高等工程数学练习题
一、填空题
1. 对方程f(x)?x?ln(x?2)?0，写出该方程存在正数根的一个区间 ，构造迭代公式 ，使其产生的序列
?xn?可以收敛于方程的这个正数根x；
*?963??x1??18???????2. 用Cholesky (乔勒斯基) 分解法求解方程：61311x2?30 ????????31135????x3????49??则：L = ; 方程组的解x = ； 3．建立最优化模型的三要素： ； ； ； 4．已知函数f(0.4)?0.411, f(0.5)?0.578, f(0.6)?0.697，用此函数表作Newton插值多项式，那么插值多项式x的系数是 ；
5．设总体X~N(?,?2),?2??02已知,X是样本均值，在检验假设H0:???0时选用的检验统计量为 ，拒绝域为 ；
6. 设总体X服从[0,?]上的均匀分布，则?的矩法估计为 ，极大似然估计为 ； 7．影响数学模型求解结果的误差有： ， ， 。 8．已知y?f(x)在区间[a,b]上通过点(xi,yi),i?0,1,2,2,n，则其三次样条插值函数S(x)是满
足 ， ， ；
9. 若函数f(x)?2x3?3x?0, 给出该方程存在正根的区间 , 该方程的Newton迭代公式是 ；
10. 给出线性规划标准型的特点： 、 、 ； 11．求解无约束非线性最优化问题的下降迭代算法中，下降方向应该满足的条件是：
； 12．已知函数y?f(x)过点(xi,yi),i?0,1,2,插值函数，则S(x)满足的三个条件
是 ；
13．在进行单因子方差分析中，A因子取五个水平，共进行了N?25次试验，通过计算得到
,n，xi?[a,b]，设函数S(x)是f(x)的三次样条
SSA?1600;SST?8500，因此FA? ，而F(4,20)28.7?050.著性影响。
，A因子对试验指标 显
??x14．随机变量X服从参数为?的指数分布即分布密度为f(x)??e;x?0,X是样本均值，则
2n?X~ ；
15．线性方程组Ax?b其系数矩阵满足 时，可对A进行LL分解（Cholesky分解）；
T
?y'?x?4y16．取步长h?0.1，用改进Euler法解?,x?[0,1]的公式为：
?y(0)?1 。 17.建立线性最优化数学模型的基本假设是： 、 ； 18．在数理统计中每一个假设检验都会不同程度地犯两类错误，第一类错误是 ；
19．如果矩阵 A 满足 ， 则可以对 A 进行乔勒斯基 （Cholesky）矩阵分解 ； 20. 设事件A发生的概率为p，在n次重复试验中事件A发生次数为m，当n充分大时（称之为大样本），近似地有
m?npm(1?m)n近似~ ；
21．函数y?f(x1,x2)?x1x2?x12?1，已知x1和x2的绝对误差分别为?(x1)和?(x2)，则
?(y)? ；
22．解线性方程组Ax?b 的Gauss 列主元素法能保证乘数 ，A?= ； 23．将积分区间[a,b]分成n等分和2n等分，相应的复合梯形积分公式为Tn和T2n，给出用Tn和T2n计算复合辛普森公式的算式Sn? 。
24. 线性方程组直接解法在估计误差时，如果b变化为b??b，解的误差估计为：
； 25. 对矩阵 A 进行Doolittle 分解的条件是 ； 26．设总体X~N(?1,?2),Y~N(?2,?2)，从总体分别独立抽取容量为m,n的简单随机样本
(X1,X2,,Xm)，(Y1,Y2,,Yn)。记X,SX2为样本(X1,X2,,Xm)的样本均值与方差，Y,SY2为
样本(Y1,Y2,,Yn)的样本均值与方差，则?1??2的95%的置信区间为 ；
1353161?4??3? ，矩阵A?? ， 利用Jacobi和 Gauss-Seidel迭代5??5?4???2?3?227．如果Ax?b,A???5??1??4法求解此方程组的敛散性情况是 ；
28．在进行二元方差分析时，当两个因子之间存在交互作用时，需要进行重复试验，假设两个因子都取3水平，各种组合时试验的重复次数均为4，则体现两因子的交互作用的平方和的自由度是 ； 29．函数y?f(x1,x2)?x1x2，已知x1和x2的绝对误差分别为?(x1)和?(x2)，则?(y)? ；
2
?mincx?tAx?b 的对偶线性规划是 ，两个线性规划的最优目标30．线性规划?s..?x?0?值 ； 31．方程f(x)?sin(x?1)?x 与x??(x)? 等价，由于迭代函数?(x)满2*足： ，可用迭代法求方程f(x)?0的唯一正根x的近似值，且
x*?xk? ；
32. 设a?x0?x1??xn?1?xn?b为区间[a,b]的n等分点，Tn和T2n为定积分?f(x)dx复合梯
ab形公式，则复合梯形公式的递推形式T2n= 。 33. 对矩阵 A 进行Cholesky分解的条件是： ； 34．在进行二因子方差分析时，如果二因子之间存在交互作用，在做试验时，需要对每一种组合进行重复试验。当二因子都取四水平，每一种组合重复试验次数均为3次，则一共应做 次试验。
