音叉的受迫振动与共振实验
一、预备问题
1、 实验中策动力的频率为200Hz时，音叉臂的振动频率为多少？ 2、实验中在音叉臂上加砝码时，为什么每次加砝码的位置要固定？
二、引言
本实验借助于音叉，来研究受迫振动及共振现象。用带铁芯的电磁线圈产生不同频率的电磁力，作为驱动力，同样用电磁线圈来检测音叉振幅，测量受迫振动系统振动与驱动力频率的关系，研究受迫振动与共振现象及其规律。具有不直接接触音叉，测量灵敏度高等特点。
三、实验原理
1、音叉的电磁激振与拾振
将一组电磁线圈置于钢质音叉臂的上下方两侧，并靠近音叉臂。对驱动线圈施加交变电流，产生交变磁场，使音叉臂磁化，产生交变的驱动力。接收线圈靠近被磁化的音叉臂放置，可感应出音叉臂的振动信号。由于感应电流I?dB/dt, dB/dt代表交变磁场变化的快慢,其值大小取决于音叉振动的速度,速度越快,磁场变化越快,产生的电流越大,从而使测得的电压值越大。所以,接收线圈测量电压值获得的曲线为音叉受迫振动的速度共振曲线。相应的输出电压代表了音叉的速度共振幅值。 1、简谐振动与阻尼振动
物体的振动速度不大时，它所受的阻力大小通常与速率成正比，若以F表示阻力大小，可将阻力写成下列代数式：
F???????dx （1） dt式中γ是与阻力相关的比例系数，其值决定于运动物体的形状、大小和周围介质等的性质。
物体的上述振动在有阻尼的情况下，振子的动力学方程为：
d2xdx?kx m2???dtdt其中m为振子的等效质量，k为与振子属性有关的劲度系数。 令?0?2k?,2??，代入上式可得： mmd2xdx2?2???x?0 （2） 02dtdt式中?0是对应于无阻尼时的系统振动的固有角频率，?为阻尼系数。 当阻尼较小时，式（2）的解为：
x?A0e??tcos(?t??0) （3） 式中???0??。
由公式(3)可知，如果?=0，则认为是无阻尼的运动，这时x?A0cos(?t??0)，成为简谐运动。在?≠0，即在有阻尼的振动情况下，此运动是一种衰减运动。从公式
22???02??2可知，相邻两个振幅最大值之间的时间间隔为：
T?2???2????202 （4）
与无阻尼的周期T?2、受迫振动
2??0相比，周期变大。
实际的振动都是阻尼振动，一切阻尼振动最后都要停止下来．要使振动能持续下去，必需对振子施加持续的周期性外力，使其因阻尼而损失的能量得到不断的补充．振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，而周期性的外力又称驱动力．实际发生的许多振动都属于受迫振动．例如声波的周期性压力使耳膜产生的受迫振动，电磁波的周期性电磁场力使天线上电荷产生的受迫振动等。
为简单起见，假设驱动力有如下的形式： F?F0cos?t
式中F0为驱动力的幅值，?为驱动力的角频率。
振子处在驱动力、阻力和线性回复力三者的作用下，其动力学方程成为
d2xdx?kx?F0cos?t （5） m2???dtdt仍令?0?2k?,2??，得到： mmF0d2xdx2?2???x?cos?t （6） 0dt2dtm
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微分方程理论证明，在阻尼较小时，上述方程的解是：
x?A0e??tcos(?02??2t??0)?Acos?(t??) （7）
式中第一项为暂态项，在经过一定时间之后这一项将消失，第二项是稳定项．在振子振动一段时间达到稳定后，其振动式即成为：
x?Acos?(t??) （8）
应该指出，上式虽然与自由简谐振动式（即在无驱动力和阻力下的振动）相同，但实质已有所不同．首先其中?并非是振子的固有角频率，而是驱动力的角频率，其次A 和
?不决定于振子的初始状态，而是依赖于振子的性质、阻尼的大小和驱动力的特征。事
实上，只要将式（8）代人方程（6) ，就可计算出
A?F0??2?(?m?)2? tg??k?F02m?0???22? （9）
?4?2?2??m?k （10）
? 其中：?0?2k,??2??m mv?dx??vmaxcos(?t???) （11） dt2在稳态时，振动物体的速度
其中 vmax?F0?2?(?m?)2?3、共振
在驱动力幅值F0固定的情况下，应有怎样的驱动角频率?才可使振子发生强烈振动？这是个有实际意义的问题。下面分别从振动速度和振动位移两方面进行简单分析。 3.1 速度共振
从相位上看，驱动力与振动速度之间有相位差???2，一般地说，外力方向与物体运动方向并不相同，有时两者同向，有时两者反向。同向时驱动力做正功，振子输人能量；反向时驱动力做负功，振子输出能量。输人功率的大小可由F?v计算。设想在振子固有频率、阻尼大小、驱动力幅值F0均固定的情况下，仅改变驱动力的频率?，则不难得知，如果满足最大值?m?k
k （12）
??0时，振子的速度幅值vmax就有最大值。
2
由?m?k??0可得：
FF?k，vmax?0?0，这时tg???，???
