?面PAD，?CM?AD．……………………14分
2?在抛物线上，得17. 建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为x2?2py?p?0?，由已知点P?2，p?1，所以抛物线的方程为y?12x.……………………………………2分 2（1）为了使填入的土最少，内接等腰梯形的面积要最大，如图1，
?1?设点A?t, t2??0?t?2?，则此时梯形APQB的面积
?2?11?1?S?t???2t?4???2?t2???t3?t2?2t?4，………………6分 22?2?233∴S'?t???t2?2t?2,令S'?t???t2?2t?2=0，得t?，
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yQPBOAx（图1）