?51?34?2935．如果Ax?b,A???310??11?36?2?3??1? ，矩阵A1? ， 利用Jacobi和 Gauss-Seidel迭代?5?5?9??法求解此方程组的敛散性情况是 ； 36．函数y?f(x1,x2)?x1，已知x1和x2的绝对误差分别为?(x1)和?(x2)，则?(y)? ； 2x2?max Z?x1?3x2?6x3 ?s.t. x1?x2?2x3?2??2x1?x2?x3?1 的对偶线性规划是 ； 37．线性规划? ?4x1?2x3?5?1 x?0, x?0,x?R132?38．设方程f(x)?e2x?2x?2?0，迭代函数?(x)= 时，可用**迭代法求方程f(x)?0的最小正根x的近似值，x?xk? ；
39. 设a?x0?x1??xn?1?xn?b为区间[a,b]的n等分点，Tn和T2n为定积分?f(x)dx复合梯
ab形公式、Sn为其复合辛普森公式，利用Tn和T2n表示Sn为 。
?963???40. 矩阵A?61311进行Cholesky分解为 ； ????31135??41．设由一组观测数据(xi,yi),i?1,2,...,10 计算得?xi?20,?yi?100,?xiyi?240，?xi2?120,；则y对x的线性回归方程为 ?513???42．如果Ax?b,A?274 ，矩阵AF? ， 利用Jacobi和 Gauss-Seidel迭代法????316??求解此方程组的敛散性情况是 ；
2x243．函数y?f(x1,x2)?xx?，已知x1和x2的绝对误差分别为?(x1)和?(x2)，则
x1212?(y)? ；
?maxcx?tAx?b 的对偶线性规划是 ，两个线性规划的最优目标44．线性规划?s..?x?0?值 ；
45．对方程f(x)?ex?x?2?0，写出该方程存在正根的一个区间 ，构造迭代公式 ，使其产生的序列46. 设a?x0?x1??xn?可以收敛于方程的这个正数根，且x*?xk? ；
ba?xn?1?xn?b为区间[a,b]的n等分点，Tn和Sn分别为定积分?f(x)dx的
复合梯形公式、复合辛普森公式，它们的收敛阶分别为 、 。 47．正交表L16(215)中的各数字有其含义，其中数字16表示 ，15表示 ；
48．设总体X 服从[0，?]上的均匀分布，则?的极大似然估计为 ；?的矩法估计为 ；
二、某工厂生产A、B、C三种产品，需利用甲、乙、丙三种资源。已知生产产品A一件需消
耗资源甲、乙、丙分别为2吨、4吨、2吨，生产产品B一件需消耗资源甲、乙、丙分别为6吨、2吨、2吨，生产产品C一件需消耗资源甲、乙、丙分别为2吨、4吨、2吨。A、B、C产品每件产值分别为5、4、4万元。工厂现有甲、乙、丙资源量分别为180、160、90吨。 （1） 建立工厂安排生产使总产值最大数学模型。 （2） 列出并利用单纯形法求工厂的最优生产方案。
三、用Newton迭代法求方程f(x)?x?3x?2?0的最小正根，初值取为x0?0.6，给出第k次迭代近
*似误差x?xk的估计式。
2
四、已知f(x)的数据如表：
x f(x) 0 1 2 4 -4 3 0 8 用Lagrange插值法求函数f(x)的三次值函数L3(x)，给出用L3(3.5)作为f(3.5)的近似值的误差估计式。
11f(x)dx?Af(?)?Af() 中的待定系数A0,A1，使其代数精度尽量高。 01? ?133六、一种特殊药品的生产厂家声称，这种药能在8小时内解除一种过敏的效率为90%，在有这种过敏的200五、试确定求积公式
1人中使用药品后，有160人在8小时内解除了过敏，试问生产厂家的说法是否真实(??0.01)？ 七、某种合金钢的抗拉强度Y(Pa)与钢的含碳量x有线性回归关系，现进行了10次独立观测，并对测得数据进行处理得到如下结果：
?xi?110i?4.8,
?yi?110i?1.2,
?xyii?110i?0.766,
?xi?1102i?2.6,
?yi?1102i?0.384
（1） 求Y对X的线性回归方程。（结果保留小数点后两位。） （2）对回归方程的显著性进行检验。
?1a0??1?????八、对方程组：a10x?1， ???????001???1??（1）建立求解该方程组的Jacobi法和Gauss-Seidel法的迭代计算式；
（2）分析讨论 a 的取值范围，使 Jacobi 迭代法收敛。
九、某厂生产A、B、C三种产品，所需要的劳动力、材料等数据如下表： 劳动力 材料 产品利润（元/件） A 6 3 3 B 3 4 1 C 5 5 4 可用量（单位） 45 30 （1）建立产品生产计划的数学模型使工厂获利最大； （2）将模型标准化；利用单纯形法求解，列出求解过程。
十、 用Newton迭代法求方程f(x)?e2x?6x?0的最小正根，初值取为x0?1，给出第k近似误差
x*?xk的估计式。
十一、已知f(x)的数据如表：
x f(x) -1 1 2 3 -4 2 0 5 用恰当的插值法求函数f(x)的三次值函数P给出用P3(x)，3(2.5)作为f(2.5)的近似值的误差估计