2?2?mm???0?由此可见，当驱动力的频率等于振子固有频率时，驱动力将与振子速度始终保持同相，于是驱动力在整个周期内对振子做正功，始终给振子提供能量，从而使振子速度能获得最大的幅值。这一现象称为速度共振。速度幅值vmax随ω的变化曲线如图1所示。
显然?或?值越小，vmax~ω关系曲线的极值越大。描述曲线陡峭程度的物理量一般用锐度表示，其值等于品质因素：
Q??0?2??1?f0 （13）
f2?f1其中f0为?0对应的频率，f1、f2为vmax下降到最大值的0.707倍时对应的频率值。
3.2、位移共振
图1 速度共振曲线 图2 位移共振曲线
驱动力的频率ω为何值时才能使音叉臂的振幅A 有最大值呢？对式（9）求导并令其一阶导为零，即可求得A的极大值及对应的ω值为：
A?F02m????2202 （14）
?r??0?2? （15） 由此可知，在有阻尼的情况下，当驱动力的圆频率???r时，音叉臂的位移振幅A 有最大值，称为位移共振，这时的ω＜ω0。位移共振的幅值A随ω的变化曲线如图2所示。
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由（14）式可知，位移共振幅值的最大值与阻尼?有关。阻尼越大，振幅的最大值越小；阻尼越小，振幅的最大值越大。在很多场合，由于阻尼?很小，发生共振时位移共振幅值过大，从而引起系统的损坏，这是我们需要十分重视的。
比较图1和图2可知，速度共振和位移共振曲线不完全相同。对于有阻尼的振动系
统，当速度发生共振时，位移并没有达到共振。其原因在于，对于作受迫振动的振子在平衡点有最大幅值的速度时，其运动时受到的阻力也达到最大，于是在平衡点上的最大动能并没有能全部转变为回转点上的势能，以致速度幅值的最大并不对应位移振幅的最大．这就是位移共振与速度共振并不发生在同一条件下的原因．显然，如果阻尼很小，两种共振的条件将趋于一致，这一点也可从图2的位移共振曲线清楚地看出来。 4、音叉的振动周期与质量的关系
从公式（4）T?2???2?可知，在阻尼?较小、可忽略的情况下有：
2???20 T?2??0?2?m （16） k这样我们可以通过改变质量m，来改变音叉的共振频率。我们在一个标准基频为256Hz的音叉的两臂上对称等距开孔，可以知道这时的T变小，共振频率f变大；将两个相同质量的物块mX对称地加在两臂上，这时的T变大，共振频率f变小。从式（16）可知这时：
4?2?(m0?mX) (17) T?k2 其中k为振子的劲度系数，为常数，它与音叉的力学属性有关。m0为不加质量块时的音叉振子的等效质量，mX为每个振动臂增加的物块质量。
由式（17）可见，音叉振动周期的平方与质量成正比。由此可由测量音叉的振动周期来测量未知质量，并可制作测量质量和密度的传感器。
四、实验仪器
音叉受迫振动与共振实验仪包括260Hz左右基频的钢质音叉，2个电磁激振线圈、阻尼装置、4对加载质量块（由小到大为5g一对、10g两对、15g一对,其中一对10g的可以作为未知质量块）、测试架、音频信号发生器、三位半2V交流数字电压表等。
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